モディリアーニのリスク調整後パフォーマンス

モディリアーニリスク調整後パフォーマンス（ M ²、M2、モディリアーニ–モディリアーニ指標、RAPとも呼ばれる）は、投資ポートフォリオのリスク調整後リターンの指標です。これは、ベンチマーク（市場など）に対するポートフォリオのリスク調整後のポートフォリオのリターンを測定します。この指標は、ポートフォリオ P の調整後超過リターンと市場の調整後超過リターンの差として解釈できます。調整後ポートフォリオのボラティリティは市場と同じです。これは、広く使用されているシャープレシオから導出されますが、パーセントリターンの単位であるという大きな利点があり（シャープレシオはほとんどの投資家にとって有用性が限られている抽象的な無次元比率ですが）、これにより大幅に直感的に解釈できます。

1966年、ウィリアム・F・シャープは現在シャープレシオとして知られるものを開発しました。^[1]シャープは当初これを「報酬対変動性」比率と呼んでいましたが、後に学者や金融業者によってシャープレシオと呼ばれるようになりました。シャープは1994年にこの考え方を少し改良しました。 ^[2]

1997年、ノーベル賞受賞者のフランコ・モディリアーニと孫娘のリア・モディリアーニは、現在ではモディリアーニリスク調整パフォーマンス指標と呼ばれるものを開発しました。^[3]彼らは当初これを「RAP」（リスク調整パフォーマンス）と呼んでいました。彼らはまた、関連する統計「RAPA」（おそらく「リスク調整パフォーマンスアルファ」の略）を定義しました。これは、RAPからリスクフリーレートを引いたものとして定義されました（つまり、リスクフリーレートを超えるリスク調整リターンのみを対象としていました）。したがって、RAPAは実質的にリスク調整超過リターンでした。

RAP尺度は、それ以来「M ²」^[4]（2人のモディリアーニによって開発されたため）としてより一般的に知られるようになりましたが、同じ理由から「モディリアーニ-モディリアーニ尺度」や「M2」としても知られています。

モディリアーニリスク調整後リターンは次のように定義されます。

ある期間におけるポートフォリオの超過収益（すなわち、無リスク金利を上回る収益）を とします。 ${\displaystyle D_{t}}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle D_{t}\equiv R_{P_{t}}-R_{F_{t}}}$

ここで、 は期間 のポートフォリオ収益であり、 は期間 のリスクフリーレートです。 ${\displaystyle R_{P_{t}}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle R_{F_{t}}}$${\displaystyle t}$

シャープ レシオ は${\displaystyle S}$

${\displaystyle S\equiv {\frac {\overline {D}}{\sigma _{D}}}}$

ここで、はある期間におけるすべての超過収益の平均であり、 はそれらの超過収益の 標準偏差です。${\displaystyle {\overline {D}}}$${\displaystyle \sigma _{D}}$

そして最後に:

${\displaystyle M^{2}\equiv S\times \sigma _{B}+{\overline {R_{F}}}}$

ここで、 はシャープレシオ、は問題のポートフォリオと比較するベンチマークポートフォリオの超過収益の標準偏差（多くの場合、ベンチマークポートフォリオは市場です）、 は問題の期間の 平均リスクフリーレートです。${\displaystyle S}$${\displaystyle \sigma _{B}}$${\displaystyle {\overline {R_{F}}}}$

わかりやすくするために、 を に置き換えて並べ替えます。 ${\displaystyle S}$

${\displaystyle M^{2}\equiv {\overline {D}}\times {\frac {\sigma _{B}}{\sigma _{D}}}+{\overline {R_{F}}}.}$

元の論文では、「RAPA」（おそらく「リスク調整パフォーマンスアルファ」の略）と呼ばれる統計も定義されています。より一般的な用語と一致して、これは次のようになります。 ${\displaystyle M^{2}}$

${\displaystyle M^{2}\alpha \equiv S\times \sigma _{B}}$

または同等に、

${\displaystyle M^{2}\alpha \equiv {\overline {D}}\times {\frac {\sigma _{B}}{\sigma _{D}}}.}$

したがって、ポートフォリオの超過収益は、ベンチマーク ポートフォリオの相対的なリスク度 (つまり、) に基づいて調整されます。したがって、ポートフォリオの超過収益がベンチマークの 2 倍のリスクを持っている場合、同じレベルのリスク調整後収益を得るには、2 倍の超過収益が必要になります。 ${\displaystyle {\frac {\sigma _{B}}{\sigma _{D}}}}$

M ^{2指標は、あるベンチマーク ポートフォリオや}リスクフリー レートと比較して、ポートフォリオのリターンがリスク量に対して投資家にどの程度報いるかを表すために使用されます。したがって、あるベンチマーク ポートフォリオよりもはるかに多くのリスクを負ったがパフォーマンス上の優位性はわずかだった投資は、ベンチマークと比較してリスクが大幅に少ないが同様のリターンを得た別のポートフォリオよりもリスク調整後のパフォーマンスが低くなる可能性があります。

これはシャープレシオから直接導き出されるため、M ^{2指標を使用した投資/ポートフォリオの順序付けは、}シャープレシオを使用した順序付けとまったく同じになります。

シャープ比率は、マイナスの場合、解釈が難しくなります。さらに、複数の投資のシャープ比率を直接比較することは困難です。たとえば、ある投資のシャープ比率が 0.50 で、別の投資のシャープ比率が -0.50 の場合、それは何を意味するのでしょうか。2 番目のポートフォリオは最初のポートフォリオよりもどれだけ悪かったのでしょうか。これらの欠点は、比率であるすべてのリスク調整後リターン指標に当てはまります (例:ソルティノ比率、トレイナー比率、上昇余地比率など)。

M ^{2 に}は、ほぼすべての投資家が即座に解釈できるパーセンテージ収益の単位であるという大きな利点があります。したがって、たとえば、M ²値が 5.2% と 5.8% である 2 つの投資ポートフォリオの差の大きさを簡単に認識できます。その差は、リスク調整後収益の年間 0.6 パーセント ポイントであり、リスクはベンチマーク ポートフォリオ (それが何であれ、通常は市場) のリスクに合わせて調整されます。

リスクの尺度として超過収益の標準偏差を使用する必要はありません。このアプローチは、および を他のリスク尺度に置き換えるだけで、他のリスク尺度（たとえば、ベータ）の使用に拡張できます。 ${\displaystyle \sigma _{D}}$${\displaystyle \sigma _{B}}$

${\displaystyle M_{\beta }^{2}\equiv {\overline {D}}\times {\frac {\beta _{B}}{\beta _{D}}}+{\overline {R_{F}}}}$

主な考え方は、あるポートフォリオのリターンのリスクが、別のポートフォリオのリターンと比較するために調整されるということです。

事実上、あらゆるベンチマーク リターン (インデックスや特定のポートフォリオなど) をリスク調整に使用できますが、通常は市場リターンが使用されます。たとえば、基金のパフォーマンスを比較する場合、そのような基金すべてを、株式 60%、債券 40% のベンチマーク ポートフォリオと比較すると合理的です。

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