確率的推移性

確率的推移モデル^{[1] [2] [3] [4]は、}数学で研究されている二項関係の推移性の確率バージョンです。確率的推移性のモデルはいくつか存在し、一対比較の実験、特に推移性が予想されるシナリオに含まれる確率を説明するために使用されてきましたが、二項関係の実験的観察は確率的です。たとえば、スポーツにおける選手のスキルは推移的であると予想される場合があります。つまり、「選手 A が選手 B より優れていて、B が選手 C より優れている場合、選手 A は選手 C より優れているに違いない」ということです。ただし、どの試合でも、弱い選手が最終的に勝つ可能性は依然として高いです。実力が拮抗した選手はこの逆転を観察する可能性が高いかもしれませんが、スキルに大きな差がある選手では、これらの逆転はめったに見られないかもしれません。確率的推移モデルは、確率 (試合の結果など) と基礎となる推移関係 (選手のスキルなど) との関係を形式化します。

集合 上の二項関係 は、の すべての要素に対してかつ が成り立つ場合、標準的な非確率的意味 で推移的と呼ばれます。 ${\textstyle \succsim }$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a\succsim b}$${\displaystyle b\succsim c}$${\displaystyle a\succsim c}$${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

推移性の確率的バージョンには次のものがあります。

1. 弱い確率推移性（WST）： そして、すべての に対して が成り立つことを意味する；^{[5] ：12  [6] ：43rg}${\displaystyle \mathbb {P} (a\succsim b)\geq {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle \mathbb {P} (b\succsim c)\geq {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle \mathbb {P} (a\succsim c)\geq {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle a,b,c\in {\mathcal {A}}}$
2. 強い確率推移性（SST）： そして、すべてのに対してが成り立つことを意味する；^{[5] ：12}${\displaystyle \mathbb {P} (a\succsim b)\geq {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle \mathbb {P} (b\succsim c)\geq {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle \mathbb {P} (a\succsim c)\geq \max\{\mathbb {P} (a\succsim b),\mathbb {P} (b\succsim c)\}}$${\displaystyle a,b,c\in {\mathcal {A}}}$
3. 線形確率推移性 (LST): すべての に対して、 であり、 は何らかの増加かつ対称な^[明確化]関数 (比較関数と呼ばれる) であり、 は選択肢の集合から実数直線への何らかの写像 (メリット関数と呼ばれる) です。${\displaystyle \mathbb {P} (a\succsim b)=F(\mu (a)-\mu (b))}$${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle F:\mathbb {R} \to [0,1]}$${\displaystyle \mu:{\mathcal{A}}\to \mathbb{R}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

ビー玉ゲーム- ビリーとガブリエラという2人の子供がビー玉を集めているとします。ビリーは青いビー玉を集め、ガブリエラは緑のビー玉を集めます。2人は集まったら、袋の中でビー玉を全部混ぜてランダムに1つ取り出すというゲームをします。取り出されたビー玉が緑ならガブリエラが勝ち、青ならビリーが勝ちます。袋の中の青いビー玉の数が で緑のビー玉の数が の場合、ビリーがガブリエラに勝つ確率は ${\displaystyle B}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {P} ({\text{ビリー}}\succsim {\text{ガブリエラ}})}$

${\displaystyle \mathbb {P} ({\text{ビリー}}\succsim {\text{ガブリエラ}})={\frac {B}{B+G}}={\frac {e^{\ln(B)}}{e^{\ln(B)}+e^{\ln(G)}}}={\frac {1}{1+e^{\ln(G)-\ln(B)}}}}$。

この例では、ビー玉ゲームは線形確率推移性を満たしており、比較関数は で与えられ、メリット関数はで与えられ、ここで はプレイヤーのビー玉の数です。このゲームは、たまたまブラッドリー・テリーモデルの例となっています。^[7]${\displaystyle F:\mathbb {R} \to [0,1]}$${\displaystyle F(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}}$${\displaystyle \mu:{\mathcal{A}}\to \mathbb{R}}$${\displaystyle \mu (M)=\ln(M)}$${\displaystyle M}$

• ランキングと評価- 確率的推移モデルは、いくつかのランキングと評価方法の基礎として使用されてきました。例としては、チェス、囲碁、その他の伝統的なスポーツで使用されるElo-Rating システムや、Xbox ゲーム プラットフォームで使用されるMicrosoft のTrueSkillなどがあります。
• 心理学と合理性のモデル-サーストンモデル^{[8] （}比較判断の法則のケース 5 を参照）、フェヒナーモデル^[3]、およびルースの選択公理^[9]は、確率的推移性の数学に基礎を置く理論です。また、合理的選択理論のモデルは、選好の推移性の仮定に基づいています（フォン・ノイマンの効用とドブリューの定理を参照）が、これらの選好は、確率的にノイズとともに明らかになることが多いです。^{[10] [11] [12]}
• 機械学習と人工知能（Learn to Rankを参照） - EloとTrueSkillは特定のLSTモデルに依存していますが、機械学習モデルは、基礎となる確率的推移性モデルの事前知識がなくても、または確率的推移性に関する通常よりも弱い仮定の下でランク付けするように開発されています。^{[13] [14] [15]}一対比較からの学習も興味深いもので、AIエージェントが他のエージェントの根本的な好みを学習できるためです。
• ゲーム理論- ランダムノックアウトトーナメントの公平性は、基礎となる確率的推移性モデルに大きく依存します。^{[16] [17] [18]}社会選択理論も確率的推移性モデルに依存した基礎を持っています。^[19]

肯定的な結果:

1. 線形確率推移性を満たすすべてのモデルは、強い確率推移性も満たす必要があり、強い確率推移性は弱い確率推移性も満たす必要があります。これは次のように表されます: LST SST WST${\displaystyle \implies }$${\displaystyle \implies }$  ;
2. Bradley-TerryモデルとThurstoneのCase Vモデル^[8]はLSTモデルであるため、SSTとWSTも満たしている。
3. より構造化されたモデル^{[明確にする]}の利便性により、数人の著者^{[1] [2] [3] [4] [20] [21]}は線形確率推移性（および他のモデル）の公理的正当性^{[明確にする]}を特定しており、最も有名なのはジェラール・ドブリューが次のことを示しました: ^[10] 四重条件^{[明確にする]} +連続性^{[明確にする]} LST （${\displaystyle \implies }$ドブリューの定理 も参照）。
4. 可逆比較関数 とによって与えられる2つのLSTモデルは、 ある^[22]に対して、かつその場合のみ 同等である^[明確化]${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle G(x)}$${\displaystyle F(x)=G(\kappa x)}$${\displaystyle \kappa \geq 0.}$

否定的な結果:

1. 確率的推移モデルは経験的に検証不可能である^{[明確にする]}、^[4]が、反証可能である可能性がある。
2. LST比較関数 とを^区別することは、 有限個の点にわたって無限量のデータが提供されても不可能である可能性がある[^{明確化] ; [ 23]}${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle G(x)}$
3. WST、SST、LSTモデルの推定問題^[明確化]は一般にNP困難であるが^{[24] 、} SSTとLSTモデルについてはほぼ最適な多項式計算可能な推定手順が知られている。^{[13] [14] [15]}

• 非推移的ゲーム
• 意思決定理論
• 功利主義