凸面の係数と特性

数学において、凸性係数と凸性特性は、バナッハ空間内の単位球が「どの程度凸であるか」を測る尺度です。ある意味では、凸性係数は、連続性係数が連続性のε - δ定義に対して持つ関係と同じ関係を一様凸性のε - δ定義に対して持ちます。

バナッハ空間 ( X , ||⋅||) の凸性係数は、次のように定義される 関数δ  : [0, 2] → [0, 1]である。

${\displaystyle \delta (\varepsilon )=\inf \left\{1-\left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\,:\,x,y\in S,\|xy\|\geq \varepsilon \right\},}$

ここで、Sは( X ,||||)の単位球面を表す。δ ( ε )の定義では 、ǁxǁ, ǁyǁ≤1かつǁx − yǁ≥εとなるようなXの すべてのベクトルx、yの最小値を取ることもできる。^[1]

空間 ( X , || ||) の凸性の特性は、次のように定義される 数ε _{0である。}

${\displaystyle \varepsilon _{0}=\sup\{\varepsilon \,:\,\delta (\varepsilon )=0\}.}$

これらの概念は、J. A. クラークソンによる一様凸性の一般的な研究（クラークソン（1936）; これはクラークソンの不等式の記述を含む同じ論文です）に暗黙的に含まれています。「凸性の係数」という用語は、M. M. デイによるものと思われます。^[2]

• 凸性係数δ ( ε ) はεの非減少関数であり、商δ ( ε ) /  εも(0, 2]上で非減少である 。^{[3]凸性係数はそれ自体が}εの 凸関数で ある必要はない。^[4] しかし、凸性係数は次の意味で凸関数と同値である。^[5]凸関数δ ₁ ( ε ) が存在し、

${\displaystyle \delta (\varepsilon /2)\leq \delta _{1}(\varepsilon )\leq \delta (\varepsilon ),\quad \varepsilon \in [0,2]。}$

• ノルム空間( X , ǁ ⋅ ǁ )が一様凸である ための必要条件は、その凸性の特性ε ₀が 0 に等しい場合、すなわち、任意のε > 0に対して δ ( ε ) > 0である場合のみです。
• バナッハ空間( X , ǁ ⋅ ǁ )が厳密に凸な空間(つまり、単位球Bの境界に線分が含まれない) であるためには、δ (2) = 1、つまり、単位球面の反対心点(形式xおよびy  = − x ) の距離のみが 2 に等しい必要があります。
• Xが一様凸である場合、凸性のべき乗型係数を持つ同値ノルムが存在する。^{[6]すなわち、} q ≥ 2と定数 c > 0が存在し、

${\displaystyle \delta (\varepsilon )\geq c\,\varepsilon ^{q},\quad \varepsilon \in [0,2].}$

L ^P空間の凸性係数は既知である。^[7]ならば、次の暗黙の方程式を満たします。 ${\displaystyle 1<p\leq 2}$

${\displaystyle \left(1-\delta _{p}(\varepsilon )+{\frac {\varepsilon }{2}}\right)^{p}+\left(1-\delta _{p}(\varepsilon )-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)^{p}=2.}$

がわかっているので、と仮定することができます。これを上記に代入し、左辺をの周りのテイラー級数として展開すると、係数を計算できます。 ${\displaystyle \delta _{p}(\varepsilon +)=0,}$${\displaystyle \delta _{p}(\varepsilon )=a_{0}\varepsilon +a_{1}\varepsilon ^{2}+\cdots }$${\displaystyle \varepsilon =0}$${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle \delta _{p}(\varepsilon )={\frac {p-1}{8}}\varepsilon ^{2}+{\frac {1}{384}}(3-10p+9p^{2}-2p^{3})\varepsilon ^{4}+\cdots .}$

については、明示的な表現 ${\displaystyle 2<p<\infty }$

${\displaystyle \delta _{p}(\varepsilon )=1-\left(1-\left({\frac {\varepsilon }{2}}\right)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.}$

したがって、。 ${\displaystyle \delta _{p}(\varepsilon )={\frac {1}{p2^{p}}}\varepsilon ^{p}+\cdots }$

• 均一に滑らかな空間

• ボーザミー、バーナード (1985) [1982].バナッハ空間とその幾何学入門（第2版改訂版）. ノースホランド. ISBN 0-444-86416-4MR  0889253 。
• クラークソン、ジェームズ (1936)、「一様凸空間」、アメリカ数学会誌、40 (3)、アメリカ数学会: 396–414、doi : 10.2307/1989630、JSTOR  1989630
• Fuster, Enrique Llorens. 計量不動点理論に関連するいくつかのモジュライと定数.計量不動点理論ハンドブック, 133–175, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2001. MR 1904276
• Lindenstrauss, Joram、Benyamini, Yoav.幾何学的非線形関数解析コロキウム出版物、48. アメリカ数学会。
• Lindenstrauss, ヨラム; Tzafriri、Lior (1979)、古典的な Banach スペース。 II.関数空間、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [数学および関連分野の結果]、vol. 97、ベルリン-ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. x+243、ISBN 3-540-08888-1。
• Vitali D. Milman . バナッハ空間の幾何学的理論 II. 単位球面の幾何学。Uspechi Mat. Nauk、第 26 巻、第 6 号、73–149、1971 年; Russian Math. Surveys、第 26 巻、6 号、80–159。