粗粒度モデリング

粗視化モデリング、粗視化モデルは、粗視化（簡略化）表現を使用して複雑なシステムの挙動をシミュレートすることを目的としています。粗視化モデルは、さまざまな粒度レベルでの生体分子の分子モデリングに広く使用されています^{[1] [2]}。

粗視化モデルは多岐にわたって提案されている。これらは通常、タンパク質、^{[1] [2]}核酸、^{[3] [4]}脂質膜、^{[2] [5]}炭水化物^[6]または水[ ^{7]などの特定の分子の計算モデル化に特化している。これらのモデルでは、分子は個々の原子ではなく、}アミノ酸残基全体などの原子のグループを近似する「擬似原子」で表されます。自由度を下げることで、分子の詳細を犠牲にして、はるかに長いシミュレーション時間を研究することができます。粗視化モデルは、分子動力学シミュレーションで実用化されています。^[1] 興味深いもう 1 つのケースは、特定の離散状態システムの単純化です。これは、同じシステムを異なる詳細レベルで記述できることが非常に多いためです。^{[8] [9]}キネシン などの分子機械の化学機械力学がその例です。^{[8] [10]}

粗粒度モデリングは、1970年代のマイケル・レビットとアリエル・ウォーシェルの研究に端を発しています。 ^{[11] [12] [13]}粗粒度モデルは現在、再構成ツール^[14] (粗粒度から原子レベルの表現へ) や原子レベルの解像度モデルと組み合わせて、マルチスケールモデリングプロトコルのコンポーネントとしてよく使用されています。 ^[1]原子レベルの解像度モデルだけでは、現在のところ、大規模なシステムサイズやシミュレーション時間スケールを処理するには十分効率的ではありません。^{[1] [2]}

統計力学における粗視化と細視化は、エントロピー、つまり熱力学の第二法則という主題を扱っています。温度の概念は、マクロまたは「黒体」のように熱放射しないため、任意のミクロな粒子に帰属させることはできないことを認識する必要があります。ただし、「ビット」のような 2 つの状態しかないオブジェクト (他には何もありません) に、非ゼロのエントロピーを帰属させることはできます。2 つの場合のエントロピーは、それぞれ熱エントロピーとフォン ノイマン エントロピーと呼ばれます。^[15]これらは、それぞれ粗視化と細視化という用語でも区別されます。この後者の区別は、上で説明した側面に関連しており、以下で詳しく説明します。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$

リウヴィルの定理（リウヴィル方程式とも呼ばれる）

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\Delta q\Delta p)=0}$

は、位相空間の体積（とによって張られ、ここでは 1 つの空間次元）は、に含まれる点がどこに移動しても、時間の経過とともに一定のままであると述べています。これは古典力学における考察です。この見解をマクロ物理学に関連付けるには、各点を、たとえばある固定体積の球で囲みます。これは、同様の動作をする点または状態をひとまとめにする粗視化と呼ばれる手順です。位相空間におけるこの球の軌跡は、他の点もカバーするため、位相空間におけるその体積は増大します。この考察に関連するエントロピーは、ゼロであるかどうかにかかわらず、粗視化エントロピーまたは熱エントロピーと呼ばれます。このようなシステムの多数、つまり、検討中のシステムとその多数のコピーをまとめたものを、アンサンブルと呼びます。これらのシステムが互いに、または他のものと相互作用せず、それぞれが同じエネルギー を持つ場合、そのアンサンブルはミクロカノニカル アンサンブルと呼ばれます。各レプリカ システムは同じ確率で出現し、温度は入り込みません。 ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q,p}$${\displaystyle \Delta q\Delta p}$${\displaystyle q,p}$${\displaystyle S}$${\displaystyle E}$

ここで、位相空間要素を持つ点の運動を記述する確率密度を定義するとします。平衡または定常運動の場合、連続の方程式は確率密度が時間に依存しないことを意味します。位相空間ボリュームの内部でのみ を非ゼロとします。次に、エントロピーを次の関係で 定義します。${\displaystyle \rho (q_{i},p_{i},t)}$${\displaystyle q_{i},p_{i}}$${\displaystyle \Delta q_{i}\Delta p_{i}}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \rho _{i}=\rho (q_{i},p_{i})}$${\displaystyle V_{\Gamma}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle S=-\Sigma _{i}\rho _{i}\ln \rho _{i},\;\;}$どこ${\displaystyle \;\;\Sigma _{i}\rho _{i}=1.}$

そして、与えられたエネルギーを最大化することにより、つまり、ラグランジュ乗数を介して他の合計がゼロになるものとリンクすることにより、次式が得られます（スピンの格子の場合、または各格子点にビットがある場合と同様）。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle \delta S=0}$${\displaystyle \delta}$${\displaystyle \lambda}$

${\displaystyle V_{\Gamma }=e^{(\lambda +1)}={\frac {1}{\rho }}}$ ${\displaystyle \;\;\;}$そして、${\displaystyle \;\;\;}$ ${\displaystyle S=\ln V_{\Gamma }}$

体積はS の指数に比例します。これも古典力学における考慮事項です。 ${\displaystyle \ガンマ}$

量子力学では、位相空間は状態の空間となり、確率密度は射影演算子によって指定された次元または状態数の状態のサブスペースを持つ演算子となる。するとエントロピーは（上記のように得られる） ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle N_{\Gamma}}$${\displaystyle P_{\Gamma}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle S=-Tr\rho \ln \rho =\ln N_{\Gamma },}$

は、細粒度エントロピーまたはフォン ノイマン エントロピーとして説明されます。 の場合、エントロピーはゼロになり、システムは純粋状態にあると言われます。ここで、S の指数は状態数に比例します。ミクロカノニカル アンサンブルは、与えられたシステムの相互作用しない多数のコピーであり、、エネルギーなどはアンサンブル平均になります。 ${\displaystyle N_{\Gamma }=1}$${\displaystyle S}$${\displaystyle E}$

ここで、与えられたシステムと別のシステムとの相互作用、または集団の用語では、与えられたシステムと多数のレプリカがすべて熱浴と呼ばれる大きな熱浴に浸かっている相互作用を考えます。システムは熱浴を介してのみ相互作用するため、集団の個々のシステムは、どのエネルギー状態にあるかに応じて異なるエネルギーを持つことができます。この相互作用はエンタングルメントとして記述され、集団は正準集団として記述されます (マクロ正準集団では粒子の交換も許可されます)。 ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle E_{i},E_{j},...}$${\displaystyle E_{i},E_{j},...}$

熱浴を介したアンサンブル元素の相互作用は、温度 につながることをここで示す。^[16]エネルギー を持つ2つの元素を考えると、これらが熱浴で見つかる確率は に比例し、これは、 2元系を関数 によって定義される同じ熱浴内の系と見なすとに比例する。従って、 （比例性を満たす唯一の方法） となる。ここでは定数である。正規化により、 ${\displaystyle T}$${\displaystyle E_{i},E_{j}}$${\displaystyle \rho (E_{i})\rho (E_{j})}$${\displaystyle \rho (E_{i}+E_{j})}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \rho (E)\propto e^{-\mu E}}$${\displaystyle \mu}$

${\displaystyle \rho (E_{i})={\frac {e^{-\mu E_{i}}}{\Sigma _{j}e^{-\mu E_{j}}}},\シグマ _{i}\rho (E_{i})=1.}$

アンサンブル平均に関して言えば

${\displaystyle {\overline {S}}=-{\overline {\ln \rho }}}$、 そして${\displaystyle \mu \equiv {\frac {1}{T}},\;k_{B}=1,}$

または、熱力学の第二法則と比較することによって。これは、エンタングルメント エントロピーまたは細粒度フォン ノイマン エントロピーです。システムが純粋な状態にある場合はゼロになり、混合 (エンタングルメント) 状態にある場合はゼロ以外になります。 ${\displaystyle {\overline {S}}}$

上記では、熱浴と呼ばれる別の巨大な熱浴に浸漬されたシステムを検討しました。このシステム間で熱交換が可能です。多くの場合、異なる状況、つまり、2 つのシステム A と B の間に小さな穴がある状態が考えられます。B は最初は空ですが、A には爆発装置があり、A が瞬時に光子で満たされるとします。最初は A と B はそれぞれエネルギーとを持ち、相互作用はありません。したがって、最初は両方とも純粋な量子状態にあり、細粒度のエントロピーは 0 です。爆発の直後、A は光子で満たされ、エネルギーはB と同じです(光子はまだ逃げていません)。 A は光子で満たされているため、光子はプランク分布の法則に従い、したがって A の粗視化熱エントロピーはゼロ以外になります (A には光子の構成が多数あり、1 つの極大値を持つ状態が多数あることを思い出してください)。ただし、細視化量子力学的エントロピーは依然としてゼロ (同じエネルギー状態) であり、B も同様です。ここで、光子が A から B にゆっくりと (つまり、平衡を乱さずに) 漏れるようにします。A の光子が少なくなると、A の粗視化エントロピーは減少しますが、B の粗視化エントロピーは増加します。A と B のこのエンタングルメントは、これらが量子力学的に混合状態にあることを意味し、したがって細視化エントロピーはもはやゼロではありません。最後に、すべての光子が B にあると、A の粗視化エントロピーと細視化エントロピーは消滅し、A は再び純粋な状態になりますが、エネルギーは新しくなります。一方、B の熱エントロピーは増加していますが、エンタングルメントが終了したため、量子力学的には再び純粋状態、つまり基底状態に戻り、細粒度フォン ノイマン エントロピーはゼロになります。B について考えてみましょう。A とのエンタングルメントの過程で、B の細粒度またはエンタングルメント エントロピーは純粋状態 (つまりエントロピーがゼロ) で始まり、終わりました。ただし、粗粒度エントロピーはゼロから最終的な非ゼロ値まで上昇しました。この手順のほぼ半分で、B のエンタングルメント エントロピーは最大に達し、最後にはゼロまで減少します。 ${\displaystyle E_{A}}$${\displaystyle E_{B}}$${\displaystyle E_{A}}$${\displaystyle E_{B}}$

熱力学第二法則の古典的な粗視化熱エントロピーは、（大抵はより小さい）量子力学的細視化エントロピーと同じではない。その差は情報と呼ばれる。前述の議論から推測できるように、この差はエンタングルメントエントロピー（AとBで同じ）が最大に達する前はほぼゼロである。粗視化の例はブラウン運動である。^[17]

• 大規模原子分子超並列シミュレータ ( LAMMPS )
• ソフトマター研究のための拡張シミュレーションパッケージ ESPResSo (外部リンク)