共分散分析

共分散分析( ANCOVA ) は、 ANOVAと回帰を融合した一般線形モデルです。ANCOVA は、従属変数(DV) の平均が、1 つ以上のカテゴリ独立変数(IV) のレベル全体と 1 つ以上の連続変数全体で等しいかどうかを評価します。たとえば、カテゴリ変数は治療を説明し、連続変数は共変量(CV)、通常は迷惑変数である可能性があります。またはその逆です。数学的には、ANCOVA は DV の分散を CV によって説明される分散、カテゴリ IV によって説明される分散、および残差分散に分解します。直感的には、ANCOVA は CV のグループ平均によって DV を「調整」するものと考えることができます。^[1]

ANCOVA モデルは、応答 (DV) と共変量 (CV) の間に線形関係があることを前提としています。

${\displaystyle y_{ij}=\mu +\tau _{i}+\mathrm {B} (x_{ij}-{\overline {x}})+\epsilon _{ij}.}$

この式では、DV はi 番目のカテゴリ グループの j 番目の観測値、CV はi番目のグループの共変量のj番目の観測値です。観測データから導出されるモデル内の変数は、(全体平均) と(共変量の全体平均) です。適合される変数は、 (カテゴリ IV のi番目のレベルの効果)、(直線の傾き)、および( i番目のグループのj番目の観測値に関連する観測されていない誤差項) です。 ${\displaystyle y_{ij}}$${\displaystyle x_{ij}}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle {\overline {x}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \tau_{i}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \epsilon _{ij}}$

この仕様では、カテゴリカルな治療効果の合計はゼロになります。以下で説明するように、線形回帰モデルの標準的な仮定も成立すると仮定されます。^[2]${\displaystyle \left(\sum _{i}^{a}\tau _{i}=0\right).}$

ANCOVAは、グループ内誤差分散を減らすことで、統計的検出力（グループ間に有意差がある場合にそれが見つかる確率）を高めるために使用できます。^[3]これを理解するには、グループ間の差異を評価するために使用されるテストであるFテストを理解する必要があります。Fテストは、グループ間の説明された分散（例：医療回復の差）をグループ内の説明されていない分散で割ることによって計算されます。したがって、

${\displaystyle F={\frac {MS_{between}}{MS_{within}}}}$

この値が臨界値より大きい場合、グループ間に有意差があると結論付けます。説明できない差異には、誤差の差異 (例: 個人差) や、その他の要因の影響が含まれます。したがって、CV の影響は分母にまとめられます。DV に対する CV の影響を制御する場合、分母から CV を除去してFを大きくし、有意な影響が存在する場合にそれを見つける力を高めます。

ANCOVA のもう 1 つの用途は、非等価 (無傷) グループにおける既存の差異を調整することです。この議論の多い用途は、複数の無傷グループ間で DV に存在する初期グループ差異 (グループ割り当て前) を修正することを目的としています。この状況では、参加者をランダム割り当てによって同等にすることはできないため、CV を使用してスコアを調整し、CV がない場合よりも参加者を類似させます。ただし、共変量を使用しても、不平等なグループを同等にできる統計的手法はありません。さらに、CV はカテゴリ IV と非常に密接に関連しているため、CV に関連する DV の分散を削除すると、DV の分散が大幅に削除され、結果が無意味になります。^[4]

ANCOVAの使用の根底にあり、結果の解釈に影響を与えるいくつかの重要な仮定があります。^[2]標準的な線形回帰の仮定が成り立ち、さらに共変量の傾きがすべての治療群にわたって等しい（回帰傾きの均一性）と仮定します。

従属変数と付随変数間の回帰関係は線形である必要があります。

誤差は、さまざまな処理クラスと観測値に対して、条件付きゼロ平均と等分散を持つランダム変数です。

エラーは相関していません。つまり、エラー共分散行列は対角です。

残差（誤差項）は正規 分布するはずです。${\displaystyle \epsilon _{ij}}$${\displaystyle N(0,\sigma ^{2})}$

異なる回帰直線の傾きは同等である必要があります。つまり、回帰直線はグループ間で平行である必要があります。

5 番目の問題は、異なる処理の回帰勾配の均一性に関するもので、ANCOVA モデルの妥当性を評価する上で特に重要です。また、誤差項のみが正規分布している必要があることにも注意してください。実際、ほとんどの場合、独立変数と付随変数の両方が正規分布しているわけではありません。

CV が別の CV と高度に関連している場合 (相関が 0.5 以上)、他の CV を超えて DV が調整されることはありません。統計的に冗長であるため、どちらか一方を削除する必要があります。

Levene の誤差分散の等価性検定によってテストされます。これは調整が行われた後に最も重要になりますが、調整前にこの検定を行っていれば、調整後にもこの検定が行われる可能性が高くなります。

CVがカテゴリIVと有意に相互作用するかどうかを確認するには、IVとCVxIV相互作用項の両方を含むANCOVAモデルを実行します。CVxIV相互作用が有意である場合、ANCOVAは実行しないでください。代わりに、Green & Salkind ^[5]は、 CVの特定のレベルでDVのグループの違いを評価することを提案しています。また、CVとその相互作用を別のIVとして扱う、調整回帰分析の使用を検討してください。あるいは、 CVがIVのDVへの影響を説明しているかどうかを判断するために、媒介分析を使用することもできます^{[引用が必要]}。

CV×IV 相互作用が有意でない場合は、CV×IV 相互作用項なしで ANCOVA を再実行します。この分析では、調整済み平均と調整済み平均二乗誤差を使用する必要があります。調整済み平均 (最小二乗平均、LS 平均、推定限界平均、または EMM とも呼ばれます) は、DV に対する CV の影響をコントロールした後のグループ平均を指します。

有意な主効果があった場合、それは他のすべての要因を無視して、１つのカテゴリIVのレベル間に有意差があることを意味します。^[6]どのレベルが互いに有意に異なるかを正確に見つけるには、ANOVAの場合と同じフォローアップテストを使用できます。IVが2つ以上ある場合は、有意な相互作用がある可能性があります。これは、1つのIVのDVへの影響が別の要因のレベルに応じて変化することを意味します。要因分散分析と同じ方法を使用して、単純な主効果を調査できます。

一般に、共変量を分散分析に含めると、従属変数の分散の一部が考慮され、独立変数によって説明される分散の比率が増加するため、統計的検出力は向上しますが、分散分析に共変量を追加すると自由度も低下します。したがって、従属変数の分散をほとんど考慮しない共変量を追加すると、実際には検出力が低下する可能性があります。

• MANCOVA（多変量共分散分析）

WikiversityにはANCOVAに関する学習リソースがあります

• ランダム化ブロック、分割プロット、反復測定、ラテン方格など、最大 3 つの処理因子を含むすべての ANOVA および ANCOVA モデルの例と、R でのそれらの分析 (サウサンプトン大学)
• 独立サンプルの一元配置共分散分析
• 共分散分析は何に使用されますか?
• GJP Van Breukelen と KRA Van Dijk によるランダム化比較試験における共変量の使用 (2007)