レーヴナーのトーラス不等式

微分幾何学において、ローナーのトーラス不等式はチャールズ・ローナーによる不等式である。これは、2次元トーラス上の任意のリーマン計量のシストールと面積の関係を表す。

1949年、チャールズ・ローナーは、2-トーラス上のすべての計量が$\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$最適不等式を満たす

$\displaystyle \operatorname {sys} ^{2}\leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}\operatorname {area} (\mathbb {T} ^{2}),}$

ここで「sys」は縮約不可能なループの最小長、すなわち縮約不可能なループの最小長を表します。右辺に現れる定数はエルミート定数です。$\displaystyle \gamma _{2}}$2次元では、ローナーのトーラス不等式は次のように書き換えられる。

$\displaystyle \operatorname {sys} ^{2}\leq \gamma _{2}\;\operatorname {area} (\mathbb {T} ^{2}).}$

この不等式は、文献ではPu（1952）で初めて言及された。

等号の境界ケースは、計量が平坦で、いわゆる正三角形トーラス、すなわちデッキ変換群が正確に1の立方根によって張られる六角格子であるトーラスと相似である場合に限り達成される。${\displaystyle \mathbb {C} }$幾何学的には、このトーラスは、正六角形、または60°と120°の角度を持つ菱形の、対向する辺のペアを接着することによって得られます。

二重周期的な計量が与えられた場合$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$（例えば、埋め込み$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$これは${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$等尺性作用）には、ゼロでない要素が存在する。${\displaystyle g\in \mathbb {Z} ^{2}}$そしてポイント$\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{2}}$そのため${\textstyle \operatorname {dist} (p,gp)^{2}\leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}\operatorname {area} (F)}$、 どこ${\displaystyle F}$は行動の基本的な領域であり、${\displaystyle \operatorname {dist} }$はリーマン距離、すなわち、${\displaystyle p}$そして${\displaystyle gp}$。

ローヴナーのトーラス不等式は、分散の計算式を用いることで最も簡単に証明できる。

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}=\mathrm {var} (X).}$

すなわち、この公式は、与えられたトーラスの共形クラスにおける単位面積の平坦トーラスの測度によって定義される確率測度に適用されます。確率変数Xについては、与えられた計量の共形因子を平坦な計量に関して取ります。すると、X ^{2の期待値 E(} X  ² ) は、与えられた計量の全面積を表します。一方、Xの期待値 E( X ) は、フビニの定理を用いて収縮期と関連付けることができます。Xの分散は、ボンネセンの不等式の等周欠陥に類似した等収縮欠陥と考えることができます。したがって、このアプローチにより、等収縮欠陥を持つローナーのトーラス不等式の次のバージョンが得られます。 

${\displaystyle \mathrm {area} -{\frac {\sqrt {3}}{2}}(\mathrm {sys} )^{2}\geq \mathrm {var} (f),}$

ここで、ƒはその共形クラス内の単位面積平坦計量に対する計量の共形因子である。

不平等かどうか

${\displaystyle (\mathrm {sys} )^{2}\leq \gamma _{2}\,\mathrm {area} }$

非正のオイラー標数を持つすべての曲面で満たされるかどうかは不明である。種数2および種数20以上の向き付け可能な曲面については、答えは肯定である。詳細は、下記のKatzとSabourauの研究を参照のこと。

• 実射影平面に対するプーの不等式
• 本質的多様体に対するグロモフの収縮期不等式
• 複素射影空間におけるグロモフの不等式
• アイゼンシュタイン整数（六角格子の一例）
• 表面のシストル

• Horowitz, Charles; Katz, Karin Usadi; Katz, Mikhail G. (2009). "Loewnerのトーラス不等式と等収縮欠陥". Journal of Geometric Analysis . 19 (4): 796–808 . arXiv : 0803.0690 . doi : 10.1007/s12220-009-9090-y . MR 2538936. S2CID 18444111 .  
• カッツ、ミハイル・G. (2007).シストリック幾何学とトポロジー(PDF) . 数学調査およびモノグラフ。第 137巻。J. ソロモンによる付録付き。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会。doi : 10.1090/surv/137 . ISBN 978-0-8218-4177-8. MR 2292367 . 
• Katz, Mikhail G.; Sabourau, Stéphane (2005). "Entropy of systolically extremal surfaces and asymptotic bounds". Ergodic Theory Dynam. Systems . 25 (4): 1209– 1220. arXiv : math.DG/0410312 . doi : 10.1017/S0143385704001014 . MR 2158402 . S2CID 11631690 .  
• Katz, Mikhail G.; Sabourau, Stéphane (2006). "Hyperelliptic surfaces are Loewner". Proc. Amer. Math. Soc. 134 (4): 1189– 1195. arXiv : math.DG/0407009 . doi : 10.1090/S0002-9939-05-08057-3 . MR 2196056 . S2CID 15437153 .  
• Pu, Pao Ming (1952). 「ある種の非可定方向リーマン多様体におけるいくつかの不等式」 Pacific J. Math. 2 (1): 55– 71. doi : 10.2140/pjm.1952.2.55 . MR 0048886 .