ルジャンドルの予想

アドリアン＝マリー・ルジャンドルが提唱したルジャンドル予想は、任意の正の整数に対して、 との間に素数が存在するというものである。この予想は、素数に関するランダウの問題(1912)の 1 つであり、素数の間隔に関する 多くの未解決問題の 1 つである。${\displaystyle n^{2}}$${\displaystyle (n+1)^{2}}$ ${\displaystyle n}$

数学における未解決の問題:

と の間には常に少なくとも 1 つの素数が存在しますか?${\displaystyle n^{2}}$${\displaystyle (n+1)^{2}}$

（数学における未解決の問題がさらに増える）

ルジャンドルの予想が正しいとすれば、任意の素数pと次に大きい素数との間隔は、ビッグオー記法で表すととなる。^[a]これは素数間隔、つまり素数間の間隔に関連する結果や予想のファミリーの 1 つである。他には、 との間に素数が存在するというベルトランの公理、、 、 の間に素数が存在するというオッペルマンの予想、連続する素数の平方の間に素数が存在するというアンドリカの予想とブロカールの予想、間隔は常に のオーダーでずっと小さくなるというクラメールの予想 などがある。クラメールの予想が正しいとすれば、十分に大きいnすべてに対してルジャンドルの予想が成り立つ。 ハラルド・クラメールは、リーマン予想が最大素数間隔の大きさに関するのより弱い上界を意味することも証明した。^[1]${\displaystyle O({\sqrt {p}}\,)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle n^{2}}$${\displaystyle n(n+1)}$${\displaystyle (n+1)^{2}}$${\displaystyle (\log p)^{2}}$${\displaystyle O({\sqrt {p}}\log p)}$

素数定理により、との間の素数の期待値はおよそ であり、さらにこの形式の区間のほとんどすべてにおいて、素数の実際の数 ( OEIS : A014085 )はこの期待値に漸近することが分かっています。 ^[2]この数は が大きい場合大きいため、ルジャンドル予想の信憑性が高まります。^[3]素数定理により、短い区間内の素数の正確な数が無条件に^[4]またはリーマン予想に基づいて^[5]与えられることが分かっていますが、これが証明された区間の長さは連続する平方間の区間よりも長く、ルジャンドル予想を証明するには長すぎます。 ${\displaystyle n^{2}}$${\displaystyle (n+1)^{2}}$${\displaystyle n/\ln n}$ ${\displaystyle n}$

インガムの結果から、十分に大きいすべての に対して、連続する立方体との間には素数が存在することがわかります。^{[6] [7]}デュデックは、これがすべての に対して成り立つことを証明しました。^[8]${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{3}}$${\displaystyle (n+1)^{3}}$${\displaystyle n\geq e^{e^{33.3}}}$

デュデックはまた、および任意の正の整数に対して、との間に素数が存在することを証明した。マットナーはこれを^[9]に簡約し、さらにカリー＝ハギルによってに簡約された^{[10] 。}${\displaystyle m=4.971\times 10^{9}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n^{m}}$${\displaystyle (n+1)^{m}}$${\displaystyle m=1438989}$ ${\displaystyle m=155}$

ベイカー、ハーマン、ピンツは、すべての大きなに対して区間内に素数が存在することを証明した。^[11]${\displaystyle [xx^{2​​1/40},\,x]}$${\displaystyle x}$

最大素数ギャップの表は、この予想が少なくとも、つまりに当てはまることを示しています。^[12]${\displaystyle n^{2}=4\cdot 10^{18}}$${\displaystyle n=2\cdot 10^{9}}$

• ワイスタイン、エリック W.、「ルジャンドルの予想」、MathWorld