多変量分散分析

統計学において、多変量分散分析（MANOVA ）は、多変量サンプルの平均を比較する手順です。多変量手順として、2つ以上の従属変数がある場合に使用され、^[1]個々の従属変数を個別に含む有意性検定が続くことがよくあります。^[2]

画像とは関係なく、従属変数は、連続した時点で測定された k 個の生活満足度スコアと、連続した時点で測定された p 個の職務満足度スコアである可能性があります。この場合、k+p 個の従属変数の線形結合が多変量正規分布、多変量分散共分散行列の同質性、線形関係に従い、多重共線性がなく、それぞれ外れ値がありません。

次元の観測値を想定し、'番目の観測値はグループに割り当てられ、多変量ガウスノイズとともにグループ中心の周りに分布しています。ここで、は共分散行列です。次に、帰無仮説を次のように 定式化します。${\textstyle n}$ ${\textstyle q}$${\textstyle i}$${\textstyle y_{i}}$${\textstyle g(i)\in \{1,\dots ,m\}}$${\textstyle \mu ^{(g(i))}\in \mathbb {R} ^{q}}$$${\displaystyle y_{i}=\mu ^{(g(i))}+\varepsilon _{i}\quad \varepsilon _{i}{\overset {\text{iid}}{\sim }}{\mathcal {N}}_{q}(0,\Sigma )\quad {\text{ for }}i=1,\dots ,n,}$$${\textstyle \Sigma }$$${\displaystyle H_{0}\!:\;\mu ^{(1)}=\mu ^{(2)}=\dots =\mu ^{(m)}.}$$

MANOVAは単変量分散分析（ANOVA）の一般化された形式ですが、 ^[1]単変量ANOVAとは異なり、平均差の統計的有意性を検定する際に結果変数間の共分散を使用します。

単変量分散分析では平方和が出現しますが、多変量分散分析では特定の正定値行列が出現します。対角要素は、単変量 ANOVA で出現するのと同じ種類の平方和です。非対角要素は、対応する積の合計です。誤差分布に関する正規性の仮定の下では、誤差による平方和の対応物はウィシャート分布に従います。

まず、次の行列を定義します。 ${\textstyle n\times q}$

• ${\textstyle Y}$: ここで、-番目の行は${\textstyle i}$${\textstyle y_{i}}$

• ${\textstyle {\hat {Y}}}$: ここで、- 行目は、グループ のメンバーシップ を前提とした最良の予測です。これは、グループ:内のすべての観測値の平均です。${\textstyle i}$${\textstyle g(i)}$${\textstyle g(i)}$${\textstyle {\frac {1}{{\text{グループのサイズ}}g(i)}}\sum _{k:g(k)=g(i)}y_{k}}$

• ${\textstyle {\bar {Y}}}$: ここで、-行目は情報がない場合の最良の予測です。これはすべての観測値の経験的平均です。${\textstyle i}$${\textstyle n}$${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}y_{k}}$

すると、行列はグループによって説明される平方和の一般化であり、残差平方和の一般化である。^{[3] [4]}あるいは、上記の行列が1/(n-1)でスケーリングされている場合、後続の検定統計量はと を同じ非ゼロ定数 で乗算しても変化しないため、共分散について話すこともできることに留意されたい。 ${\textstyle S_{\text{モデル}}:=({\hat {Y}}-{\bar {Y}})^{T}({\hat {Y}}-{\bar {Y}} )}$${\textstyle S_{\text{res}}:=(Y-{\hat {Y}})^{T}(Y-{\hat {Y}})}$ ${\textstyle S_{\text{モデル}}}$${\textstyle S_{\text{res}}}$

最も一般的な^{[3] [5]}統計は、行列の根（または固有値）に基づく要約である。${\textstyle \lambda _{p}}$${\textstyle A:=S_{\text{モデル}}S_{\text{res}}^{-1}}$

• サミュエル・スタンレー・ウィルクスはラムダ（Λ）として分布する${\displaystyle \Lambda _{\text{Wilks}}=\prod _{1,\ldots ,p}(1/(1+\lambda _{p}))=\det(I+A)^{-1}=\det(S_{\text{res}})/\det(S_{\text{res}}+S_{\text{model}})}$
• KCスリーダラン・ピライ– MSバートレットの 軌跡、^[6]${\displaystyle \Lambda _{\text{Pillai}}=\sum _{1,\ldots ,p}(\lambda _{p}/(1+\lambda _{p}))=\operatorname {tr} (A(I+A)^{-1})}$
• ローリー・ホテリングの痕跡、${\displaystyle \Lambda _{\text{LH}}=\sum _{1,\ldots ,p}(\lambda _{p})=\operatorname {tr} (A)}$
• ロイの最大根（ロイの最大根とも呼ばれる）、${\displaystyle \Lambda _{\text{Roy}}=\max _{p}(\lambda _{p})}$

それぞれの長所については議論が続いているが^[1]、最大根は有意性の限界しか導き出さず、一般には実用上は関心がない。さらに複雑なのは、ロイの最大根を除いて、帰無仮説の下でのこれらの統計量の分布は単純ではなく、いくつかの低次元の場合を除いて近似値しか得られないことである。帰無仮説の下でのロイの最大根の分布のアルゴリズムは^[7]で導出され、対立仮説の下での分布は^[8]で研究されている。

ウィルクスのラムダの最もよく知られた近似は、 CR Raoによって導出されました。

2 つのグループの場合、すべての統計は同等であり、テストはHotelling の T 平方に簡略化されます。

共変量を調整した後、グループ効果があるかどうかをテストすることもできます。これを行うには、上記の手順に従いますが、 をグループと共変量を含む一般線型モデルの予測値 に置き換え、 を共変量（および切片）のみを含む一般線型モデルの予測値 に置き換えます。次に、 はグループ化情報を追加することで説明される追加の平方和であり、 はグループ化と共変量を含むモデルの残差平方和です。^[4]${\textstyle {\hat {Y}}}$${\textstyle {\bar {Y}}}$${\textstyle S_{\text{モデル}}}$${\textstyle S_{\text{res}}}$

不均衡なデータの場合、共変量を追加する順序が重要になることに注意してください。

MANOVAの検出力は従属変数の相関とそれらの変数に関連する効果サイズの影響を受けます。たとえば、2つのグループと2つの従属変数がある場合、相関が小さい方の標準化効果サイズと大きい方の標準化効果サイズの比に等しいときに、MANOVAの検出力は最も低くなります。^[9]

• ノンパラメトリック代替法の順列分散分析
• 判別関数分析
• 正準相関分析
• 多変量分散分析 (Wikiversity)
• 反復測定デザイン

Wikiversityには多変量分散分析に関する学習リソースがあります