理論のスペクトル

数理論理学の一分野であるモデル理論では、理論のスペクトルは、さまざまな濃度におけるモデルの同型類 の数によって与えられます。より正確には、言語内の任意の完全理論Tに対して、濃度κのTのモデルの数(同型を除いて)をI ( T , κ ) と表記します。スペクトル問題とは、 κの関数としてI ( T , κ )の可能な振る舞いを記述することです。可算理論Tの場合については、この問題はほぼ完全に解決されています。

この節では、Tは可算な完全理論であり、κは基数である。

レーヴェンハイム・スコレムの定理は、 I ( T , κ ) が 1 つの無限基数に対してゼロでないならば、すべての無限基数に対してゼロでないことを示しています。

モーリーのカテゴリー性定理はスペクトル問題を解決する最初の主要なステップでした。それは、ある非可算κに対してI ( T , κ )が1であれば、すべての非可算κに対して1になると述べています。

ロバート・ヴォートは、 I ( T ,ℵ ₀ )は 2 にはなり得ないことを示した。2 以外の任意の非負整数となる例を見つけるのは容易である。モーリーは、I ( T ,ℵ ₀ ) が無限大であれば、ℵ ₀または ℵ ₁または 2 ^{ℵ ₀}でなければならないことを証明した。連続体仮説が偽の場合にℵ ₁になる可能性があるかどうかは不明である。これはヴォート予想と呼ばれ、スペクトル理論における主要な未解決問題 (2005 年時点) である。

モーリーの問題は、マイケル・D・モーリーが最初に提唱した予想（現在は定理）で 、 非可算なκに対してI ( T , κ )はκに関して非減少であるというものでした。これはサハロン・シェラによって証明されました。そのために、彼は非常に深い二分法定理を証明しました。

サハロン・シェラはスペクトル問題にほぼ完全な解決策を与えた。与えられた完全理論Tに対して、すべての非可算基数κに対してI ( T , κ ) = 2 ^κとなるか、${\displaystyle \textstyle I(T,\aleph _{\xi })<\beth _{\omega _{1}}(|\xi |+\aleph _{0})}$すべての順序数ξについて（表記の説明についてはアレフ数とベス数を参照）、これは通常、最初のケースの境界よりもはるかに小さい。大まかに言えば、これは、すべての不可算基数に可能な最大数のモデルが存在するか、すべての不可算基数に「少数の」モデルしか存在しないかのどちらかであることを意味する。シェラは、モデルが少ない場合の可能なスペクトルについても説明した。

シェラーの研究を拡張して、ブラッド・ハート、エフド・フルショフスキー、マイケル・C・ラスコウスキーは、非可算基数における可算理論のスペクトル問題に対する以下の完全な解を与えた。T が可算完全理論である場合、モデルの同型クラスの数 I( T , ℵ _{α ) は、順序数 α>0 に対して、2} ^{ℵ _α}と以下の写像のいずれかの最小値によって与えられる。

1. 2 ^{ℵ _α}。例: 多くの例があり、特に分類不可能な理論や深い理論、例えばラドグラフの理論などが挙げられる。
2. ${\displaystyle \beth _{d+1}(|\alpha +\omega |)}$ある可算無限順序数dに対して。（有限dの場合はケース 8_{を参照。）例：β+1<d を満たすすべての β に対して同値関係 Eβ を持つ理論。ただし、すべての Eγクラスは無限個の Eβ}​​ クラスの和_集合であり、各E0クラスは_無限である。
3. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{2^{\aleph _{0}}})}$ある有限の正の順序数dに対して。例 ( d = 1 の場合): 可算個の独立した単項述語の理論。
4. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}}+\beth _{2})}$ある有限の正の順序数dに対して。
5. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |+\beth _{2})}$ある有限の正の順序数dに対して;
6. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}})}$ある有限の正の順序数dに対して。例 ( d = 1 の場合): 可算個の互いに素な単項述語の理論。
7. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |+\beth _{1})}$ある有限順序数d ≥ 2 に対して;
8. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |)}$ある有限の正の順序数dに対して;
9. ${\displaystyle \beth _{d-2}(|\alpha +\omega |^{|\alpha +1|})}$ある有限順序数d ≥ 2 に対して。例: ケース 2 と同様。
10. $\displaystyle \beth _{2}}$例：アーベル群として捉えた整数論。
11. ${\displaystyle |(\alpha +1)^{n}/G|-|\alpha ^{n}/G|}$有限の α の場合、および無限の α の場合、|α| となります。ここで、 Gはn ≥ 2 個の要素を持つ対称群の何らかの部分群です。ここでは、α ^{n を、}サイズ α の集合の要素の長さnのシーケンスの集合と同一視します。Gは シーケンスの要素を置換することによってα ⁿに作用し、|α ⁿ / G | はこの作用の軌道の数を表します。例: Gとω のすべての置換のリース積によって作用される集合 ω × nの理論。
12. ${\displaystyle 1}$例: 与えられた特性における代数的に閉じた体の理論のように、不可算基数に関して範疇的な理論。
13. ${\displaystyle 0}$例：有限モデルを持つ理論、および矛盾した理論。

さらに、上記の可能性はすべて、ある可算な完全理論のスペクトルとして現れる。

上記のリストの数値d は理論の深さを表します。Tが理論である場合、同値関係を持つ新しい理論 2T を、それぞれが T のモデルとなる同値類が無限に存在する理論として定義します^。また、理論も定義します。${\displaystyle \beth _{n}(T)}$による${\displaystyle \beth _{0}(T)=T}$、$\beth_{n+1}(T)=2^{\beth_{n}(T)}}$。 それから ${\displaystyle I(\beth _{n}(T),\lambda )=\min(\beth _{n}(I(T,\lambda )),2^{\lambda })}$これは、 dの最小値の例から、 dの非最小値に対する上記のリストにあるスペクトルを持つ理論の例を構築するために使用できます。

• 文のスペクトル

• CC Chang、HJ Keisler、『モデル理論』。ISBN 0-7204-0692-7
• Saharon Shelah、「分類理論と非同型モデルの数」、Studies in Logic and the Foundations of Mathematics、第92巻、IX、1.19、p.49（North Holland、1990）。
• Hart, Bradd; Hrushovski, Ehud; Laskowski, Michael C. (2000). "The Uncountable Spectra of Countable Theories". The Annals of Mathematics . 152 (1): 207–257 . arXiv : math/0007199 . Bibcode : 2000math......7199H . doi : 10.2307/2661382 . JSTOR 2661382 . 
• ブラッド・ハート、マイケル・C・ラスコウスキー、「可算理論の非可算スペクトルの概観」、代数モデル理論、ハート、ラクラン、ヴァレリオット編（シュプリンガー、1997年）。ISBN 0-7923-4666-1