材料の選択

最初の状況では、梁には重力という2つの力が作用します。${\displaystyle w}$そして緊張感${\displaystyle P}$材料変数は密度です。${\displaystyle \rho }$そして強さ${\displaystyle \sigma }$長さを仮定する${\displaystyle L}$そして緊張感${\displaystyle P}$は固定されているため、設計変数となります。最後に、断面積${\displaystyle A}$は自由変数です。この状況での目的は、重量を最小化することです。${\displaystyle w}$材料変数の最適な組み合わせを持つ材料を選択することによって${\displaystyle \rho ,\sigma }$図1はこの荷重状態を示しています。

梁の応力は次のように測定されます。${\displaystyle P/A}$重量は次のように表されます${\displaystyle w=\rho AL}$性能指標を導出するには、すべての自由変数を除去し、設計変数と材料変数のみを残す必要があります。この場合、それは次のことを意味します。${\displaystyle A}$除去する必要がある。軸方向応力方程式を変形すると次のようになる。${\displaystyle A=P/\sigma }$これを重量方程式に代入すると、${\displaystyle w=\rho (P/\sigma )L=\rho LP/\sigma }$次に、材料変数と設計変数を別々にグループ化して、${\displaystyle w=(\rho /\sigma )LP}$。

両方とも${\displaystyle L}$そして${\displaystyle P}$は固定されており、目標は最小化することなので${\displaystyle w}$すると比率${\displaystyle \rho /\sigma }$は最小化されるべきである。しかし慣例として、パフォーマンス指標は常に最大化されるべき量である。したがって、結果として得られる方程式は次のようになる。${\displaystyle {\text{パフォーマンス指標}}=P_{cr}=\sigma /\rho }$

次に、材料に曲げ力も加わると仮定します。曲げの最大引張応力方程式は次のようになります。${\displaystyle \sigma =(-My)/I}$、 どこ${\displaystyle M}$曲げモーメントは、${\displaystyle y}$は中立軸からの距離であり、${\displaystyle I}$は慣性モーメントです。これは図2に示されています。上記の重量方程式を使用して自由変数を解くと、解は次のようになります。${\displaystyle w={\sqrt {6MbL^{2}}}(\rho /{\sqrt {\sigma }})}$、 どこ${\displaystyle L}$長さと${\displaystyle b}$は梁の高さです。${\displaystyle b}$、${\displaystyle L}$、 そして${\displaystyle M}$固定設計変数の場合、曲げに対する性能指標は次のようになります。${\displaystyle P_{CR}={\sqrt {\sigma }}/\rho }$。

この時点で、張力に関する2つのパフォーマンス指標が導き出されました。${\displaystyle \sigma /\rho }$そして曲げるために$\displaystyle {\sqrt {\sigma }}/\rho }$最初のステップは、対数-対数グラフを作成し、既知のすべての材料を適切な場所に配置することです。ただし、性能指標の式は、対数-対数グラフにプロットする前に修正する必要があります。

張力性能方程式${\displaystyle P_{CR}=\sigma /\rho }$まず、両辺の対数を取ることから始めます。得られた方程式を整理すると次のようになります。${\displaystyle \log(\sigma )=\log(\rho )+\log(P_{CR})}$. これは以下の形式に従うことに注意してください。${\displaystyle y=x+b}$対数グラフ上では直線になります。同様に、y切片は、${\displaystyle P_{CR}}$したがって、固定値は${\displaystyle P_{CR}}$図3の張力は0.1です。

曲げ性能方程式${\displaystyle P_{CR}={\sqrt {\sigma }}/\rho }$同様に扱うことができる。対数のべき乗の性質を用いると、次のことが導き出される。${\displaystyle \log(\sigma )=2\times (\log(\rho )+\log(P_{CR}))}$. の値は${\displaystyle P_{CR}}$図3では、曲げに対する値は約0.0316です。最後に、両方の線をアシュビーチャートにプロットします。

まず、グラフ上でどの領域がより高いかを調べることで、最適な曲げ材料を見つけることができます。$\displaystyle {\sqrt {\sigma }}/\rho }$曲げ線。この場合、発泡体（青色）と工業用セラミック（ピンク色）の一部は曲げ線よりも高い位置にあります。したがって、これらは最も曲げやすい材料と言えます。一方、曲げ線よりはるかに低い位置にある材料（灰色の領域の右下にある金属など）は、最も曲げにくい材料となります。

最後に、${\displaystyle \sigma /\rho }$張力線は、発泡体とテクニカルセラミックスの「優劣を分ける」ために使用できます。テクニカルセラミックスは張力線よりも高い位置にある唯一の材料であるため、最も優れた張力材料はテクニカルセラミックスです。したがって、総合的に最も優れた材料は、炭化ホウ素などのピンク色の領域の左上にあるテクニカルセラミックスです。

パフォーマンス指数は、方程式を対数スケールに変換することで、アシュビーチャートにプロットできます。これは、両辺の対数を取り、それを直線のようにプロットすることによって行われます。${\displaystyle P_{cr}}$これはy軸切片です。つまり、切片の値が大きいほど、材料の性能が高いことを意味します。アシュビーチャート上で線を上に移動させると、性能指数が高くなります。線が通過する各材料の性能指数はy軸に表示されています。したがって、材料の領域に接したままチャートの最上部に移動すると、最高の性能が得られます。

図3からわかるように、2本の線はグラフ上部のテクニカルセラミックスと複合材料の領域で交差しています。これにより、引張荷重に対する性能指数は120、曲げ荷重に対する性能指数は15となります。特に交差領域が炭化ホウ素付近にあるため、エンジニアリングセラミックスのコストを考慮すると、これは最適なケースとは言えません。性能指数は低いものの、よりコスト効率の高いソリューションとしては、CFRP付近のエンジニアリング複合材料が挙げられます。