モノイド随伴

数学において、モノイド随伴とは、モノイド構造を尊重するモノイド圏間の随伴のことである。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

仮に${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I)}$そして${\displaystyle ({\mathcal {D}},\bullet ,J)}$2 つのモノイド圏である。2つの緩いモノイド関手間のモノイド随伴

${\displaystyle (F,m):({\mathcal {C}},\otimes ,I)\to ({\mathcal {D}},\bullet ,J)}$そして${\displaystyle (G,n):({\mathcal {D}},\bullet ,J)\to ({\mathcal {C}},\otimes ,I)}$

付加語である${\displaystyle (F,G,\eta ,\varepsilon )}$基礎となるファンクター間で、自然な変換が

${\displaystyle \eta :1_{\mathcal {C}}\Rightarrow G\circ F}$そして${\displaystyle \varepsilon :F\circ G\Rightarrow 1_{\mathcal {D}}}$

モノイド自然変換である。

仮に

${\displaystyle (F,m):({\mathcal {C}},\otimes ,I)\to ({\mathcal {D}},\bullet ,J)}$

は緩いモノイド関手で、基礎となる関手は${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$右随伴を持つ${\displaystyle G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$この随伴はモノイド随伴に持ち上げられる。${\displaystyle (F,m)}$⊣${\displaystyle (G,n)}$緩いモノイド関手が${\displaystyle (F,m)}$強い。

• すべてのモノイド随伴${\displaystyle (F,m)}$⊣${\displaystyle (G,n)}$モノイドモナドを定義する${\displaystyle G\circ F}$。