マイクロローカル分析

マイクロローカル解析は、関数、一般化関数、偏微分方程式を位置と周波数の両方で局所化することによって研究する数学解析の一分野です。主な考え方は、特異点をそれが発生する点だけでなく、それが発生する余接方向によっても記述することです。マイクロローカルという用語は、位相空間における小さなスケールでの局所化、つまり局所的にある点の近傍を指します。${\displaystyle x}$多様体であり、同時に非ゼロの共変ベクトルに近い${\displaystyle \xi }$その時点で。これは、関数や分布が近傍で正則であるかどうかだけを区別する通常の局所解析よりも細かい。${\displaystyle x}$特異点が発生する位置と共ベクトルの情報は、分布の波面集合、すなわちゼロセクションを除去した余接束の円錐部分集合によって符号化される。^{[ 1 ] [ 2 ]}

マイクロローカル解析は、1950年代から1970年代にかけて、線形偏微分方程式、フーリエ変換法、ハイパー関数、擬微分演算子に関連して発展しました。楕円正則性、特異点の伝播、フーリエ積分演算子、幾何光学、散乱理論、スペクトル理論、半古典解析、逆問題に関係しています。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

マイクロローカル解析における重要な概念は、滑らかさである。$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$これはフーリエ変換を用いて表現されます。${\displaystyle u}$は分布であり、${\displaystyle \phi }$は、ある点の近傍でサポートされる滑らかなカットオフ関数である。${\displaystyle x_{0}}$フーリエ変換の減衰${\displaystyle {\widehat {\phi u}}(\xi )}$として${\displaystyle |\xi |\to \infty }$検出する${\displaystyle u}$近くは滑らかです${\displaystyle x_{0}}$マイクロローカル解析では、この減衰は方向の円錐状近傍でのみ考慮される。${\displaystyle \xi _{0}\neq 0}$円錐状近傍で急速な減衰が成り立つ場合、${\displaystyle u}$は、${\displaystyle (x_{0},\xi _{0})}$[ ^{1 ]​}

したがって、微小局所的な滑らかさは、通常の滑らかさよりも弱い概念である。ある点において、分布は一部の方向では微小局所的に滑らかであっても、他の方向ではそうでない場合がある。

この分野における基本的な結果の一つは、微小局所的な楕円正則性である。${\displaystyle P}$は、近傍で楕円型である擬微分作用素である。${\displaystyle (x_{0},\xi _{0})}$、 それから${\displaystyle u}$は、${\displaystyle (x_{0},\xi _{0})}$いつでも${\displaystyle Pu}$そこでは微小局所的に滑らかである。同様に、解の特異点は${\displaystyle u}$方程式へ${\displaystyle Pu=f}$波面セットから離れた場所で発生する可能性がある${\displaystyle f}$特性セット内でのみ${\displaystyle P}$[ ^{6 ] [ 2 ]​}

波面セット${\displaystyle WF(u)}$分布の${\displaystyle u}$滑らかなマニホールド上${\displaystyle X}$ペアの集合${\displaystyle (x,\xi )}$、 と${\displaystyle \xi \neq 0}$その時${\displaystyle u}$は微小局所的に滑らかではない。これは、の閉じた円錐部分集合である。${\displaystyle T^{*}X\setminus 0}$つまり、${\displaystyle (x,\xi )}$に属する${\displaystyle WF(u)}$そうすれば、${\displaystyle (x,\lambda \xi )}$すべての${\displaystyle \lambda >0}$[ ^{1 ]​}

投影${\displaystyle WF(u)}$に${\displaystyle X}$は、${\displaystyle u}$したがって、波面集合には特異点の通常の位置だけでなく、その方向も記録される。^{[ 2 ]}

ディラックデルタ分布の波面集合${\displaystyle \delta _{x_{0}}}$ある時点で${\displaystyle x_{0}}$例えば、は、におけるすべての非ゼロのコタンジェント方向から構成される。${\displaystyle x_{0}}$:

${\displaystyle WF(\delta _{x_{0}})=\{(x_{0},\xi ):\xi \in T_{x_{0}}^{*}X,\ \xi \neq 0\}.}$

分布が滑らかな超曲面を横切る不連続点を持つ場合${\displaystyle S}$その波面集合は、の共法線束に含まれる。${\displaystyle S}$したがって、特異点は超曲面に垂直な方向に集中している。

擬似微分演算子は、周波数変数のより一般的な関数を許容することで微分演算子を一般化します。局所的には、このような演算子は次の形式をとります。

${\displaystyle Au(x)=(2\pi )^{-n}\int e^{ix\cdot \xi }a(x,\xi ){\widehat {u}}(\xi )\,d\xi ,}$

あるいは、より一般的には、振幅を持つ振動積分${\displaystyle a(x,\xi )}$. 機能${\displaystyle a}$は演算子の記号と呼ばれます。 ^{[ 7 ] [ 8 ]}

シンボルの主要な同次部分は主シンボルである。それは演算子のマイクロローカルな挙動の多くを制御する。演算子はある点で楕円形である。${\displaystyle (x,\xi )}$主シンボルがゼロでない余接束の場合、その余接束の主シンボルはゼロである。主シンボルがゼロになる集合は、作用素の特性集合である。

擬微分演算子は、任意の方向に新たな特異点を生成しないという意味で、マイクロローカルである。

${\displaystyle WF(Au)\subseteq WF(u).}$

より正確な記述には、シンボルの本質的なサポートが含まれます。${\displaystyle A}$逆に、楕円擬微分作用素はマイクロローカルで反転することができ、その結果、楕円正則性のマイクロローカル形式が得られます。^{[ 2 ]}

実主型演算子の場合、マイクロローカル解析は特異点の伝播に関する正確な定理を与える。${\displaystyle P}$実際の主要シンボルを持つ${\displaystyle p}$ハミルトニアンベクトル場${\displaystyle H_{p}}$余接束上では、双特性曲線と呼ばれる曲線が決定されます。特異点伝播定理は、おおまかに言うと、解の波面集合は${\displaystyle Pu=f}$波面セットの外側${\displaystyle f}$は、特性セット内の双特性フローに沿って不変である。${\displaystyle P}$[ ^{9 ] [ 10 ]​}

この定理は幾何光学の厳密なバージョンを提供する。双曲型方程式の場合、特異点は主記号のハミルトン流によって決定される光線に沿って移動する。リーマン多様体上の波動方程式の場合、これらの光線は測地線流と関連している。ローレンツ幾何学では、対応する記述は、波動解の特異点がヌル測地線（ヌル双特性）に沿って伝播するというものである。

• 代数解析
• マイクロファンクション
• マイクロディファレンシャル演算子

• Duistermaat、JJ (2011)、Fourier Integral Operators、Modern Birkhäuser Classics、ボストン: Birkhäuser、doi : 10.1007/978-0-8176-8108-1、ISBN 978-0-8176-8107-4。
• Hörmander, Lars (1990),線形偏微分作用素の解析 I: 分布理論とフーリエ解析(第 2 版), ベルリン: Springer, doi : 10.1007/978-3-642-61497-2 , ISBN 978-3-642-61497-2。
• ホルマンダー、ラース（1985）『線形偏微分作用素の解析 III：擬微分作用素』ベルリン：シュプリンガー。
• 柏原正人；シャピラ、P.イヴォラ、F. Waschkies, I. (2006)、「Microlocalization of ind-sheaves」、Progress in Mathematics、ボストン、マサチューセッツ州: Birkhäuser Boston、pp. 171–221、ISBN  978-0-8176-4342-3{{citation}}: CS1メンテナンス: ISBNを使用した作業パラメータ (リンク)
• Taylor, Michael E. (1981), 『擬微分作用素』、プリンストン数学シリーズ、第 34巻、プリンストン、ニュージャージー州：プリンストン大学出版局。

• リチャード・メルローズによる講義ノート
• リチャード・メルローズによる新しい講義ノート