モーザーの虫の問題

モーザーのワーム問題（母ワームの毛布問題とも呼ばれる）は、オーストリア系カナダ人の数学者レオ・モーザーが1966年に定式化した幾何学における未解決問題である。この問題は、長さ1のあらゆる平面曲線を収容できる最小面積の領域を求めるものである。ここで「収容できる」とは、曲線が回転および平行移動して領域内に収まることを意味する。問題のいくつかのバリエーションでは、領域は凸である必要がある。 

例えば、半径 1/2 の円盤は 、曲線の中点を円盤の中心に置くことで、長さ 1 の任意の平面曲線を収容できます。別の可能な解決策は、頂角が 60° と 120° で、長い対角線の長さが単位である菱形の形状です。 ^{[ 2 ]}ただし、これらは最適な解決策ではありません。より小さな面積で問題を解決する他の形状が知られています。

最小面積の被覆が存在することは、必ずしも自明ではない。別の可能性としては、到達可能ではあるが実際には到達できない最小面積が存在するということも考えられる。しかし、最小凸被覆は確かに存在する。その存在はブラシュケの選択定理から導かれる。^{[ 3 ]}

与えられた形状がカバーを形成するかどうかを判断することも容易ではありません。Gerriets & Poole (1974)は、形状がすべての単位長さの曲線を収容するのは、それが 3 つのセグメントを持つすべての単位長さの多角形チェーンを収容する場合に限ると推測しました。これはより簡単にテストできる条件です^{[ 4 ]}しかし、Panraksa、Wetzel & Wichiramala (2007)は、多角形チェーンのセグメント数に有限の上限を設けても、このテストには不十分であることを示しました^{[ 5 ] 。}

問題は未解決のままだが、一連の論文で研究者たちは既知の下限と上限の間のギャップを縮めてきた。特に、 Norwood & Poole (2003)は (非凸) 普遍被覆を構築し、最小形状の面積が最大で 0.260437 であることを示した。^{[ 6 ]} Gerriets & Poole (1974)とNorwood, Poole & Laidacker (1992)はより弱い上限を与えた。^{[ 7 ]}凸の場合、Wang (2006)は上限を 0.270911861 に改善した。^{[ 8 ]} Khandhawit, Pagonakis & Sriswasdi (2013)は、線分、三角形、長方形を含む凸集合の面積に対して最小最大戦略を使用し、凸被覆の下限が 0.232239 であることを示した。^{[ 9 ]}

1970年代、ジョン・ウェッツェルは、半径が単位の30°の円形扇形は面積が${\displaystyle \pi /12\approx 0.2618}$この予想は、 Movshovich & Wetzel (2017)で「ドレープ可能な」単位弧について部分的に証明されました。[ ^{10 ]最終}的にPanraksa & Wichiramala (2021)によって一般的に解決されました。^{[ 11 ]}これにより、凸被覆の上限が約 3% 改善されます。

• ソファ移動問題：L字型の廊下を回転および移動できる最大面積の形状を見つける問題
• カケヤ集合とは、あらゆる単位長さの線分（平行移動は許容されるが、回転は許容されない）を収容できる最小面積の集合である。
• ルベーグの普遍被覆問題：任意の単位直径の平面集合を覆うことができる最小の凸面積を求める。
• ベルマンの森で迷子になった問題：大きさや形が既知の森から脱出するための最短経路を見つける問題。

• Gerriets, John; Poole, George (1974)、「一定長の弧を覆う凸領域」、The American Mathematical Monthly、81 (1): 36–41、doi : 10.2307/2318909、JSTOR 2318909、MR 0333991  。
• Khandhawit, Tirasan; Pagonakis, Dimitrios; Sriswasdi, Sira (2013)、「凸包面積と普遍被覆問題の下限」、International Journal of Computational Geometry & Applications、23 (3): 197–212、arXiv : 1101.5638、doi : 10.1142/S0218195913500076、MR 3158583、S2CID 207132316  。
• Norwood, Rick; Poole, George (2003)、「Leo Moserのワーム問題に対する改良された上限」、Discrete and Computational Geometry、29 (3): 409–417、doi : 10.1007/s00454-002-0774-3、MR 1961007 。
• Norwood, Rick; Poole, George; Laidacker, Michael (1992)、「レオ・モーザーのワーム問題」、Discrete and Computational Geometry、7 (2): 153–162、doi : 10.1007/BF02187832、MR 1139077 。
• Panraksa, Chatchawan; Wetzel, John E.; Wichiramala, Wacharin (2007)、「nセグメント単位弧を覆うだけでは不十分である」、Discrete and Computational Geometry、37 (2): 297–299、doi : 10.1007/s00454-006-1258-7、MR 2295060 。
• Wang, Wei (2006)「ワーム問題に対する改良された上限」、Acta Mathematica Sinica、49 (4): 835–846、MR 2264090 。
• パンラクサ、チャチャワン。 Wichiramala、Wacharin (2021)、「Wetzel のセクターはユニット アークをカバーします」、Periodica Mathematica Hungarica、82 (2): 213–222、arXiv : 1907.07351、doi : 10.1007/s10998-020-00354-x、S2CID 225397486 。
• Movshovich, Yevgenya; Wetzel, John (2017)、「ドレープ可能な単位円弧は単位30°セクターに収まる」、Advances in Geometry、17 (4): 497–506、doi : 10.1515/advgeom-2017-0011、S2CID 125746596 。