丸太半円形

数学において、トロピカル解析の分野では、対数半環は、拡張された実数を対数とみなすことによって得られる対数スケール上の半環構造です。つまり、加算と乗算の演算は共役によって定義されます。実数を指数化して正の数（またはゼロ）を得て、これらの数を実数に対する通常の代数演算で加算または乗算し、対数を取って最初の指数化を反転させます。このような演算は、例えば対数加算などとしても知られています。トロピカル解析では、通常の加算 + と乗算 × (または ⋅) と区別するために、演算は ⊕ と ⊗ で表されます。これらの演算は、指数と対数の底bの選択 ( bは対数単位の選択) に依存し、これはスケール係数に対応し、1 以外の任意の正の底に対して適切に定義されます。底b < 1を使用することは、負の符号を使用し、逆数1/ b > 1を使用することと同等です。^{[ a ]}修飾がない場合、底は慣習的にeまたは1/ eとみなされ、これは負の符号が付いたeに対応します。

対数半環は、底が無限大に近づくと、極限として熱帯半環（「熱帯化」、「非量子化」）を持つ。${\displaystyle b\to \infty }$（最大プラス半環）またはゼロへ${\displaystyle b\to 0}$（最小プラス半環）であり、したがって、トロピカル半環の変形（「量子化」）と見なすことができます。特に、加算演算logadd（複数項の場合はLogSumExp ）は、最大値または最小値の変形と見なすことができます。対数半環は、滑らかでない最大値と最小値を滑らかな演算に置き換えるため、数学的最適化に応用されています。対数半環は、デシベル（デシベル§加算を参照）、対数確率、対数尤度など、対数（対数スケールで測定）である数値を扱う場合にも発生します。 

対数半環上の演算は、非負の実数にマッピングし、そこで演算を行い、再び対数半環にマッピングすることによって、外的に定義できます。通常の加算と乗算の演算を備えた非負の実数は、確率半環として知られる半環（負の数は存在しない）を形成します。したがって、対数半環の演算は、確率半環上の演算の引き戻しと見なすことができ、これらは環として同型です。

形式的には、拡張実数R ∪ {–∞, +∞ } ^{[ b ]}と正の基数b ≠ 1が与えられた場合、次のように定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}x\oplus _{b}y&=\log _{b}\left(b^{x}+b^{y}\right)\\x\otimes _{b}y&=\log _{b}\left(b^{x}\times b^{y}\right)=\log _{b}\left(b^{x+y}\right)=x+y.\end{aligned}}}$

底に関係なく、対数乗算は通常の加算と同じです。${\displaystyle x\otimes _{b}y=x+y}$対数は乗算を加算に変換するため、対数加算は底に依存します。通常の加算と乗算の単位は 0 と 1 です。したがって、対数加算の単位は です。${\displaystyle \log _{b}0=-\infty }$のために${\displaystyle b>1}$そして${\displaystyle \log _{b}0=-\log _{1/b}0=+\infty }$のために${\displaystyle b<1}$対数乗算の単位は${\displaystyle \log 1=0}$基地に関係なく。

より簡潔に言うと、単位対数半環は底eを用いて次のように定義できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}x\oplus y&=\log \left(e^{x}+e^{y}\right)\\x\otimes y&=x+y.\end{aligned}}}$

加法単位は−∞、乗法単位は0であり、これは最大値の慣例に対応する。

反対の慣例も一般的で、最小慣例である1/ eを底としています。 ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x\oplus y&=-\log \left(e^{-x}+e^{-y}\right)\\x\otimes y&=x+y.\end{aligned}}}$

加法単位は+∞、乗法単位は0です。

対数半環は実際には半体である。なぜなら、加法単位−∞ (または+∞ )以外のすべての数は、次式で与えられる乗法逆元を持つからである。${\displaystyle -x,}$以来${\displaystyle x\otimes -x=\log _{b}(b^{x}\cdot b^{-x})=\log _{b}(1)=0.}$したがって、対数除算⊘は明確に定義されますが、対数減算⊖は必ずしも定義されるとは限りません。

平均は、対数加算と対数除算によって定義できます（指数に対応する準算術平均として）。

${\displaystyle M_{\mathrm {lm} }(x,y):=(x\oplus y)\oslash 2=\log _{b}{\bigl (}(b^{x}+b^{y})/2{\bigr )}=\log _{b}(b^{x}+b^{y})-\log _{b}2=(x\oplus y)-\log _{b}2.}$

これは単に加算をずらしたものです${\displaystyle -\log _{b}2,}$対数除算は線形減算に対応するため。

対数半環は通常のユークリッド距離を持ち、これは正の実数上の対数スケールに対応します。

同様に、対数半環には通常のルベーグ測度があり、これは対数乗算（通常の加算、幾何学的には平行移動）に関して不変な測度であり、確率半環上の対数測度に対応します。

• 対数平均
• LogsumExp
• ソフトマックス