大変形微分同相計量写像

大変形微分同相距離マッピング( LDDMM ) は、計算解剖学の学問分野内で微分同相マッピングおよび微分同相距離マッピングに基づく稠密画像の操作に使用される特定のアルゴリズム群であり 、微分同相マッピングに基づくその前身とは区別されます。 2 つの違いは、微分同相距離マップは、恒等写像から離れる流れに関連付けられた長さが微分同相写像のグループに距離を誘導し、それが今度は計算解剖学の分野内で形状と形態の軌道に距離を誘導するという特性を満たすことです。微分同相距離マッピングの距離を持つ形状と形態の研究は、微分形態測定法と呼ばれます。

微分同相マッピングシステムは、空間的に分散されたさまざまな種類の医療画像に保存されている情報をマッピング、操作、転送するように設計されたシステムです。

^{微分同相写像は、医療用画像処理[要出典]}によって測定された人体解剖学的座標系で測定された情報をマッピングおよび分析するための基礎技術です。微分同相写像は、実際にはさまざまなアルゴリズム、プロセス、および方法を指す広い用語です。多くの操作に関連付けられており、分析と視覚化の多くの用途があります。微分同相写像は、主要なインデックス変数として空間位置の関数としてインデックス付けされたさまざまな情報ソースを関連付けるために使用できます。微分同相写像は、ラテン語の語源によって変換を保存する構造になっており、変換は微分可能で滑らかであるため、弧の長さや表面積などのメトリックベースの量の計算が可能です。人体解剖学的座標系の空間位置と範囲は、一般にマルチモーダル医療画像と呼ばれるさまざまな医療用画像撮影装置によって記録でき、各空間位置でスカラー量とベクトル量のいずれかを提供します。例としては、スカラーT1または T2磁気共鳴画像、または 3x3 拡散テンソル行列としての拡散 MRIおよび拡散強調画像、コンピューター断層撮影(CT)に関連するスカラー密度、または機能的磁気共鳴画像の時間的データなどの機能画像、および陽電子放出断層撮影 (PET)などのスカラー密度などがあります。

計算解剖学は、バイオインフォマティクスと医療画像処理における、より広範な神経情報学の分野内のサブ分野です。微分同相距離マッピングによる高密度画像マッピングの最初のアルゴリズムは、ボリュームに対するベグのLDDMM ^{[1] [2]}と、対応のある点集合に対するジョシのランドマークマッチングでした。^{[3] [4] LDDMM}アルゴリズムは現在、対応のないランドマーク間の微分同相距離マップの計算や、球面多様体^[6] 、曲線^[7] 、電流と表面^{[8] [9] [10]}、テンソル^[11]、可変長体^[12]、時系列^{[13] [ 14] に固有のランドマークマッチングに使用できます。 [15] LDDMMという用語は}、米国国立衛生研究所が支援する生物医学情報学研究ネットワークの一部として最初に確立されました。^[16]

より一般的な意味では、微分同相マッピングとは、医療用画像における稠密な座標系間の対応関係を、その解が微分同相であることを保証することによって登録または構築するあらゆるソリューションです。現在、微分同相登録を中心に整理された多くのコードがあり^[17] 、ANTS ^[18]、DARTEL ^[19] 、 DEMONS ^[20] 、 StationaryLDDMM ^[21] 、 FastLDDMM ^{[22] 、 [23]}など、稠密画像に基づく座標系間の対応関係を構築するために積極的に使用されている計算コードの例として挙げられます。

LDDMM の基礎となる微分同相計量写像と、微分同相写像の最も初期の方法との違いは、最小作用のハミルトン原理の導入です。この原理では、測地線フローに対応する最短の長さの大きな変形が選択されます。この重要な違いは、右不変性に対応するリーマン計量の元の定式化から生じます。これらの測地線の長さは、人体解剖学の計量空間構造における計量を与えます。微分同相写像の非測地線定式化は、一般に、どの計量定式化にも対応しません。

座標系間での 3 次元情報の微分同相マッピングは、高解像度の医療用画像処理と、新たに出現したバイオインフォマティクス分野におけるニューロインフォマティクス の領域 の中心です。高解像度の高密度画像で測定された 3 次元座標系の微分同相マッピングは、80 年代初頭にペンシルベニア大学のRuzena Bajcsy率いるグループによるコンピュータ体軸断層撮影 (CAT スキャン) に始まり、^[24]ブラウン大学のUlf Grenanderスクールによる HAND 実験に続いて、3D 分野で長い歴史があります。 ^{[25] [26]} 90 年代には、小さな変形と非線形弾性の線形化に関連する画像レジストレーションのソリューションがいくつかありました。^{[27] [28] [29] [30] [31]}

医療用画像処理における計算解剖学(CA)のサブフィールドの中心的な焦点は、 1 ミリメートルの形態スケールで解剖学的座標系全体に情報をマッピングすることです。CA では、脳などの磁気共鳴画像(MRI) ベースの座標系内で測定された高密度情報のマッピングは、3D MR 画像を不正確に一致させることによって解決されています。画像解析と医療用画像処理における座標系の変換に微分同相写像の大変形フローを介した微分同相マッピングの使用を最初に導入したのは、Christensen、Rabbitt、Miller ^{[17] [32]}と Trouve ^[33]でした。流体力学で使用される運動方程式に似たフローの導入は、画像解析における高密度座標がラグランジュ運動方程式とオイラー運動方程式に従うという概念を利用しています。このモデルは、脳や心臓が必ずしも一方から他方への変形ではない横断研究に適しています。テンプレートの恒等写像からの距離とともに増大する線形または非線形弾性エネルギーに基づく方法は、横断的研究には適していません。むしろ、微分同相写像のラグランジュおよびオイラーフローに基づくモデルでは、制約は、開集合が保存されること、座標が交差しないことで逆写像の一意性と存在が示唆されること、連結集合が連結されたままであることなどの位相特性と関連しています。微分同相写像法の使用は、クリステンセンの最初の論文以降、マッピング法の分野を急速に支配するようになり、高速で対称的な方法が利用可能になりました。^{[19] [34]}

このような方法は、解の規則性の概念を導入して微分化や局所逆行列の計算を可能にする点で強力です。これらの方法の欠点は、最小エネルギーの流れをスコアリングできる関連するグローバル最小作用特性がないことです。これは、 剛体運動学の研究の中心となる測地線運動や、物理学でハミルトンの最小作用原理によって解決された多くの問題とは対照的です。1998年に、Dupuis、Grenander、およびMiller ^[35]は、微分同相写像の流れの空間で稠密な画像マッチングの解の存在を保証する条件を確立しました。これらの条件は、ベクトル場の流れの空間微分に対するソボレフノルムを介して測定された運動エネルギーにペナルティを課す作用を必要とします。

ファイサル・ベグがジョンズ・ホプキンス大学で博士号取得のために導出し実装した大変形微分同相距離マッピング（LDDMM）コード^[36]は、最小作用に従う稠密画像マッチング問題の必要条件を満たす固定点を持つフローを求める最も初期のアルゴリズムコードを開発しました。計算解剖学には現在、微分同相レジストレーション^[17]を中心に整理された多くの既存コードがあり 、ANTS、^[18] DARTEL、^[19 ] DEMONS、^[37] LDDMM、^[2] StationaryLDDMM ^[21]は、稠密画像に基づく座標系間の対応関係を構築するために積極的に使用されている計算コードの例として挙げられます。

^{これらの大変形手法は、測度マッチング、 [38]}曲線、^[39]表面、^[40]密なベクトル^[41]とテンソル^[42]画像、および方向を除去する可変フォールド^[43]を介して、登録なしでランドマークに拡張されています。

計算解剖学（CA）^{[44] [45] [46] [47]}における変形可能な形状は、医用画像における解剖学的座標間の対応を確立するための微分同相写像の使用を通じて研究されている。この設定では、3次元の医用画像は、画像に対するCAのランダム軌道モデルにおける観測画像要素の集合を用いて、テンプレートと呼ばれるいくつかの見本のランダム変形としてモデル化される。テンプレートは、変換されたテンプレートとターゲットとの間の二乗誤差マッチング条件を最小化するために座標の変更として使用される微分同相写像を介してテンプレートを変換する変分問題を定義することによってターゲットにマッピングされる。 ${\displaystyle I_{temp}}$${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}\doteq \{I=I_{\text{temp}}\circ \varphi ,\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}}$

微分同相写像は 、常微分方程式に関連する 流れ場のラグランジアンおよびオイラー指定を満たす滑らかな流れを介して生成される。${\displaystyle \varphi _{t},t\in [0,1]}$${\displaystyle \varphi \doteq \varphi _{1}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\varphi _{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\ \varphi _{0}={\rm {id}},}$

オイラーベクトル場が流れを決定する。ベクトル場は、 1連続微分をサポートする滑らかなヒルベルト空間にモデル化することで、 1回連続微分可能であることが保証される。 ^[48]逆は、 流れが次のように与えられるオイラーベクトル場によって定義される 。${\displaystyle v_{t},t\in [0,1]}$${\displaystyle v_{t}\in C^{1}}$ ${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle \varphi _{t}^{-1},t\in [0,1]}$

逆元を持つ微分同相写像の滑らかな流れを保証するために、成分を持つベクトル場は空間^{[49] [50]}で少なくとも1回連続微分可能でなければならない。これは、ソボレフの埋め込み定理を使用してヒルベルト空間の要素としてモデル化され 、各要素は3回の2乗積分可能な弱微分を持つ。したがって、1回連続微分可能な関数に滑らかに埋め込まれます。^{[37] [50]} 微分同相写像群は、ソボレフノルムで絶対積分可能なベクトル場を持つ流れです 。${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$${\displaystyle v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,}$${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$

CA では、ベクトル場の空間は、ノルムを決定する1-1 微分演算子によって定義される再生カーネルヒルベルト空間(RKHS)としてモデル化されます。ここで、積分は、が双対空間 の一般化関数である ときに部分積分によって計算されます。微分演算子は、演算子の逆であるグリーン核が各変数で連続的に微分可能であるように選択され、ベクトル場が 1 連続導関数 をサポートすることを意味します。解の存在に対するノルムの必要条件については、 ^[48]を参照してください。${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$${\displaystyle A:V\rightarrow V^{*}}$${\displaystyle \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{R^{3}}Av\cdot v\,dx,\ v\in V\ ,}$${\displaystyle Av}$${\displaystyle V^{*}}$

^{ベグ、ミラー、トゥルーヴ、ユーネス[51]} によるオリジナルの大変形微分同相距離写像（LDDMM）アルゴリズムは、ベクトル空間にあるため、群のベクトル場パラメータ化に関する変化を考慮して導出された。ベグは、微分同相流の運動エネルギーの作用積分を最小化し、エンドポイントマッチング項を最小化しながら、密な画像マッチングを解いた。${\displaystyle v={\dot {\phi }}\circ \phi ^{-1}}$

• 高密度画像マッチングのためのベグの反復アルゴリズム

各反復で 収束するまで更新します 。${\displaystyle \phi _{t}^{old}\leftarrow \phi _{t}^{new}}$${\displaystyle \phi _{t1}\doteq \phi _{1}\circ \phi _{t}^{-1}}$

これは、における 不動点が${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle \mu _{0}^{*}=Av_{0}^{*}=(I-J\circ \phi _{1}^{*})\nabla I|D\phi _{1}^{*}|}$、

これは、エンドポイントマッチング条件によって 与えられた保存方程式を満たすことを意味します。

${\displaystyle Av_{t}^{*}=(D\phi _{t}^{*-1})^{T}Av_{0}^{*}\circ \phi _{t}^{*-1}|D\phi _{t}^{*-1}|}$

^{[52] [53]}

ランドマーク マッチング問題には、次の最小値で与えられる測地線とのエンドポイント条件を定義する点ごとの対応があります。

${\displaystyle \min _{v:{\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t}}C(v)\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+{\frac {1}{2}}\sum _{i}(\phi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot (\phi _{1}(x_{i})-y_{i})}$;

• ランドマークマッチングのための反復アルゴリズム

ジョシはもともと登録ランドマークマッチング問題を定義しました。^[3]各反復で収束するまで更新します 。 ${\displaystyle \phi _{t}^{old}\leftarrow \phi _{t}^{new}}$${\displaystyle \phi _{t1}\doteq \phi _{1}\circ \phi _{t}^{-1}}$

これは、不動点が

${\displaystyle Av_{0}=-\sum _{i}(D\phi _{1})(x_{i})^{T}(y_{i}-\phi _{1}(x_{i}))\delta _{x_{i}}}$

と

${\displaystyle Av_{t}=-\sum _{i}(D\phi _{t1})^{T}|_{\phi _{t}(x_{i})}(y_{i}-\phi _{1}(x_{i}))\delta _{\phi _{t}(x_{i})}}$。

変分法はベグ[ ^{49] [53]}で 反復アルゴリズムを導出するために使用され、収束すると、ベクトル場の1次変分に関する終点の変分を必要とする1次変分の必要条件によって与えられる必要な最大化条件を満たす解として導出されました。方向微分はベグの原著論文[ ^{49 ]}および[54]で計算されたガトー微分を計算します。 ^[55]

拡散テンソル行列の主固有ベクトルに基づくLDDMMマッチングは、画像を第1固有ベクトルによって定義される単位ベクトル場として扱う。 ^[41] グループアクションは ${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle \varphi \cdot I={\begin{cases}{\frac {D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|I\circ \varphi ^{-1}\|}{\|D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|}}&I\circ \varphi \neq 0,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

ここで、これは画像の二乗誤差ノルムを表します。 ${\displaystyle \|\cdot \|}$

テンソル行列全体に基づくLDDMMマッチング ^[56]は、 グループアクション変換された固有ベクトル を持つ。${\displaystyle \varphi \cdot M=(\lambda _{1}{\hat {e}}_{1}{\hat {e}}_{1}^{T}+\lambda _{2}{\hat {e}}_{2}{\hat {e}}_{2}^{T}+\lambda _{3}{\hat {e}}_{3}{\hat {e}}_{3}^{T})\circ \varphi ^{-1},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {e}}_{1}&={\frac {D\varphi e_{1}}{\|D\varphi e_{1}\|}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{2}={\frac {D\varphi e_{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle {\hat {e}}_{1}}{\sqrt {\|D\varphi e_{2}\|^{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle ^{2}}}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{3}={\hat {e}}_{1}\times {\hat {e}}_{2}\end{aligned}}}$。

変分問題によるベクトル画像への端点 マッチング${\displaystyle I^{\prime }(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle E(\phi _{1})\doteq \alpha \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\|\phi _{1}\cdot I-I^{\prime }\|^{2}\,dx+\beta \int _{{\mathbb {R} }^{3}}(\|\phi _{1}\cdot I\|-\|I^{\prime }\|)^{2}\,dx).}$

なる

${\displaystyle \min _{v:{\dot {\phi }}\circ \phi ^{-1}}{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+\alpha \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\|\phi _{1}\cdot I-I^{\prime }\|^{2}\,dx+\beta \int _{{\mathbb {R} }^{3}}(\|\phi _{1}\cdot I\|-\|I^{\prime }\|)^{2}\,dx\ .}$

変分問題マッチング: 端点 ${\displaystyle M^{\prime }(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle E(\phi _{1})\doteq \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\|\phi _{1}\cdot M(x)-M^{\prime }(x)\|_{F}^{2}dx}$

フロベニウスノルム を用いると変分問題となる${\displaystyle \|\cdot \|_{F}}$

高角度分解能拡散イメージング（HARDI）は、DTIのよく知られた限界、つまり、DTIでは各位置で1つの主要な繊維配向しか明らかにできないという限界に対処します。HARDIは、球面上の均一に分布した方向に沿った拡散を測定し、水分子の拡散確率密度関数の角度プロファイルを特徴付ける配向分布関数（ODF）を再構築することで、より複雑な繊維形状を特徴付けることができます。ODFは、単位球面 上で定義される関数です。[ ^57] 平方根ODF（）を と表記します。ここで、 は一意性を保証するために非負であり、 です。このメトリックは、2つの関数間の距離を次のように 定義します。${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathbb {S} }^{2}}$${\displaystyle {\sqrt {\text{ODF}}}}$${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$${\displaystyle \int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi ^{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}=1}$${\displaystyle {\sqrt {\text{ODF}}}}$${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}\in \Psi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (\psi _{1},\psi _{2})=\|\log _{\psi _{1}}(\psi _{2})\|_{\psi _{1}}=\cos ^{-1}\langle \psi _{1},\psi _{2}\rangle =\cos ^{-1}\left(\int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi _{1}({\bf {s}})\psi _{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}\right),\end{aligned}}}$

ここで、 は、計量法の下にある球面上の点間の通常のドット積です。テンプレートとターゲットは 、、で表され、単位球面と画像領域にわたってインデックスが付けられ、ターゲットも同様にインデックスが付けられます。 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \mathrm {L} ^{2}}$${\displaystyle \psi _{\mathrm {temp} }({\bf {s}},x)}$${\displaystyle \psi _{\mathrm {targ} }({\bf {s}},x)}$${\displaystyle {\bf {s}}\in {{\mathbb {S} }^{2}}}$${\displaystyle x\in X}$

2つのODFボリュームが、常微分方程式の解である 微分同相写像の流れを介して一方から他方へ生成できると仮定して、変分問題を定義します。テンプレート上の微分同相写像の群作用は、に従って与えられます。 ここで、はアフィン変換されたODFのヤコビアンであり、次のように定義されます。 ${\displaystyle \phi _{t}}$${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}=v_{t}(\phi _{t}),t\in [0,1],\phi _{0}={id}}$${\displaystyle \phi _{1}\cdot \psi (x)\doteq (D\phi _{1})\psi \circ \phi _{1}^{-1}(x),x\in X}$${\displaystyle (D\phi _{1})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(D\phi _{1})\psi \circ \phi _{1}^{-1}(x)={\sqrt {\frac {\det {{\bigl (}D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}}}{\left\|{{\bigl (}D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}}{\bf {s}}\right\|^{3}}}}\quad \psi \left({\frac {(D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}}{\|(D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}\|}},\phi _{1}^{-1}(x)\right).\end{aligned}}}$

LDDMM変分問題は次のように定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\min _{v:{\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t},\phi _{0}={id}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dx\ dt+\lambda \int _{R^{3}}\|\log _{(D\phi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \phi _{1}^{-1}(x)}(\psi _{\mathrm {targ} }(x))\|_{(D\phi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \phi _{1}^{-1}(x)}^{2}dx\end{aligned}}}$。

ベグは、ベクトル場に関して変分をとる変分マッチングを解くことによって、初期のLDDMMアルゴリズムを解きました。^[58]ビアラードによる別の解法^[59]は、画像 に対して状態 に関して最適化問題を再パラメータ化し、動力学方程式は、 に従って移流方程式に関して与えられた制御によって状態を制御します。エンドポイントマッチング項は 変分問題を与えます。 ${\displaystyle q_{t}\doteq I\circ \phi _{t}^{-1},q_{0}=I}$${\displaystyle I(x),x\in X=R^{3}}$${\displaystyle {\dot {q}}_{t}=-\nabla q_{t}\cdot v_{t}}$${\displaystyle E(q_{1})\doteq {\frac {1}{2}}\|q_{1}-J\|^{2}}$

さまざまな微分同相写像アルゴリズムを含む ソフトウェア スイートには、次のものがあります。

• デフォルメトリカ^[60]
• アリ^[18]
• DARTEL ^[61] ボクセルベース形態計測（VBM）
• 悪魔^[62]
• LDDMM ^[2]
• 定常LDDMM ^[21]

• MRIクラウド^[63]

• 計算解剖学 § 計算解剖学における高密度画像マッチング
• 計算解剖学におけるリーマン計量とリー括弧
• 計算解剖学のベイズモデル