偶数と奇数の序数

数学において、偶数と奇数の順序数は、パリティの概念を自然数から順序数に拡張するものであり、いくつかの超限帰納法の 証明に役立ちます。

文献には、順序数 α の偶奇性に関する同等の定義がいくつか記載されています。

• すべての極限順序数（0を含む）は偶数である。偶数順序数の次の順序数は奇数であり、その逆も同様である。 ^{[1] [2]}
• α = λ + nとします。ここで λ は極限順序数、n は自然数です。α の偶奇性はnの偶奇性です。^[3]
• nをαのカントール正規形の有限項とする。αの偶奇はnの偶奇である。^[4]
• α = ωβ + n（nは自然数）とする。αの偶奇はnの偶奇である。^[5]
• α = 2βの場合、αは偶数です。それ以外の場合はα = 2β + 1でαは奇数です。^{[5] [6]}

偶数の場合とは異なり、偶数順序数をβ2 = β + βの 形式の順序数として特徴付けることはできません。順序数の乗法は可換ではないため、一般に2β ≠ β2です。実際、偶数順序数ω + 4はβ + βとして表すことはできず、順序数は

(ω + 3)2 = (ω + 3) + (ω + 3) = ω + (3 + ω) + 3 = ω + ω + 3 = ω2 + 3

均一ではありません。

順序数パリティの簡単な応用は、基数加算の冪等性法則である（整列定理が与えられた場合）。無限基数 κ、または一般に任意の極限順序数 κ が与えられた場合、κ はその偶数順序数の部分集合と奇数順序数の部分集合の両方と順序同型である。したがって、基数和κ + κ = κ が成り立つ。^{[2] [7]}