藤木クラスC

代数幾何学では、複素多様体はコンパクトケーラー多様体と双有理同型であるとき藤木類 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$と呼ばれる。この概念は藤木明によって定義された。^[1]

M を藤木類 のコンパクト多様体 と その複素部分多様体とする。このとき、 X も藤木類に属する(, ^{[2]補題 4.6)。さらに、} Xのドゥアディ空間(つまり、部分多様体 の変形の係数、Mを固定) はコンパクトであり、藤木類に属する。^[3]${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle X\subset M}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle X\subset M}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

藤木類 多様体は、必ずしもケーラー多様体ではないが、-補題が成り立つコンパクト複素多様体の例である。^[4]${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

J.-P. DemaillyとM. Pǎunは、多様体 がケーラーカレントをサポートする場合のみ、それが藤木類であることを示した。 ^[5] 彼らはまた、多様体Mが大きなネフカレントを許容する場合、つまり、 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle \int _{M}\omega ^{dim_{\mathbb {C} }M}>0.}$

有理コホモロジー類に対して、次の命題が知られている。グラウエルト・リーメンシュナイダー予想により、第一チャーン類を持つ正則直線束Lは、${\displaystyle [\omega ]\in H^{2}(M)}$

${\displaystyle c_{1}(L)=[\omega ]}$

nefとbigは最大の小平次元を持つので、対応する有理写像は

${\displaystyle {\mathbb {P} }H^{0}(L^{N})}$

は、その像に一般的に有限であり、代数的であるため、ケーラーです。

藤木^[6]と上野^[7]は、この性質 が変形に対して安定であるかどうかを疑問視した。この予想は1992年にY.-S. PoonとClaude LeBrun ^{[8]によって反証された。}${\displaystyle {\mathcal {C}}}$