大きいふるい

数論において、大ふるいはパトリック・X・ギャラガーが発明したふるいである。この名前は大ふるいの強化を意味する。セルバーグふるいのような組み合わせふるいは、少数の剰余類のみが除去されるときに最も強力であるが、大ふるいという用語は、このふるいが全剰余類の最大半数の多数の除去を利用できることを意味する。大ふるいは、任意の数のクラスの削除を利用できる。

が素数累乗の集合、N が整数、区間 [1,  N ] 内の整数の集合で、 に対して を法とする剰余類が最大で存在し、その中に の要素が含まれるものとします。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle q\in {\mathcal {S}}}$${\displaystyle g(q)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

そして、

${\displaystyle |{\mathcal {A}}|\leq {\frac {\sum _{q\in {\mathcal {S}}}\Lambda (q)-\log N}{\sum _{q\in {\mathcal {S}}}{\frac {\Lambda (q)}{g(q)}}-\log N}},}$

ただし、右辺の分母は正である。^[1]

典型的な応用例は次の通りであるが、ギャラガーの理論によれば、大きなふるいは（特に については）機能しない。^[2]${\displaystyle \theta >{\frac {1}{2}}}$

すべての素数に対して を法とした順序となるような整数の数はです。
${\displaystyle n\leq N}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \leq N^{\theta}}$${\displaystyle p\leq N^{\theta +\epsilon}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(N^{\theta })}$

を法として除外される剰余類の数が に応じて変化する場合は、より大きなふるいが大きなふるいと組み合わされることが多い。より大きなふるいは、多くの剰余類が除去される素数の集合として上で定義された集合に適用され、大きなふるいは の外側の素数を使用して情報を取得するために使用される。^[3]${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

• パトリック・ギャラガー（1971年）。 「大きめのふるい」。アクタ算術。18 : 77–81。土井：10.4064/aa-18-1-77-81。
• アーニー・クルート;エルショルツ、クリスチャン (2004)。 「より大きなふるいの変形について」。Acta Mathematica ハンガリカ。103 (3): 243–254。土井：10.1023/B:AMHU.0000028411.04500.e2。