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信号処理において、多次元信号処理は、多次元信号およびシステムを使用して行われるすべての信号処理を網羅します。多次元信号処理は信号処理のサブセットですが、1 次元以上を使用してのみ適切に詳細化できるデータを特に扱うという点で独特です。mD デジタル信号処理では、有用なデータが 1 次元以上でサンプリングされます。その例として、画像処理とマルチセンサーレーダー検出があります。これらの例はいずれも、複数のセンサーを使用して信号をサンプリングし、これらの複数の信号を操作して画像を形成します。多次元 (mD) での処理は、自由度が多いため、 1 次元の場合と比較して、高速フーリエ変換などの計算を処理するために、より複雑なアルゴリズムを必要とします。 [ 1 ]場合によっては、考慮対象のシステムが分離可能であれば、mD 信号およびシステムを 1 次元信号処理方法に単純化できます。
一般的に、多次元信号処理は、その複雑さゆえにコンピュータによるモデリングと計算が必要となるため、デジタル信号処理と直接関連付けられています。 [ 1 ]多次元信号は、サンプリング、フーリエ解析、フィルタリングなどの操作に関しては、一次元信号と似ています。これらの操作の実際の計算量は、次元数とともに増加します。
多次元サンプリングでは、一般的な1次元サンプリングとは異なる解析が必要です。1次元サンプリングは、連続線に沿って点を選択し、このデータストリームの値を格納することによって実行されます。多次元サンプリングの場合、データは格子を利用して選択されます。格子とは、 mDデータセットのサンプリングベクトルに基づく「パターン」です。 [ 2 ]これらのベクトルは、データとアプリケーションに応じて、1次元または多次元になります。[ 2 ]
多次元サンプリングは、ナイキスト・シャノン標本化定理に従う必要があるという点で、古典的なサンプリングと類似しています。エイリアシングの影響を受けるため、最終的な多次元信号再構成を考慮する必要があります。
多次元信号は正弦波成分で表現できます。これは通常、フーリエ変換の一種を用いて行われます。多次元フーリエ変換は、信号を信号領域表現から周波数領域表現に変換します。デジタル処理の場合、サンプリングされた信号領域表現を周波数領域表現に変換するために、離散フーリエ変換（DFT）が使用されます。
ここで、Xは多次元離散フーリエ変換、x はサンプリングされた時間/空間領域信号、mはシステムの次元数、nはサンプルインデックス、kは周波数サンプルを表します。[ 3 ] フーリエ変換を実装する際の主な懸念事項は、通常、計算の複雑さです。多次元信号の場合、複雑さはさまざまな方法で削減できます。多次元信号の変数間に独立性がある場合、計算は簡略化される可能性があります。 [ 3 ]一般に、高速フーリエ変換(FFT) は、計算数を大幅に削減します。mD 信号用のこのアルゴリズムのさまざまな実装がありますが、よく使用される 2 つのバリエーションは、ベクトル基数 FFT と行列 FFT です。
フィルタリングは、あらゆる信号処理アプリケーションにおいて重要な部分です。一般的な一次元信号処理アプリケーションと同様に、特定のシステムにおけるフィルタ設計にはさまざまな複雑さがあります。MD システムは、さまざまなアプリケーションでデジタルフィルタを使用します。これらの mD フィルタの実際の実装は、多次元多項式が因数分解可能かどうかによって設計上の問題を引き起こす可能性があります。[ 3 ]通常、プロトタイプフィルタは一次元で設計され、そのフィルタはマッピング関数を使用して mD に外挿されます。[ 3 ] 1 次元から 2 次元への最初のマッピング関数の 1 つは、マクレラン変換でした。[ 4 ]アプリケーションとマッピング関数に応じて、 FIR フィルタとIIRフィルタの両方をmD に変換できます。
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