非線形多次元信号処理

信号処理において、非線形多次元信号処理（NMSP）は、非線形多次元信号およびシステムを使用したすべての信号処理を網羅しています。非線形多次元信号処理は、信号処理（多次元信号処理）のサブセットです。非線形多次元システムは、画像処理^{[ 1 ]} 、テレトラフィック、通信、水文学、地質学、経済学など、幅広い分野で使用できます。非線形システムは、フーリエ変換やウェーブレット解析を使用して線形システムとして扱うことはできません。非線形システムは、カオス的挙動、リミットサイクル、定常状態、分岐、多重安定性などを持ちます。非線形システムには、線形システムのインパルス応答のような標準的な表現はありません。しかし、ボルテラ級数やウィーナー級数など、多項式積分を使用して非線形システムを特徴付ける試みがいくつかあります。これらの方法を使用すると、信号が自然に多次元に拡張されるためです。^{[ 2 ] [ 3 ]}別の例として、非線形多次元システムに対してフーリエ変換の代わりにヒルベルト変換を使用する経験的モード分解法があります。 ^{[ 4 ] [ 5 ]}この方法は経験的方法であり、データセットに直接適用できます。 多次元非線形フィルタ(MDNF) も NMSP の重要な部分であり、MDNF は主に実データ内のノイズをフィルタリングするために使用されます。 カラー画像処理で使用される非線形タイプのハイブリッドフィルタ、^{[ 1 ]}磁気共鳴画像復元で使用される非線形エッジ保存フィルタがあります。 これらのフィルタは時間情報と空間情報の両方を使用し、最尤推定と空間平滑化アルゴリズムを組み合わせます。^{[ 6 ]}

線形周波数応答関数（FRF）は、ボルテラ級数による高次伝達関数とインパルス応答関数の評価によって非線形システムに拡張できます。^{[ 2 ]}時系列があると仮定します。${\displaystyle y(t)}$分解される${\displaystyle y(t)}$さまざまな次数を持つコンポーネントに分解する^{[ 2 ]}

${\displaystyle y(t)=y_{0}+y_{1}(t)+y_{2}(t)+\cdots +y_{n}(t).}$

各コンポーネントは次のように定義されます。

${\displaystyle y_{n}(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }h_{n}(\tau _{1},\tau _{2},\cdots ,\tau _{n})\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x(t-\tau _{i})d\tau _{i}}$、

のために${\displaystyle n=1}$、$\displaystyle y_{1}(t)$これは線形畳み込みです。 ${\displaystyle h_{n}(\tau _{1},\tau _{2},\cdots ,\tau _{n})}$は次数 の一般化インパルス応答である${\displaystyle n}$。

1次元フーリエ変換${\displaystyle y_{n}(t)}$は

${\displaystyle Y_{(n)}(\omega )=\int _{-\infty }^{+\infty }[\int _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }h_{n}(\tau _{1},\cdots ,\tau _{n})\prod _{i=1}^{n}x(t-\tau _{i})d\tau _{i}]\exp(-j\omega t)dt.}$

Schetzen ^{[ 7 ]}は次の定義を提案しました。${\displaystyle n}$th 出力コンポーネントとして${\displaystyle n}$時間変数${\displaystyle y_{n}(t_{1},\cdots ,t_{n})}$適用を可能にするために${\displaystyle n}$次元フーリエ変換、

${\displaystyle Y_{n}(\omega _{1},\cdots ,\omega _{n})=\int _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }[\int _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }h_{n}(\tau _{1},\cdots ,\tau _{n})x(t-\tau _{1})\cdots x(t-\tau _{n})d\tau _{1}\cdots d\tau _{n}]\times \exp(-j\omega _{1}t_{1}\cdots -j\omega _{n}t_{n})dt_{1}\cdots dt_{n}.}$

の逆フーリエ変換をとる${\displaystyle Y_{(n)}(\omega )}$そして${\displaystyle Y_{n}(\omega _{1},\cdots ,\omega _{n})}$そして均等化する${\displaystyle t_{1}=t_{2}=\cdots =t_{n}=t}$すると、次の式が得られます。

${\displaystyle Y_{(n)}(\omega )=\int _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }Y_{n}(\omega -\omega _{2}-\cdots -\omega _{n},\omega _{2},\cdots ,\omega _{n})d\omega _{2}d\omega _{3}\cdots d\omega _{n}.}$^{[ 2 ]}

多次元アンサンブル経験的モード分解法が、画像や密度が変化する固体を含む多次元データに適用された。この分解は、関係する各次元のデータスライスにアンサンブル経験的モード分解（EEMD）を適用することに基づいている。対応する固有モード関数の最終的な再構成は、比較可能な最小スケール結合原理に基づいている。^{[ 8 ]}

2次元信号の場合${\displaystyle f(m,n)}$EEMDを使用して、まず信号をy方向に分解して${\displaystyle g_{j}(m,n)}$各行の${\displaystyle g_{j}(m,n)}$EEMD を使用して分解されます。

させて${\displaystyle f(x,y)}$サンプリングされる${\displaystyle f(m,n)=\left({\begin{array}{cccc}f_{1,1}&f_{2,1}&\cdots &f_{M,1}\\f_{1,2}&f_{2,2}&\cdots &f_{M,2}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\f_{1,n}&f_{2,N}&\cdots &f_{M,N}\end{array}}\right),}$

EEMD分解​${\displaystyle m}$の 番目の列${\displaystyle f(m,n)}$は

${\displaystyle f(m,\sim )=\sum _{j=1}^{J}C_{j}(m,\sim )=\sum _{j=1}^{J}\left({\begin{array}{c}c_{m,1,j}\\c_{m,2,j}\\\cdots \\c_{m,N,j}\\\end{array}}\right),}$

すべての列を分解すると、次のようになります。${\displaystyle j}$番目の行列は

${\displaystyle g_{j}(m,n)=\left({\begin{array}{cccc}c_{1,1,j}&c_{2,1,j}&\cdots &c_{M,1,j}\\c_{1,2,j}&c_{2,2,j}&\cdots &c_{M,2,j}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\c_{1,N,j}&c_{2,N,j}&\cdots &c_{M,N,j}\\\end{array}}\right).}$

これは${\displaystyle j^{th}}$元のデータの構成要素${\displaystyle f(m,n)}$

${\displaystyle n^{th}}$列${\displaystyle g_{j}(m,n)}$EEMDを用いた分解は

${\displaystyle g_{j}(\sim ,n)=\sum _{k=1}^{K}D_{j,k}(\sim ,n)=\sum _{k=1}^{K}\left({\begin{array}{cccc}d_{1,n,j,k}&d_{2,n,j,k}&\cdots &d_{M,n,j,k}\\\end{array}}\right),}$

コンポーネントを再配置します

${\displaystyle h_{j,k}(m,n)=\left({\begin{array}{cccc}d_{1,1,j,k}&d_{2,1,j,k}&\cdots &d_{M,1,j,k}\\d_{1,2,j,k}&d_{2,2,j,k}&\cdots &d_{M,2,j,k}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\d_{1,N,j,k}&d_{2,1,N,k}&\cdots &d_{M,N,j,k}\\\end{array}}\right),}$

それで${\displaystyle f(m,n)=\sum _{k=1}^{K}\sum _{j=1}^{J}h_{j,k}(m,n).}$多次元分解の場合${\displaystyle n}$次元関数についても、上記と同じ方法を使用できます。^{[ 4 ]}