ループギャップ共振器

ループギャップ共振器（LGR）は、無線およびマイクロ波周波数範囲で動作する電磁共振器です。最も単純なLGRは、長さに沿って狭いスリットが切られた導電性チューブで作られています。^{[1] [2] LGRの寸法は通常、共振周波数での}電磁場の自由空間波長よりもはるかに小さくなります。したがって、比較的コンパクトなLGRを、たとえば空洞共振器を使用してアクセスするには低すぎる周波数で動作するように設計できます。これらの構造は非常に鋭い共振（高い品質係数）を持つことができるため、電子スピン共鳴（ESR）実験、^{[3] [4]および電磁材料特性（}誘電率と透磁率）の精密測定に役立ちます。^[5]

ループギャップ共振器 (LGR) は、集中定数回路としてモデル化できます。共振器の長さに沿ったスリットには有効容量 があり、共振器のボアには有効インダクタンスがあります。共振周波数またはその付近では、共振器の内壁に沿って円周方向の電流が流れます。この電流を制限する有効抵抗は、 LGR の製造に使用される導体の抵抗率と電磁スキン デプスによって部分的に決まります。 ^{[1]したがって、LGR を}回路 としてモデル化できます。LGR 電流は共振周波数で最大になるため、等価回路モデルは直列回路になります。この回路モデルは、共振器の寸法が電磁場の自由空間波長に比べて小さい場合にうまく機能します。^[6]${\displaystyle C}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \rho}$ ${\displaystyle \delta}$${\displaystyle LRC}$${\displaystyle LRC}$

LGR の利点の 1 つは、互いに分離された均一な電界と磁界の領域を生成することです。LGR のスリット内には均一な電界が存在し、共振器のボア内には均一な磁界が存在します。均一な磁界により、LGR は ESR 実験におけるマイクロ波磁界の優れた発生源となります。さらに、電界と磁界が互いに分離されているため、LGR を使用して材料の電気的特性と磁気的特性を個別に調べることができます。たとえば、LGR のギャップに誘電体を充填すると、LGR の有効静電容量が変更され、共振の周波数と品質係数が変わります。およびの変化を測定することで、誘電体の複素誘電率を完全に決定できます。同様に、LGR のボアに磁性体を充填すると、LGR の有効インダクタンスが変更され、その結果生じるおよびの変化を使用して磁性体の複素透磁率を抽出できます。^{[5] [7]}${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle Q}$

LGRのギャップの静電容量は次のように表される。

${\displaystyle C=\varepsilon _{0}{\frac {w\,\ell }{t}}\,,}$

ここで、は自由空間の誘電率、はボア壁の厚さ、はギャップ幅、は共振器の長さです。共振器のボアは、次式で与えられるインダクタンスを持つ 単回転ソレノイドとして機能します。${\displaystyle \varepsilon_{0}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \ell}$

${\displaystyle L=\mu _{0}{\frac {\pi \,r_{0}^{2}}{\ell }}\,,}$

ここで、は自由空間の透磁率、はLGRボアの内径である。高共振器の場合、共振周波数は近似的に次のように与えられる。 ${\displaystyle \mu_{0}}$${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle f_{0}\approx {\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{\sqrt {LC}}}={\frac {c}{2\pi r_{0}}}{\sqrt {\frac {t}{\pi w}}}\,,}$

ここで、は真空中の光速です。したがって、LGR の共振周波数はその形状から決定され、第一近似ではその長さとは無関係です。 ${\displaystyle c=1/{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}$

非常に減衰の少ない直列回路の場合、共振の鋭さを決定する品質係数は次のように表される。 ${\displaystyle LRC}$

${\displaystyle Q\approx {\frac {1}{R}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}\,.}$

LGR の有効抵抗は、電流が流れる導体の長さと、その導体に利用できる断面積を考慮することで推定できます。関連する導体の長さは、導体の内面の円周です。電流が LGR ボアの内面に浸透する深さは、電磁スキン デプスによって決まります。したがって、電荷が流れる断面積は です。これらの結果を組み合わせると、有効抵抗が得られます。 ${\displaystyle 2\pi r_{0}}$${\displaystyle \delta}$${\displaystyle \delta \,\ell}$

${\displaystyle R_{\rho }\approx \rho {\frac {2\pi r_{0}}{\delta \,\ell }}\,,}$

ここで、は導体の抵抗率である。有効容量、インダクタンス、抵抗から、LGRの期待品質係数の簡単な式が得られる。 ${\displaystyle \rho}$

${\displaystyle Q\approx {\frac {r_{0}}{\delta }}\,,}$

ここで、良導体の場合、共振周波数における電磁表皮深さは次のように表される。

${\displaystyle \delta \approx {\sqrt {\frac {2\rho }{\mu _{0}\omega _{0}}}}\,,}$

およびのアルミニウム共振器の場合、上記の解析は を予測します。^{[1] [6]}${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}}$${\displaystyle r_{0}=1\,\mathrm {cm} }$${\displaystyle f_{0}=1\,\mathrm {GHz} }$${\displaystyle Q\approx 3900}$

実際には、追加の電磁シールドのない円筒形 LGR の測定された品質係数は、予測値 よりもはるかに小さくなります。品質係数の抑制は、LGR のボアから自由空間に伸びる磁力線からの放射電力損失によるものです。LGR を導電性ループとして扱うことで、有効放射抵抗の大きさの推定を行うことができます。放射の波長がループ半径 よりもはるかに大きいという限界では、放射抵抗は次のようになります 。${\displaystyle r_{0}/\delta }$${\displaystyle r_{0}}$

${\displaystyle R_{\mathrm {r} }\approx {\frac {\pi }{6}}{\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}\left({\frac {\omega _{0}r_{0}}{c}}\right)^{4}\,,}$

LGR導体の抵抗による抵抗よりもはるかに大きくなる可能性があります。 ^{[8] [9]} 放射損失は、LGRを円形導波管内に配置すると抑制できます。TE ₁₁導波管モードの最低カットオフ周波数がLGRの共振周波数より十分に高い場合、磁力線が自由空間に伝播するのを防ぎます。電磁シールドの存在により、LGRの共振周波数と品質係数が変化しますが、通常は数パーセントしか変わりません。^{[1] [6]}${\displaystyle R_{\rho}}$

高い品質係数を必要とする一部のアプリケーションでは、円筒形 LGR を囲む同心円形導波管によって提供される電磁シールドはかさばり、扱いにくい場合があります。トロイダル LGR は、追加の電磁シールドを必要とせずに、高精度の測定に使用できます。トロイダル形状では、円筒形 LGR の両端が結合されて完全に閉じた構造を形成します。この場合、磁場は共振器のボア内に完全に閉じ込められ、放射電力の損失はありません。トロイダル LGR は、構造の外径に沿ってボルトで固定された 2 つの半分で構成されています。 ${\displaystyle Q}$

円筒形 LGR と同様に、トロイダル LGR は直列回路としてモデル化できます。一般に、トロイダル LGR の有効静電容量、インダクタンス、抵抗は、円筒形 LGR に対して上記で示した式とは異なります。ただし、トーラスの半径がボア半径に比べて大きい場合、 をトーラスの円周に等しいとすると、トロイダル LGR の静電容量、インダクタンス、抵抗は上記の式で近似されます。 ${\displaystyle LRC}$${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle \ell}$

トロイダルLGRは、液体サンプルや液体中に浮遊する粒子の電磁気特性を特徴付ける場合に特に便利です。これらの場合、トロイダルLGRのボアは、特別なサンプルホルダーを必要とせずに、液体サンプルで部分的に満たすことができます。このセットアップにより、たとえば強磁性流体の磁気特性を特徴付けることができます。あるいは、液体サンプルが非磁性である場合は、トロイダルLGR全体を液体（またはガス）に浸すことができます。この場合、サンプルの誘電特性は共振器の有効容量のみを変更し、およびの変化を使用してサンプルの複素誘電率を決定できます。^{[7] [9]}${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle Q}$

誘導結合ループは、通常、LGR の内外に磁束を結合するために使用されます。結合ループは、まず半剛性同軸ケーブルから外部導体と誘電体の長さを取り除くことによって作成されます。次に、露出した中心導体をループに曲げ、外部導体に短絡します。同軸ケーブルの反対側の端は、信号発生器または受信機のいずれかに接続されます。信号発生器の場合、結合ループに振動電流が確立されます。ファラデーの誘導の法則により、この電流は振動磁束を作成し、LGR のボアに結合できます。次に、この磁束は、LGR の内壁に沿って円周方向の電流を誘導します。誘導電流は、再びファラデーの法則により、LGR のボアにほぼ均一な振動磁場を作成します。受信機に接続された 2 番目の結合ループを使用して、LGR によって生成された磁束を検出できます。あるいは、ベクトル ネットワーク アナライザ(VNA) を使用すると、単一の結合ループを使用して、LGR に信号を注入し、その応答を測定することができます。VNA は、順方向電圧と反射電圧の比率 ( 、または反射係数) をマイクロ波周波数の関数として測定できます。共振から遠く離れると、これらの周波数では LGR に結合される電力が非常に少ないため、反射係数の大きさは 1 に近くなります。ただし、共振周波数 の近くでは、電力が LGR に転送されるため、反射係数の大きさは 1 を下回ります。外部回路と LGR 間の結合は、結合ループと LGR の相対的な位置と方向を調整することで調整できます。臨界結合では、インピーダンス整合が達成され、反射係数はゼロに近づきます。^[11]${\displaystyle S_{11}}$${\displaystyle f_{0}}$

同軸ケーブルの端に適切な形状の電極を使用して、LGRのギャップの内外に電界を容量結合させることも可能です。^[11]

マルチループ、マルチギャップ LGR も開発されている。これらのうち最も単純なのは、2 ループ、1 ギャップ LGR である。この場合、磁力線は LGR の各ボアを通過することによって閉ループを形成し、内壁の電流は反対方向、つまり一方のボアでは時計回り、もう一方のボアでは反時計回りに伝播する。損失を無視した等価回路は、インダクタとを並列に組み合わせ、容量 と直列に接続したものである。 の場合、2 ループ、1 ギャップ LGR の共振周波数は、同じボアとギャップ寸法を持つ従来の 1 ループ、1 ギャップ LGR の共振周波数の 倍になる。また、磁力線が一方のボアから他方のボアを通過するため、放射電力損失が大幅に抑制され、追加の電磁シールドを必要とせずに共振器が高品質の係数を維持できることも注目に値する。^{[10] [13]}${\displaystyle L}$${\displaystyle L_{0}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle L=L_{0}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

2つ以上のループを持つマルチループ、マルチギャップLGRには、複数の共振モードがあります。中央のボアがインダクタンスを持つと特定された場合、共振モードの1つは、インダクタンスの各外部ループからの磁束がすべて中央のループと共有されるモードです。このモードでは、ループ、ギャップLGRの共振周波数は次のように表されます。 ${\displaystyle L_{0}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle f_{0}\approx {\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {n}{LC}}}\,,}$

ここで、すべてのループは同じインダクタンスを持つと仮定している。^{[14] [15] [16] [17] [18]}${\displaystyle L}$

ループギャップ共振器は、非従来型超伝導体の電気力学的特性の精密測定に使用されてきた。^[19] 最も注目すべきは、LGRを使用して、単結晶YBa ₂ Cu ₃ O _6.95におけるd波超伝導体の特徴である磁気浸透深さの線形温度依存性を明らかにしたことである。^[20] これらの実験では、超伝導サンプルをLGRのボア内に配置する。超伝導体の反磁性応答により、LGRのインダクタンスが変化し、その結果、共振周波数も変化する。後述するように、サンプルの温度が変化するにつれて共振周波数の変化を追跡することで、磁気浸透深さの温度依存性を推測することができる。

LGRのインダクタンスは と表すことができます。ここで はLGRボアの容積です。LGRの共振周波数は に比例するため、共振器ボアの有効容積がわずかに変化すると、共振周波数は次のように変化します。 ${\displaystyle L=\mu _{0}V_{\mathrm {r} }/\ell ^{2}}$${\displaystyle V_{\mathrm {r} }}$${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle L^{-1/2}}$

${\displaystyle \delta f_{0}=-{\frac {f_{0}}{2}}{\frac {\delta V_{\mathrm {r} }}{V_{\mathrm {r} }}}\,.}$

マイスナー効果により、超伝導サンプルをLGRのボア内に置くと、磁束はサンプル内部からその表面の浸透深さまで排出されます。したがって、共振器ボアの有効容積は、磁束が排除された容積に等しい量だけ減少します。この排除容積は次のように表されます。 ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle V_{\mathrm {ex} }\approx ab\left(c-2\lambda _{a}\right)\,,}$

ここで、、、は3つの結晶方向に沿ったサンプルの寸法であり、はサンプルの体積である。上記の式では、マイクロ波磁場がサンプルの -軸に平行に印加されていると仮定している。超伝導体の存在によりLGRの体積が減少するため、 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle abc}$${\displaystyle V_{\mathrm {s} }}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \delta V_{\mathrm {r} }=-V_{\mathrm {ex} }}$

${\displaystyle \delta f_{0}={\frac {f_{0}}{2V_{\mathrm {r} }}}\left(V_{\mathrm {s} }-2ab\lambda _{a}\right)\,.}$

この式を-軸侵入深さについて解くと、次の式が得られる。 ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \lambda _{a}={\frac {c}{2}}-{\frac {V_{\mathrm {r} }}{ab}}{\frac {\delta f_{0}}{f_{0}}}\,.}$

一般的に、LGR周波数シフト測定を使用して浸透深さの絶対値を決定することはできません。サンプルの厚さを非常に正確に知る必要があるためです。たとえば、低温で完全にドープされたYBa ₂ Cu ₃ O ₇の場合です。^[21] したがって、LGR測定を使用して10%以内の精度で決定するには、の値を知る必要がありますが、その精度は通常は不可能です。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle \lambda _{a}\approx 100~\mathrm {nm} }$${\displaystyle \lambda _{a}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle 10~\mathrm {nm} }$

代わりに、サンプル温度の変化に伴う周波数の変化を追跡する戦略がとられます（LGRを一定の温度に保ちながら）。絶対浸透深さは次のように表すことができます。

${\displaystyle \lambda _{a}(T)=\lambda _{a}(T_{0})+\Delta \lambda _{a}(T)\,,}$

ここで、は温度、は実験のベース温度、はサンプル温度がベース温度を超えて上昇したときの侵入深さの変化です。したがって、侵入深さの変化は次のように表すことができます。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle \Delta \lambda _{a}(T)}$

${\displaystyle \Delta \lambda _{a}(T)=\lambda _{a}(T)-\lambda _{a}(T_{0})=-{\frac {V_{\mathrm {r} }}{ab}}{\frac {1}{f_{0}}}\left[\delta f_{0}(T)-\delta f_{0}(T_{0})\right]\,.}$

最後に、を定義すると、 ${\displaystyle \Delta f_{0}(T)=\delta f_{0}(T)-\delta f_{0}(T_{0})}$

${\displaystyle \Delta \lambda _{a}(T)=-{\frac {V_{\mathrm {r} }}{ab}}{\frac {\Delta f_{0}(T)}{f_{0}}}\,.}$

この最後の式は、共鳴周波数の LGR シフトを使用して、超伝導サンプルの磁気浸透深さの温度依存性を決定する方法を示しています。

d波超伝導体では、浸透深さは1度ケルビンあたり数オングストローム変化するのが一般的で、これは、内腔容積が のLGR内の小板サンプルの場合 に相当します。相対周波数のこのような小さな変化を測定するには、極めて高い共振器が必要です。超高Q値は、LGR表面を鉛スズ合金などの超伝導材料でコーティングすることで得られます。次に、共振器を超流動液体ヘリウムの浴槽を使用してコーティングの超伝導遷移温度以下に冷却します。 の品質係数は、鉛スズでコーティングされ に冷却された銅LGRを使用することで達成されています。^[20]${\displaystyle \Delta f_{0}/f_{0}\sim 10^{-10}}$${\displaystyle 1~\mathrm {mm} ^{2}}$${\displaystyle 1~\mathrm {cm} ^{3}}$${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle 10^{6}}$${\displaystyle 1~\mathrm {K} }$

このセクションでは、LGRを使用して材料の電磁気特性を決定する方法について説明します。共振器のギャップまたはボアに材料が充填されていない場合、 LGRのインピーダンスは 次のように表されます。 ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle Z=R+j\omega L+{\frac {1}{j\omega C}}\,,}$

ここで、共振周波数と品質係数で再表現すると、インピーダンスは次のように表される 。${\displaystyle j={\sqrt {-1}}}$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle {\frac {Z}{QR}}={\frac {1}{Q}}+j\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}-{\frac {\omega _{0}}{\omega }}\right)\,.}$

空のLGRのインピーダンスの周波数依存性を測定することで、およびを決定できます。インピーダンス測定は、誘導結合LGRからの 反射係数を測定するベクトルネットワークアナライザ（VNA）を使用して最も簡単に行うことができます。インピーダンスと反射係数は次のように関連しています。${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle S_{11}}$

${\displaystyle S_{11}={\frac {Z_{0}-Z}{Z_{0}+Z}}\,,}$

ここで、VNAの出力インピーダンスです（通常は、）。 ${\displaystyle Z_{0}}$${\displaystyle Z_{0}=50~\Omega )}$

ここで、共振器のギャップが複素比誘電率 を持つ誘電体で完全に満たされていると仮定します。この場合、有効容量はとなり、LGRのインピーダンスは次のように表されます。 ${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }=\varepsilon ^{\prime }-j\varepsilon ^{\prime \prime }}$${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }C}$

${\displaystyle Z_{\varepsilon }=R+j\omega L+{\frac {1}{j\omega \left(\varepsilon ^{\prime }-j\varepsilon ^{\prime \prime }\right)C}}\,.}$

実数と虚数を分けると、

${\displaystyle Z_{\varepsilon }=\left[R+\left({\frac {\varepsilon ^{\prime \prime }}{\left(\varepsilon ^{\prime }\right)^{2}+\left(\varepsilon ^{\prime \prime }\right)^{2}}}\right){\frac {1}{\omega C}}\right]+j\left[\omega L-\left({\frac {\varepsilon ^{\prime }}{\left(\varepsilon ^{\prime }\right)^{2}+\left(\varepsilon ^{\prime \prime }\right)^{2}}}\right){\frac {1}{\omega C}}\right]\,.}$

この式は、非ゼロの がLGR の有効抵抗を高め、その結果としてその品質係数を低下させることを示しています。一方、非ゼロの はインピーダンスの虚数部を変え、共振周波数を変更します。空共振器の共振周波数と品質係数で表すと、上記のインピーダンスは次のように表すことができます。 ${\displaystyle \varepsilon ^{\prime \prime }}$${\displaystyle \varepsilon ^{\prime }}$

${\displaystyle {\frac {Z_{\varepsilon }}{QR}}=\left[{\frac {1}{Q}}+\left({\frac {\varepsilon ^{\prime \prime }}{\left(\varepsilon ^{\prime }\right)^{2}+\left(\varepsilon ^{\prime \prime }\right)^{2}}}\right){\frac {\omega _{0}}{\omega }}\right]+j\left[{\frac {\omega }{\omega _{0}}}-\left({\frac {\varepsilon ^{\prime }}{\left(\varepsilon ^{\prime }\right)^{2}+\left(\varepsilon ^{\prime \prime }\right)^{2}}}\right){\frac {\omega _{0}}{\omega }}\right]\,.}$

とが事前に分かっている場合、の周波数依存性の測定を使用して、 LGRの隙間を埋める材料のとを決定することができます。この解析により、充填されたLGRの共振周波数でのとの値が得られます。 ^{[5] [6] [7]}${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Z_{\varepsilon }}$${\displaystyle \varepsilon ^{\prime }}$${\displaystyle \varepsilon ^{\prime \prime }}$${\displaystyle \varepsilon ^{\prime }}$${\displaystyle \varepsilon ^{\prime \prime }}$

次に、LGRのボアが複素比透 磁率を持つ磁性体で満たされていると仮定します。この場合、有効インダクタンスはとなり、LGRのインピーダンスは次のように表されます。 ${\displaystyle \mu _{\mathrm {r} }=\mu ^{\prime }-j\mu ^{\prime \prime }}$${\displaystyle \mu _{\mathrm {r} }L}$

${\displaystyle Z_{\mu }=R+j\omega \left(\mu ^{\prime }-j\mu ^{\prime \prime }\right)L+{\frac {1}{j\omega C}}\,.}$

インピーダンスを実数部と虚数部に分けて、空のLGR とで表すと、次の式が得られます。${\displaystyle Z_{\mu }}$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle {\frac {Z_{\mu }}{QR}}=\left[{\frac {1}{Q}}+\mu ^{\prime \prime }{\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right]+j\left[\mu ^{\prime }{\frac {\omega }{\omega _{0}}}-{\frac {\omega _{0}}{\omega }}\right]\,.}$

再び、は追加の散逸に寄与し、充填共振器の品質係数を低下させ、共振周波数をシフトさせます。 の周波数依存性の測定は、充填LGRの共振周波数におけるとの値を抽出するために使用できます。 ^{[5] [10] [12] [22]}${\displaystyle \mu ^{\prime \prime }}$${\displaystyle \mu ^{\prime }}$${\displaystyle Z_{\mu }}$${\displaystyle \mu ^{\prime }}$${\displaystyle \mu ^{\prime \prime }}$