入れ子式区間トポロジー

数学、特に一般位相においては、入れ子区間位相は、開区間(0,1)、すなわち0 < x < 1を満たすすべての実数xの集合に与えられた位相の一例である。開区間 (0,1) は、0 と 1の間のすべての実数の集合であるが、0 と 1 は含まない。

集合 (0,1) に位相を与えるということは、(0,1) のどの部分集合が「開集合」であるかを言うことであり、以下の公理を満たすようにそれを行うことを意味します。 ^{[ 1 ]}

1. 開集合の和集合は開集合である。
2. 有限個の開集合の共通部分は開集合である。
3. 集合(0,1)と空集合∅は開集合である。

集合 (0,1) と空集合 ∅ は開集合である必要があり、この位相では (0,1) と ∅ を開集合と定義します。この位相における他の開集合はすべて(0,1 − 1/ n )の形であり、 nは2 以上の正の整数、つまりn = 2, 3, 4, 5, ...です。^{[ 1 ]}

• 入れ子になった区間トポロジーは、ハウスドルフでもT1でもない。実際、xが(0,1)の要素である場合、単一集合{ x }の閉包は半開区間[1 − 1/ n ,1)であり、nはn ≤ (1 − x ) ⁻¹を満たす最大値である。^{[ 1 ]}
• 入れ子になった区間位相はコンパクトではない。しかし、開集合が可算個しかないため、強くリンデレーフである。 ^{[ 1 ]}
• 入れ子になった区間トポロジーは超連結であり、したがって連結である。^{[ 1 ]}
• 入れ子になった区間トポロジーはアレクサンドロフである。^{[ 1 ]}