ソリトン（光学）

光学において、ソリトンという用語は、媒体内の非線形効果と分散効果の微妙なバランスにより伝播中に変化しない光場を指すために使用されます。 ^[1]ソリトンには主に2種類あります。

• 空間ソリトン：非線形効果により分散をバランスさせることができる。電磁場は伝播中に媒体の屈折率を変えることができるため、グレーデッドインデックスファイバーに似た構造を作り出すことができる。^[2]電磁場がそれが作り出したガイドの伝播モードでもある場合、電磁場は閉じ込められたままになり、形状を変えることなく伝播する。
• 時間ソリトン: 電磁場がすでに空間的に閉じ込められている場合、非線形効果によって分散が均衡するため、形状が変化しないパルスを送信できます。これらのソリトンは最初に発見され、光学では単に「ソリトン」と呼ばれることがよくあります。

空間ソリトンがどのように存在するかを理解するためには、単純な凸レンズについていくつか考慮する必要があります。右の図に示すように、光場がレンズに近づき、焦点が合わせられます。レンズの効果は、焦点を合わせる原因となる不均一な位相変化を導入することです。この位相変化は空間の関数であり、 で表すことができます。その形状は図にほぼ表されています。 ${\displaystyle \varphi (x)}$

位相変化は、位相定数と磁場がカバーした経路の幅の積として表すことができます。次のように記述できます。

${\displaystyle \varphi (x)=k_{0}nL(x)}$

ここで、はレンズの幅で、とnは定数なので、と同じ形状で各ポイントで変化します。言い換えれば、フォーカス効果を得るには、このような形状の位相変化を導入するだけでよく、幅を変更する必要はありません。各ポイントの幅Lを固定したまま、屈折率の値を変更すると、まったく同じ効果が得られますが、まったく異なるアプローチになります。 ${\displaystyle L(x)}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle n(x)}$

これはグレーデッドインデックスファイバーに応用されています。屈折率の変化によって集束効果が生じ、フィールドの自然な回折をバランスさせることができます。2 つの効果が完全にバランスすると、ファイバー内で伝播する限定されたフィールドが得られます。

空間ソリトンも同じ原理に基づいています。カー効果により、強度に応じて屈折率が変化する 自己位相変調が導入されます。

${\displaystyle \varphi (x)=k_{0}n(x)L=k_{0}L[n+n_{2}I(x)]}$

が図に示すような形状であれば、必要な位相動作が作成され、フィールドは自己収束効果を示します。言い換えると、フィールドは伝播中にファイバーのようなガイド構造を作成します。フィールドがファイバーを作成し、同時に がそのようなファイバーのモードである場合、集束非線形効果と回折線形効果が完全にバランスしており、フィールドはその形状を変えることなく永久に伝播することを意味します (媒体が変化せず、損失を無視できる限り、当然のことですが)。自己収束効果を得るには、 が正である必要があります。そうでない場合は、逆の効果が得られ、非線形動作に気付かないでしょう。 ${\displaystyle I(x)}$${\displaystyle n_{2}}$

ソリトンが伝播する際に作り出す光導波路は数学的なモデルであるだけでなく、実際に存在し、異なる周波数の他の波を導くために使用できます^[要出典]。この方法では、異なる周波数の光と光を相互作用させることができます (線形媒体では不可能です)。

電場は光カー効果を示す媒体内を伝播するため、屈折率は次のように表されます。

${\displaystyle n(I)=n+n_{2}I}$

放射照度と電界の関係は（複素表現では）

${\displaystyle I={\frac {|E|^{2}}{2\eta }}}$

ここで、およびは自由空間のインピーダンスであり、次のように与えられる。 ${\displaystyle \eta =\eta _{0}/n}$${\displaystyle \eta_{0}}$

${\displaystyle \eta _{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}\approx 377{\text{ }}\Omega .}$

場は位相定数で 方向に伝播します。ここでは、 y軸への依存性を無視し、その方向には無限であると仮定します。すると、場は次のように表すことができます。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle k_{0}n}$

${\displaystyle E(x,z,t)=A_{m}a(x,z)e^{i(k_{0}nz-\omega t)}}$

ここで、 は場の最大振幅であり、はx軸上の電場の形状を表す無次元正規化関数 (最大値は 1) です。一般に、場は伝播中に形状が変化するため、 zに依存します。ここで、ヘルムホルツ方程式を解く必要があります。 ${\displaystyle A_{m}}$${\displaystyle a(x,z)}$

${\displaystyle \nabla ^{2}E+k_{0}^{2}n^{2}(I)E=0}$

ここで、屈折率（したがって位相定数）は強度に依存することが明確に指摘されています。エンベロープが伝播中にゆっくりと変化する と仮定して、方程式の電場の表現を置き換えると、${\displaystyle a(x,z)}$

${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}a(x,z)}{\partial z^{2}}}\right|\ll \left|k_{0}{\frac {\partial a(x,z)}{\partial z}}\right|}$

式は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}a}{\partial x^{2}}}+i2k_{0}n{\frac {\partial a}{\partial z}}+k_{0}^{2}\left[n^{2}(I)-n^{2}\right]a=0.}$

非線形効果は常に線形効果よりもはるかに小さいため、有効な近似を導入しましょう。

${\displaystyle \left[n^{2}(I)-n^{2}\right]=[n(I)-n][n(I)+n]=n_{2}I(2n+n_{2}I)\approx 2nn_{2}I}$

ここで、電界の強度を次のように表現します。

${\displaystyle \left[n^{2}(I)-n^{2}\right]\approx 2nn_{2}{\frac {|A_{m}|^{2}|a(x,z)|^{2}}{2\eta _{0}/n}}=n^{2}n_{2}{\frac {|A_{m}|^{2}|a(x,z)|^{2}}{\eta _{0}}}}$

式は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {1}{2k_{0}n}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x^{2}}}+i{\frac {\partial a}{\partial z}}+{\frac {k_{0}nn_{2}|A_{m}|^{2}}{2\eta _{0}}}|a|^{2}a=0.}$

ここで、非線形効果によって自己集束が起こると仮定します。これを明確にするために、方程式に次のように書きます。 ここで、いくつかのパラメータを定義し、方程式に置き換えます。 ${\displaystyle n_{2}>0}$${\displaystyle n_{2}=|n_{2}|}$

• ${\displaystyle \xi ={\frac {x}{X_{0}}}}$したがって、 x軸への依存性を無次元パラメータで表現できます。は長さであり、その物理的な意味は後でより明確になります。${\displaystyle X_{0}}$
• ${\displaystyle L_{d}=X_{0}^{2}k_{0}n}$電場がz方向にこの長さだけ伝播した後は、回折の線形効果を無視できなくなります。
• ${\displaystyle \zeta ={\frac {z}{L_{d}}}}$無次元変数によるz依存性を調べるためのもの。
• ${\displaystyle L_{n\ell}={\frac {2\eta _{0}}{k_{0}n|n_{2}|\cdot |A_{m}|^{2}}}}$電界がz方向にこの長さだけ伝播した後は、非線形効果を無視できなくなります。このパラメータは電界の強度に依存しますが、これは非線形パラメータに典型的なものです。
• ${\displaystyle N^{2}={\frac {L_{d}}{L_{n\ell }}}}$

式は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial \xi ^{2}}}+i{\frac {\partial a}{\partial \zeta }}+N^{2}|a|^{2}a=0}$

これは非線形シュレーディンガー方程式として知られる一般的な方程式です。この形式から、パラメータNの物理的な意味を理解することができます。

• の場合、方程式の非線形部分を無視できます。つまり、 の場合、場は非線形効果よりもずっと早く線形効果 (回折) の影響を受け、非線形動作を起こさずに回折するだけです。${\displaystyle N\ll 1}$${\displaystyle L_{d}\ll L_{n\ell }}$
• の場合、非線形効果は回折よりも顕著になり、自己位相変調により、場は集中する傾向があります。${\displaystyle N\gg 1}$
• の場合、2 つの効果は互いにバランスをとるので、方程式を解く必要があります。${\displaystyle N\approx 1}$

方程式の解は単純であり、それは基本ソリトンです 。${\displaystyle N=1}$

${\displaystyle a(\xi ,\zeta )=\operatorname {sech} (\xi )e^{i\zeta /2}}$

ここで sech は双曲正割です。これはzに依存しますが、位相のみに依存するため、フィールドの形状は伝播中に変化しません。

解を閉じた形で表現することは可能ですが、より複雑な形になります。[ ^3]${\displaystyle N=2}$

${\displaystyle a(\xi ,\zeta )={\frac {4[\cosh(3\xi )+3e^{4i\zeta }\cosh(\xi )]e^{i\zeta /2}}{\cosh(4\xi )+4\cosh(2\xi )+3\cos(4\zeta )}}.}$

伝播中に形状は変化しますが、周期を持つzの周期関数です。 ${\displaystyle \zeta =\pi /2}$

ソリトン解の場合、N は整数でなければならず、それはソリトンの位数であると言われています。 には正確な閉形式の解も存在します。^[4]これはさらに複雑な形をしていますが、同じ周期性が生じます。実際、 のすべてのソリトンは周期 を持ちます。^[5]それらの形状は生成直後にのみ簡単に表現できます。 ${\displaystyle N=3}$${\displaystyle N\geq 2}$${\displaystyle \zeta =\pi /2}$

${\displaystyle a(\xi ,\zeta =0)=N\operatorname {sech} (\xi )}$

右側には、2 次ソリトンのグラフがあります。最初は sech の形状をしており、その後最大振幅が増加し、sech の形状に戻ります。ソリトンを生成するには高い強度が必要なので、磁場の強度がさらに高くなると、媒体が損傷する可能性があります。

基本ソリトンを生成するために解決すべき条件は、N をすべての既知のパラメータで表現し、次のようにすることで得られます。 ${\displaystyle N=1}$

${\displaystyle 1=N={\frac {L_{d}}{L_{n\ell }}}={\frac {X_{0}^{2}k_{0}^{2}n^{2}|n_{2}||A_{m}|^{2}}{2\eta _{0}}}}$

最大放射照度値に関しては次のようになります。

${\displaystyle I_{\max }={\frac {|A_{m}|^{2}}{2\eta _{0}/n}}={\frac {1}{X_{0}^{2}k_{0}^{2}n|n_{2}|}}.}$

ほとんどの場合、変更できる 2 つの変数は最大強度とパルス幅です。 ${\displaystyle I_{\max }}$${\displaystyle X_{0}}$

興味深いことに、高次ソリトンは、ソリトン周期の終わりに元の形状に正確に戻る前に、複雑な形状をとることがあります。さまざまなソリトンの図では、理想的な非線形媒体におけるさまざまな伝播距離 (縦軸) でのスペクトル (左) と時間領域 (右) が示されています。これは、基本的なソリトンをサポートするのに必要な特性を持つ媒体をレーザー パルスが伝搬するときにどのように動作するかを示しています。実際には、非線形効果を達成するために必要な非常に高いピーク強度に達するために、レーザー パルスは、高度に制限された伝播モードを持つフォトニック結晶ファイバーなどの光ファイバーに結合されることがあります。これらのファイバーは、解析的なソリトン パラメーターから逸脱する、より複雑な分散やその他の特性を持っています。

空間光ソリトンに関する最初の実験は、1974年にアシュキンとビョルクホルム^[6]によってナトリウム蒸気で満たされたセル内で報告されました。その後、この分野はリモージュ大学^[7]での液体二硫化炭素の実験で再検討され、1990年代初頭には光屈折結晶^{[8] 、 [9]}ガラス、半導体^{[10]およびポリマーにおけるソリトンの最初の観察により拡大されました。過去数十年間に、均質媒体、周期系、導波路[11]}におけるさまざまな材料、異なる次元、形状、螺旋、衝突、融合、分裂のソリトンについて、多数の発見が報告されています。空間ソリトンは自己捕捉光ビームとも呼ばれ、その形成には通常、自己書き込み導波路も伴います。ネマティック液晶^[12]では、空間ソリトンはネマティコンとも呼ばれます。

横モードの同期により、レーザーの局所励起が発生する場合があります。

共焦点レーザーキャビティでは、直径 の非線形ゲインディスク（ に位置）と飽和吸収ディスク（ に位置）に混合された波長 の単一縦モードと縮退横モードが、双曲形の空間ソリトンを生成することができる。^[13]${\displaystyle 2F}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle G}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle z=2F}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \operatorname {sech} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}E(x,z=0)&\sim \operatorname {sech} \left(\!{\frac {\pi xD}{2\lambda F}}{\sqrt {\frac {1-\alpha G}{G}}}\,\right)\\[3pt]E(x,z=2F)&\sim \operatorname {sech} \left(\!{\frac {2\pi x}{D}}{\sqrt {\frac {G}{1-\alpha G}}}\,\right)\end{aligned}}}$

フーリエ共役平面および^[14 ]${\displaystyle z=0}$${\displaystyle z=2F}$

光ファイバーの伝送ビットレートを制限する主な問題は、群速度分散です。これは、生成されたインパルスの帯域幅がゼロではなく、インパルスが伝搬する媒体の屈折率が周波数（または波長）に依存するためです。この効果は、群遅延分散パラメータDで表されます。これを使用すると、パルスがどれだけ広がるかを正確に計算できます。

${\displaystyle \Delta \tau \approx DL\,\Delta \lambda }$

ここで、Lはファイバーの長さ、 は波長による帯域幅です。現代の通信システムでは、ファイバーのさまざまな部分で異なる符号のDを持つ他のファイバーを使用して、このような分散のバランスをとるというアプローチがとられています。この方法では、パルスは伝播しながら広がり、縮小し続けます。時間ソリトンを使用すると、このような問題を完全に排除できます。 ${\displaystyle \Delta \lambda }$

右側の図を見てみましょう。左側には標準的なガウスパルスがあります。これは、定義された周波数で振動するフィールドのエンベロープです。パルス中は周波数が完全に一定であると想定します。

ここで、このパルスを のファイバーを通して伝搬させると、群速度分散の影響を受けます。Dのこの符号では、分散は異常 であるため、高周波成分は低周波成分よりも少し速く伝搬し、ファイバーの端に早く到着します。得られる全体的な信号は、図の右上に示すように、より幅の広いチャープ パルスです。 ${\displaystyle D>0}$

ここで、非線形カー効果のみを示し、屈折率が周波数に依存しない媒体があると仮定します。このような媒体は存在しませんが、さまざまな効果を理解するために検討する価値はあります。

場の位相は次のように表されます。

${\displaystyle \varphi (t)=\omega _{0}t-kz=\omega _{0}t-k_{0}z[n+n_{2}I(t)]}$

周波数は（定義によれば）次のように表されます。

${\displaystyle \omega (t)={\frac {\partial \varphi (t)}{\partial t}}=\omega _{0}-k_{0}zn_{2}{\frac {\partial I(t)}{\partial t}}}$

この状況は、左の図に示されています。パルスの始まりでは周波数が低く、終わりでは周波数が高くなります。理想的な媒体を伝搬した後、分散を無視しているため、広がりのないチャープ パルスが得られます。

最初の図に戻ると、2 つの効果によって 2 つの異なる反対方向の周波数の変化が生じていることがわかります。2 つの効果が互いにバランスをとるようにパルスを作成することができます。周波数が高い場合、線形分散によってパルスの伝播速度が速くなる傾向があり、非線形カー効果によってパルスの伝播速度が遅くなります。全体的な効果として、パルスは伝播中に変化しません。このようなパルスは時間ソリトンと呼ばれます。

1973年、AT&Tベル研究所の長谷川明とフレッド・タパートは、自己位相変調と異常分散のバランスにより、光ファイバー内にソリトンが存在する可能性があることを初めて示唆した。^{[15] [16]} また、1973年にロビン・バローは光ソリトンの存在について初めて数学的な報告を行った。彼はまた、光通信の性能を向上させるためにソリトンベースの伝送システムのアイデアを提案した。

光ファイバーシステム内のソリトンはマナコフ方程式によって記述されます。

1987 年、ブリュッセル大学とリモージュ大学の P. Emplit、JP Hamaide、F. Reynaud、C. Froehly、A. Barthelemy が光ファイバー内の ダークソリトンの伝播を初めて実験的に観測しました。

1988年、リン・モレナウアーと彼のチームは、 1920年代に初めてこの現象を説明したインドの科学者サー・CV・ラマンにちなんで名付けられたラマン効果と呼ばれる現象を利用して、ソリトンパルスを4,000キロメートル以上伝送し、光ファイバーに光利得をもたらしました。

1991年、ベル研究所の研究チームは、エルビウム光ファイバー増幅器（希土類元素エルビウムを含む光ファイバーのセグメントを接合したもの）を使用して、2.5ギガビットで14,000キロメートル以上にわたってエラーのないソリトンを送信しました。光増幅器に結合されたポンプレーザーがエルビウムを活性化し、光パルスにエネルギーを与えます^[要出典]。

1998年、フランステレコム研究開発センターのティエリー・ジョルジュと彼のチームは、異なる波長の光ソリトンを組み合わせ（波長分割多重）、1テラビット/秒（1秒あたり1,000,000,000,000単位の情報）のデータ伝送を実証しました^[要出典]。

2020年、Optics Communicationsは、文部科学省の日本チームによる、最大90Tbit/s（テラビット/秒）の帯域幅を持つ光回線スイッチングについて報告しました（Optics Communications、第466巻、2020年7月1日、125677）。

電場は、光カー効果を示す媒体内を、xy平面上の電力を制限するガイド構造 (光ファイバーなど) を介して伝播します。電場が位相定数 でz方向に伝播する場合、次の形式で表すことができます。 ${\displaystyle \beta _{0}}$

${\displaystyle E(\mathbf {r} ,t)=A_{m}a(t,z)f(x,y)e^{i(\beta _{0}z-\omega _{0}t)}}$

ここで、はフィールドの最大振幅、は時間領域でインパルスを形成するエンベロープです。一般に、インパルスは伝播中に形状が変化する可能性があるため、zに依存します。 はxy平面上のフィールドの形状を表しますが、フィールドが誘導されると仮定しているため、伝播中に変化しません。aとf はどちらも最大値が 1 である正規化された無次元関数であるため、実際にはフィールドの振幅を表します。 ${\displaystyle A_{m}}$${\displaystyle a(t,z)}$${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle A_{m}}$

媒体には無視できない分散があるため、電場とその分極の関係は畳み込み積分によって与えられます。いずれにしても、フーリエ領域での表現を使用すると、畳み込みを単純な積に置き換えることができ、より単純な媒体で有効な標準的な関係を使用できます。次の定義を使用して電場をフーリエ変換します。

${\displaystyle {\tilde {E}}(\mathbf {r} ,\omega -\omega _{0})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }E(\mathbf {r} ,t)e^{-i(\omega -\omega _{0})t}\,dt}$

この定義を使用すると、時間領域での微分はフーリエ領域での積に対応します。

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}E\Longleftrightarrow i(\omega -\omega _{0}){\tilde {E}}}$

周波数領域におけるフィールドの完全な表現は次のようになります。

${\displaystyle {\tilde {E}}(\mathbf {r} ,\omega -\omega _{0})=A_{m}{\tilde {a}}(\omega ,z)f(x,y)e^{i\beta _{0}z}}$

これでヘルムホルツ方程式を周波数領域で 解くことができます。

${\displaystyle \nabla ^{2}{\tilde {E}}+n^{2}(\omega )k_{0}^{2}{\tilde {E}}=0}$

位相定数を次の表記法で 表すことにしました。

${\displaystyle {\begin{aligned}n(\omega )k_{0}=\beta (\omega )&=\overbrace {\beta _{0}} ^{\text{linear non-dispersive}}+\overbrace {\beta _{\ell }(\omega )} ^{\text{linear dispersive}}+\overbrace {\beta _{n\ell }} ^{\text{non-linear}}\\[8pt]&=\beta _{0}+\Delta \beta (\omega )\end{aligned}}}$

ここで、 （線形分散成分と非線形部分の合計）は小さな摂動、すなわち であると仮定します。位相定数は複雑な動作をする可能性がありますが、 を中心としたテイラー級数で表すことができます。 ${\displaystyle \Delta \beta }$${\displaystyle |\beta _{0}|\gg |\Delta \beta (\omega )|}$${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle \beta (\omega )\approx \beta _{0}+(\omega -\omega _{0})\beta _{1}+{\frac {(\omega -\omega _{0})^{2}}{2}}\beta _{2}+\beta _{n\ell }}$

ここで、既知の通り：

${\displaystyle \beta _{u}=\left.{\frac {d^{u}\beta (\omega )}{d\omega ^{u}}}\right|_{\omega =\omega _{0}}}$

電界の表現を方程式に入れて計算を行います。ゆっくり変化する包絡線近似を仮定すると、

${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}{\tilde {a}}}{\partial z^{2}}}\right|\ll \left|\beta _{0}{\frac {\partial {\tilde {a}}}{\partial z}}\right|}$

結果は次のようになります:

${\displaystyle 2i\beta _{0}{\frac {\partial {\tilde {a}}}{\partial z}}+[\beta ^{2}(\omega )-\beta _{0}^{2}]{\tilde {a}}=0}$

xy平面における振る舞いは既に知られており、 によって与えられているため、無視します。空間ソリトンの場合と同様に、小さな近似を行います。 ${\displaystyle f(x,y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta ^{2}(\omega )-\beta _{0}^{2}&=[\beta (\omega )-\beta _{0}][\beta (\omega )+\beta _{0}]\\[6pt]&=[\beta _{0}+\Delta \beta (\omega )-\beta _{0}][2\beta _{0}+\Delta \beta (\omega )]\approx 2\beta _{0}\,\Delta \beta (\omega )\end{aligned}}}$

これを式に置き換えると、次の式が得られます。

${\displaystyle i{\frac {\partial {\tilde {a}}}{\partial z}}+\Delta \beta (\omega ){\tilde {a}}=0}$。

ここで、時間領域に戻りましょう。積を導関数で表すと、双対性が得られます。

${\displaystyle \Delta \beta (\omega )\Longleftrightarrow i\beta _{1}{\frac {\partial }{\partial t}}-{\frac {\beta _{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+\beta _{n\ell }}$

非線形成分は、フィールドの放射照度または振幅で表すことができます。

${\displaystyle \beta _{n\ell }=k_{0}n_{2}I=k_{0}n_{2}{\frac {|E|^{2}}{2\eta _{0}/n}}=k_{0}n_{2}n{\frac {|A_{m}|^{2}}{2\eta _{0}}}|a|^{2}}$

空間ソリトンとの双対性については次のように定義します。

${\displaystyle L_{n\ell }={\frac {2\eta _{0}}{k_{0}nn_{2}|A_{m}|^{2}}}}$

この記号は、文脈が異なっていても、前の場合と同じ意味を持ちます。式は次のようになります。

${\displaystyle i{\frac {\partial a}{\partial z}}+i\beta _{1}{\frac {\partial a}{\partial t}}-{\frac {\beta _{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial t^{2}}}+{\frac {1}{L_{n\ell }}}|a|^{2}a=0}$

インパルスはz軸に沿って群速度で伝播していることが分かっているので、伝播中にパルスがどのように形を変えるかを知りたいだけなので、群速度には興味がありません。インパルスの形、つまり包絡線関数a (·)を、同じ速度でフィールドとともに移動する参照を使用して調べることにしました。したがって、次の代入を行います。 ${\displaystyle v_{g}=1/\beta _{1}}$

${\displaystyle T=t-\beta _{1}z}$

そして方程式は次のようになります。

${\displaystyle i{\frac {\partial a}{\partial z}}-{\frac {\beta _{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial T^{2}}}+{\frac {1}{L_{n\ell }}}|a|^{2}a=0}$

さらに、フィールドが伝播する媒体が異常分散、つまりまたは 群遅延分散パラメータ を示していると仮定します。 式 を に置き換えると、これがより明確になります。 ここで、次のパラメータを定義しましょう (前の場合との二重性は明らかです)。 ${\displaystyle \beta _{2}<0}$${\displaystyle D={\frac {-2\pi c}{\lambda ^{2}}}\beta _{2}>0}$${\displaystyle \beta _{2}=-|\beta _{2}|}$

${\displaystyle L_{d}={\frac {T_{0}^{2}}{|\beta _{2}|}};\qquad \tau ={\frac {T}{T_{0}}};\qquad \zeta ={\frac {z}{L_{d}}};\qquad N^{2}={\frac {L_{d}}{L_{n\ell }}}}$

これらを方程式に置き換えると次のようになります。

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial \tau ^{2}}}+i{\frac {\partial a}{\partial \zeta }}+N^{2}|a|^{2}a=0}$

これは前回の場合とまったく同じ式です。1次ソリトンは次のように表されます。

${\displaystyle a(\tau ,\zeta )=\operatorname {sech} (\tau )e^{i\zeta /2}}$

この場合も、これまでと同じ考慮が有効です。条件N  = 1 は電場の振幅に関する条件になります。

${\displaystyle |A_{m}|^{2}={\frac {2\eta _{0}|\beta _{2}|}{T_{0}^{2}n_{2}k_{0}n}}}$

あるいは、放射照度に関して言えば：

${\displaystyle I_{\max }={\frac {|A_{m}|^{2}}{2\eta _{0}/n}}={\frac {|\beta _{2}|}{T_{0}^{2}n_{2}k_{0}}}}$

または、次のように定義される有効面積を導入すれば、それを電力の観点から表現することもできます。 ${\displaystyle A_{\text{eff}}}$${\displaystyle P=IA_{\text{eff}}}$

${\displaystyle P={\frac {|\beta _{2}|A_{\text{eff}}}{T_{0}^{2}n_{2}k_{0}}}}$

光ソリトンとは何かを説明し、数学を使って、光ソリトンを作成するには、インパルスの持続時間に関連する特定のパワーを持つ特定の形状（1 次では sech のみ）のフィールドを作成する必要があることを説明しました。しかし、そのようなインパルスの作成が少し間違っていたらどうなるでしょうか。方程式に小さな摂動を加えて数値的に解くと、1 次元ソリトンが安定していることを示すことができます。これらは(1 + 1) D ソリトンと呼ばれることが多く、1 つの次元（すでに説明したようにxまたはt ）に制限され、別の次元（ z）に伝播することを意味します。

わずかに間違ったパワーや形状を使用してこのようなソリトンを作成すると、正しいパワーで標準のsech形状に達するまで調整されます。残念ながら、これはいくらかのパワー損失を犠牲にして達成されますが、必要なフィールドと一緒に伝播する別の非ソリトン フィールドを生成する可能性があるため、問題が発生する可能性があります。一次元ソリトンは非常に安定しています。たとえば、とにかく 1 次ソリトンを生成する場合、Nが大きい場合はより高次のソリトンが生成されますが、伝播中にフォーカスすると、メディアを損傷する高パワー ピークが発生する可能性があります。 ${\displaystyle 0.5<N<1.5}$

(1 + 1) D空間ソリトンを作成する唯一の方法は、誘電体スラブを使用してy軸上のフィールドを制限し、次にソリトンを使用して x軸上のフィールドを制限することです。

一方、(2 + 1) D空間ソリトンは不安定であるため、小さな摂動 (たとえばノイズによる) によって、ソリトンが線形媒体内のフィールドとして回折したり、崩壊したりして、材料が損傷する可能性があります。飽和非線形媒体を使用して、安定した(2 + 1) D空間ソリトンを作成することができます。この場合、Kerr 関係は最大値に達するまで有効です。この飽和レベルに近い状態で作業すると、3 次元空間で安定したソリトンを作成できます。 ${\displaystyle n(I)=n+n_{2}I}$

より短い（時間的な）光パルスの伝播やより長い距離の伝播を考える場合、より高次の補正を考慮する必要があり、そのためパルス搬送波エンベロープは高次非線形シュレーディンガー方程式（HONSE）によって支配され、この方程式にはいくつかの特殊な（解析的な）ソリトン解が存在する。^[17]

これまで見てきたように、ソリトンを生成するには、生成時に適切なパワーが必要です。媒体に損失がない場合、ソリトンは形状を変えることなく (1 次)、または定期的に形状を変えることなく (高次) 永遠に伝播し続けることが分かっています。残念ながら、どの媒体でも損失が発生するため、実際のパワーの挙動は次のようになります。

${\displaystyle P(z)=P_{0}e^{-\alpha z}}$

これは、数キロメートルにわたってファイバー内を伝搬する時間ソリトンにとって深刻な問題です。時間ソリトンに何が起こるかを考えれば、空間ソリトンへの一般化はすぐに可能です。私たちは、電力とインパルス長の関係が次の式で示されることを証明しました。 ${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle T_{0}}$

${\displaystyle P={\frac {|\beta _{2}|A_{\text{eff}}}{T_{0}^{2}n_{2}k_{0}}}}$

べき乗が変化すると、関係式の 2 番目の部分で変化できるのは だけです。 べき乗に損失を追加し、 について関係式を解くと、次のようになります。 ${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle T_{0}}$

${\displaystyle T(z)=T_{0}e^{(\alpha /2)z}}$

インパルスの幅は損失を均衡させるために指数関数的に増大します。この関係はソリトンが存在する限り、つまりこの摂動が小さくなるまで当てはまります。そうでなければ、ソリトンの方程式は使用できず、標準的な線形分散を調べる必要があります。光ファイバーとソリトンを使用して伝送システムを作成する場合は、電力損失を制限するために 光増幅器を追加する必要があります。${\displaystyle \alpha z\ll 1}$

かなりの長さ（50～100 m）のシングルモード光ファイバーに対する高周波（20 MHz～1 GHz）外部磁場誘起非線形カー効果の影響を分析し、群速度分散（GVD）とそれに続くソリトンパルス（ピークエネルギー、狭いセカント双曲パルス）の発展を補正するための実験が行われてきました。^[18] ファイバー内でのソリトンパルスの発生は、パルスオフセットGVDの高エネルギーによる自己位相変調として明らかな結論ですが、発展長は2000 kmです。（1.3マイクロメートルを超えるレーザー波長を選択）。さらに、ピークソリトンパルスの周期は1～3 psであるため、光帯域幅に安全に収容できます。ソリトンパルスが生成されると、数千キロメートルの長さのファイバーにわたって分散が最小になり、中継局の数が制限されます。

両方のタイプのソリトンの解析では、媒体に関する特定の条件を仮定しました。

• 空間ソリトンでは、自己位相変調が自己集束を引き起こすことを意味する。${\displaystyle n_{2}>0}$
• 時間ソリトン、または異常分散${\displaystyle \beta _{2}<0}$${\displaystyle D>0}$

これらの条件が検証されない場合、ソリトンを得ることは可能ですか?または と仮定すると、次の微分方程式が得られます (どちらの場合も同じ形式ですが、時間ソリトンの表記法のみを使用します)。 ${\displaystyle n_{2}<0}$${\displaystyle \beta _{2}>0}$

${\displaystyle {\frac {-1}{2}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial \tau ^{2}}}+i{\frac {\partial a}{\partial \zeta }}+N^{2}|a|^{2}a=0.}$

この方程式はソリトンのような解を持ちます。1次（N  = 1）の場合：

${\displaystyle a(\tau ,\zeta )=\tanh(\tau )e^{i\zeta }.\ }$

のプロットは右の図に示されています。高次のソリトン ( ) の場合、次の閉じた形式の表現を使用できます。 ${\displaystyle |a(\tau ,\zeta )|^{2}}$${\displaystyle N>1}$

${\displaystyle a(\tau ,\zeta =0)=N\tanh(\tau ).\ }$

これは、形状を変えずに伝播するという意味でソリトンですが、通常のパルスによって生成されるものではなく、連続時間ビームのエネルギー不足によって生成されます。強度は一定ですが、短時間でゼロにジャンプして再びゼロに戻るため、「ダーク パルス」が生成されます。これらのソリトンは、実際には、はるかに長い標準パルスに短いダーク パルスを導入することで生成できます。ダーク ソリトンは標準ソリトンよりも扱いが難しいですが、損失に対してより安定しており、堅牢であることがわかっています。

• ソリトン
• 自己位相変調
• 光カー効果
• ベクトルソリトン
• ネマティコン
• 超短パルス

• GPU を使用した SMF-28 におけるソリトン伝播