平面力学の定理
平行 軸定理は 、 クリスティアーン・ホイヘンス とヤコブ・シュタイナー にちなんで名付けられた ホイヘンス・ シュタイナー 定理、 あるいは単に シュタイナーの定理 [1] としても知られ、物体の重心を通る平行軸の周りの物体 の慣性モーメント と軸間の 垂直距離 が与えられている場合、 任意 の軸の周りの剛体の慣性モーメント または 断面 二 次 モーメントを 決定するために使用できます 。
質量慣性モーメント 軸の周りの物体の質量慣性モーメントは、質量中心を通る平行軸の周りの質量慣性モーメントから決定できます。 質量m の物体が、 物体の 質量中心 を通る軸 z の 周りを回転するとします。物体はこの軸に対して 慣性モーメント I cm を持ちます。平行軸定理は、物体を代わりに最初の軸に平行で距離 d だけずれた新しい軸 z′ の 周りで回転させると、新しい軸に対する慣性モーメント Iは I cm と次の式で
関係付けられることを述べています。
私 =
私
ｃ メートル
+ メートル
d
2
。
{\displaystyle I=I_{\mathrm {cm} }+md^{2}.}
明示的には、 d は 軸 z と z′ 間の垂直距離です。
平行軸の定理は、 伸張則 および 垂直軸の定理 と組み合わせて適用することで、さまざまな形状の慣性モーメントを求めることができます。
面積慣性モーメントに対する平行軸則
導出 一般性を失うことなく、直交座標系 では軸間の垂直距離は x 軸に沿っており、質量の中心は原点にあると仮定することができます。z 軸 に対する慣性モーメントは 、
私
ｃ メートル
= ∫ （
x
2
+
ええ
2
） d メートル 。
{\displaystyle I_{\mathrm {cm} }=\int (x^{2}+y^{2})\,dm.}
x 軸
に沿って質量中心から 距離 Dにある軸 z′ に対する慣性モーメントは、
私 = ∫
[
（ x − だ
）
2
+
ええ
2
]
d メートル 。
{\displaystyle I=\int \left[(xD)^{2}+y^{2}\right]\,dm.}
括弧を展開すると
私 = ∫ （
x
2
+
ええ
2
） d メートル +
だ
2
∫ d メートル − 2 だ ∫ x d メートル 。
{\displaystyle I=\int (x^{2}+y^{2})\,dm+D^{2}\int dm-2D\int x\,dm.}
最初の項は I cm で、2 番目の項は MD 2 になります。最後の項の積分は、質量中心 の x 座標の倍数です 。質量中心は原点にあるため、x 座標はゼロになります。したがって、方程式は次のようになります。
私 =
私
ｃ メートル
+ ま
だ
2
。
{\displaystyle I=I_{\mathrm {cm} }+MD^{2}.}
テンソルの一般化 平行軸定理は慣性テンソルを 含む計算に一般化できる 。 [2] 物体の質量中心で計算された慣性テンソルを I ij とする。すると、 新しい点に対して計算された
慣性テンソル J ijは
J
私 じゅう
=
私
私 じゅう
+ メートル
（
|
R
|
2
δ
私 じゅう
−
R
私
R
じゅう
）
、
{\displaystyle J_{ij}=I_{ij}+m\left(|\mathbf {R} |^{2}\delta _{ij}-R_{i}R_{j}\right),}
ここで、 は質量中心から新しい点までの変位ベクトルであり、 δ ij は クロネッカーのデルタ です 。
R
=
R
1
x ^
+
R
2
ええ ^
+
R
3
ず ^
{\displaystyle \mathbf {R} =R_{1}\mathbf {\hat {x}} +R_{2}\mathbf {\hat {y}} +R_{3}\mathbf {\hat {z}} \!}
対角要素（ i = j の場合）の場合、回転軸に垂直な変位は、上記の平行軸定理の簡略化されたバージョンになります。
平行軸定理の一般化版は、座標フリー表記 法で次のように
表現できる。
J
=
私
+ メートル
[
（
R
⋅
R
）
え
3
−
R
⊗
R
]
、
{\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {I} +m\left[\left(\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} \right)\mathbf {E} _{3}-\mathbf { R} \otime \mathbf {R} \right],}
ここで、 E 3 は 3 × 3の 単位行列 であり 、 外積 です 。
⊗
{\displaystyle \otimes }
平行軸定理をさらに一般化すると、基準慣性テンソルに関連付けられた基準軸x、y、zセットに平行な任意の直交軸セットの周りの慣性テンソルが与えられます。これは、基準慣性テンソルが質量中心を通過するかどうかに関係なく与えられます。 [2]
面積の2次モーメント 平行軸のルールは、平面領域D の断面2次モーメント （断面2次モーメント） にも適用されます 。
私
ず
=
私
x
+ あ
r
2
、
{\displaystyle I_{z}=I_{x}+Ar^{2},}
ここで、 I z は平行軸に対する D の面積慣性モーメント、 I x は 重心 に対する D の面積慣性モーメント 、 A は平面領域 D の面積、 r は新しい軸 z から平面領域 Dの 重心 まで の距離です 。D の 重心は 、均一な密度を持つ同じ形状の物理的なプレートの 重心 と一致します 。
平面力学における極慣性モーメント ある点の周りの物体の極慣性モーメントは、その質量中心の周りの極慣性モーメントから決定できます。 平面に平行に移動するように制約されている剛体の質量特性は、この平面内の質量中心 R = ( x , y ) と、平面に垂直な R を 通る軸の周り の極慣性モーメント I R によって定義されます。平行軸定理は、任意の点 Sの周りの慣性モーメント I S と質量中心 R の周りの慣性モーメント I R の間に便利な関係を提供します 。
質量中心 Rは 次の性質を持つこと
を思い出してください。
∫
五
ρ （
r
） （
r
−
R
） d 五 = 0 、
{\displaystyle \int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\,dV=0,}
ここで、 r は物体の体積 V にわたって積分される。平面運動をしている物体の極慣性モーメントは、任意の基準点 S に対して計算することができる。
私
S
=
∫
五
ρ （
r
） （
r
−
S
） ⋅ （
r
−
S
） d 五 、
{\displaystyle I_{S}=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {S} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {S} )\,dV,}
ここで、 S は 定数であり、 r は 体積 V にわたって積分されます。
慣性モーメントI R の観点から慣性モーメント I S を得るためには、 S から 質量中心 R へのベクトル d を 導入し、
私
S
=
∫
五
ρ （
r
） （
r
−
R
+
d
） ⋅ （
r
−
R
+
d
） d 五
=
∫
五
ρ （
r
） （
r
−
R
） ⋅ （
r
−
R
） d 五 + 2
d
⋅
（
∫
五
ρ （
r
） （
r
−
R
） d 五
）
+
（
∫
五
ρ （
r
） d 五
）
d
⋅
d
。
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{S}&=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} +\mathbf {d} )\ cdot (\mathbf {r} -\mathbf {R} +\mathbf {d} )\,dV\\&=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {R} )dV+2\mathbf {d} \cdot \left(\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\,dV\right)+\left(\int _{V}\rho (\mathbf {r} )\,dV\right)\mathbf {d} \cdot \mathbf {d} .\end{aligned} }}
最初の項は慣性モーメント I R 、2番目の項は質量中心の定義によりゼロ、最後の項は物体の全質量にベクトル d の2乗の大きさを掛けたものである。したがって、
私
S
=
私
R
+ ま
d
2
、
{\displaystyle I_{S}=I_{R}+Md^{2},\,}
これは平行軸定理として知られている。 [3]
慣性モーメント行列 剛体粒子系の慣性行列は、基準点の選択に依存します。 [4] 質量中心 Rに対する慣性行列と別の点 S に対する慣性行列の間には有用な関係があります 。この関係は平行軸定理と呼ばれます。
基準点S を基準として測定された剛体粒子系に対して得られる 慣性行列[I S ]を考える。
[
私
S
] = −
∑
私 = 1
ん
メートル
私
[
r
私
− S ] [
r
私
− S ] 、
{\displaystyle [I_{S}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-S][r_{i}-S],}
ここで、 r i は 粒子P i の位置を定義します （ i = 1, ..., n） 。[ r i − S ]は、交差積を実行する歪対称行列であることを思い出してください。
[
r
私
− S ]
ええ
= （
r
私
−
S
） ×
ええ
、
{\displaystyle [r_{i}-S]\mathbf {y} =(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {S} )\times \mathbf {y} ,}
任意のベクトル y に対して。
Rを 剛体の質量の中心と
すると、
R
= （
R
−
S
） +
S
=
d
+
S
、
{\displaystyle \mathbf {R} =(\mathbf {R} -\mathbf {S} )+\mathbf {S} =\mathbf {d} +\mathbf {S} ,}
ここで、 dは基準点 S から質量中心 R へのベクトルです 。この式を使用して慣性行列を計算します。
[
私
S
] = −
∑
私 = 1
ん
メートル
私
[
r
私
− R + d ] [
r
私
− R + d ] 。
{\displaystyle [I_{S}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R+d][r_{i}-R+d].}
この式を展開すると、
[
私
S
] =
（
−
∑
私 = 1
ん
メートル
私
[
r
私
− R ] [
r
私
− R ]
）
+
（
−
∑
私 = 1
ん
メートル
私
[
r
私
− R ]
）
[ d ] + [ d ]
（
−
∑
私 = 1
ん
メートル
私
[
r
私
− R ]
）
+
（
−
∑
私 = 1
ん
メートル
私
）
[ d ] [ d ] 。
{\displaystyle [I_{S}]=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R][r_{i}-R]\right)+\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R]\right)[d]+[d]\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R]\right)+\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)[d][d].}
最初の項は質量中心に対する 慣性行列[ I R ]である。2番目と3番目の項は質量中心R の定義によりゼロである。
∑
i
=
1
n
m
i
(
r
i
−
R
)
=
0.
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )=0.}
そして最後の項は、システム全体の質量に、 d から構築された 歪対称行列 [ d ] の2乗を掛けたものです。
その結果は平行軸定理であり、
[
I
S
]
=
[
I
R
]
−
M
[
d
]
2
,
{\displaystyle [I_{S}]=[I_{R}]-M[d]^{2},}
ここで dは 基準点 S から質量中心 R へのベクトルである。 [4]
歪対称行列の恒等式 歪対称行列を使用した平行軸定理の定式化とテンソル定式化を比較するには、次の恒等式が役立ちます。
[ R ] を位置ベクトル R = ( x , y , z )に関連付けられた歪対称行列とする と、慣性行列の積は次のようになる。
−
[
R
]
[
R
]
=
−
[
0
−
z
y
z
0
−
x
−
y
x
0
]
2
=
[
y
2
+
z
2
−
x
y
−
x
z
−
y
x
x
2
+
z
2
−
y
z
−
z
x
−
z
y
x
2
+
y
2
]
.
{\displaystyle -[R][R]=-{\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}^{2}={\begin{bmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-yx&x^{2}+z^{2}&-yz\\-zx&-zy&x^{2}+y^{2}\end{bmatrix}}.}
この積は、外積[ R R T ]によって形成される行列を使用して、恒等式
を使用して計算できます。
−
[
R
]
2
=
|
R
|
2
[
E
3
]
−
[
R
R
T
]
=
[
x
2
+
y
2
+
z
2
0
0
0
x
2
+
y
2
+
z
2
0
0
0
x
2
+
y
2
+
z
2
]
−
[
x
2
x
y
x
z
y
x
y
2
y
z
z
x
z
y
z
2
]
,
{\displaystyle -[R]^{2}=|\mathbf {R} |^{2}[E_{3}]-[\mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}]={\begin{bmatrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}&0&0\\0&x^{2}+y^{2}+z^{2}&0\\0&0&x^{2}+y^{2}+z^{2}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}x^{2}&xy&xz\\yx&y^{2}&yz\\zx&zy&z^{2}\end{bmatrix}},}
ここで[ E 3 ]は3×3の単位行列である。
また、
|
R
|
2
=
R
⋅
R
=
tr
[
R
R
T
]
,
{\displaystyle |\mathbf {R} |^{2}=\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} =\operatorname {tr} [\mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}],}
ここで、tr は外積行列の対角要素の合計、つまりトレースを表します。
参照
参考文献
^ アーサー・エーリッヒ・ハース（1928年） 『理論物理学入門』 ^ ab Abdulghany, AR (2017年10月)、「回転慣性に対する平行軸定理の一般化」、 American Journal of Physics 、 85 (10): 791–795、 Bibcode :2017AmJPh..85..791A、 doi : 10.1119/1.4994835 ^ ポール、バートン（1979）、 平面機械の運動学と動力学 、 プレンティスホール 、 ISBN 978-0-13-516062-6 ^ ab Kane, TR; Levinson, DA (2005)、 ダイナミクス、理論と応用 、McGraw-Hill、ニューヨーク
外部リンク
ウィキメディア・コモンズには、シュタイナーの平行軸定理 に関連するメディアがあります 。
平行軸定理 慣性モーメントテンソル 慣性テンソルに関するビデオ 
![{\displaystyle I=\int \left[(xD)^{2}+y^{2}\right]\,dm.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98200518590b50b0d412e5411b768a9fc5f07d22)
![{\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {I} +m\left[\left(\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} \right)\mathbf {E} _{3}-\mathbf { R} \otime \mathbf {R} \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75e791e52acd7b4bc8141e71b2f902a4f4865725)
![{\displaystyle [I_{S}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-S][r_{i}-S],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab580a7c9b3a838be78abbb514dd50c3b9584d76)
![{\displaystyle [r_{i}-S]\mathbf {y} =(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {S} )\times \mathbf {y} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/920e5efb74637f5f12c164b7be70fc885cad1660)
![{\displaystyle [I_{S}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R+d][r_{i}-R+d].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9dc53c0bb2d1e425b0141e775958557686b4de2)
![{\displaystyle [I_{S}]=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R][r_{i}-R]\right)+\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R]\right)[d]+[d]\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R]\right)+\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)[d][d].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d40e91fc651c11e07f8454e2a2625a5481392e43)
![{\displaystyle [I_{S}]=[I_{R}]-M[d]^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/779dd78d169c1de527b395758f6d65cf471f8302)
![{\displaystyle -[R][R]=-{\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}^{2}={\begin{bmatr ix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-yx&x^{2}+z^{2}&-yz\\-zx&-zy&x^{2}+y^{2 }\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78fc1c05a71ed09b9180ca06d95297b0176e5d50)
![{\displaystyle -[R]^{2}=|\mathbf {R} |^{2}[E_{3}]-[\mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}]={\begin{bmatrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}&0&0\\0&x^{2}+y^{2}+z^{2}&0 \\0&0&x^{2}+y^{2}+z^ {2}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}x^{2}&xy&xz\\yx&y^{2}&yz\\zx&zy&z^{2}\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c440eae28eb8c46b5dd6ad16394b5a9792ba9e01)
![{\displaystyle |\mathbf {R} |^{2}=\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} =\operatorname {tr} [\mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26c9f3eeb231c9f2f250c6a2eb5bf98dbf921d16)
