クラマース・ワニエ双対性

クラマース・ワニエ双対性は統計物理学における対称性である。これは、低温での2次元正方格子イジングモデルの自由エネルギーと、高温での別のイジングモデルの自由エネルギーを関連付けるものである。これは1941年にヘンドリック・クラマースとグレゴリー・ワニエによって発見された。 ^[1] この双対性を利用して、クラマースとワニエは正方格子上のイジングモデルの 臨界点の正確な位置を発見した。

同様の双対性により、他の統計モデルの自由エネルギー間の関係が確立されます。たとえば、3 次元では、イジング モデルはイジング ゲージ モデルと双対です。

2次元イジングモデルは格子上に存在します。格子はチェス盤状の正方形の集合です。有限格子では、辺を接続してトーラスを形成できます。この種の理論では、巻き込み変換 を構築します。たとえば、Lars Onsager は、三角格子にスター-トライアングル変換を使用できることを示唆しました。 ^{[2]ここで、}離散トーラス の双対はです。さらに、高度に無秩序なシステム (高温) の双対は、秩序立ったシステム (低温) です。これは、フーリエ変換が高帯域幅信号 (標準偏差が大きい) を低帯域幅信号 (標準偏差が小さい ) に変換するためです。したがって、温度の逆数を持つ理論は基本的に同じです。

一方の理論で温度を上げると、もう一方の理論では温度が下がります。相転移が1 つしかない場合は、温度が等しくなる交差ポイントで起こります。2D イジング モデルは無秩序状態から秩序状態に移行するため、無秩序相と秩序相の間には ほぼ1 対 1 のマッピングがあります。

この理論は一般化され、現在では多くの他のアイデアと融合しています。例えば、正方格子は円に置き換えられ、^[3]ランダム格子、^[4]非均質トーラス、^[5]三角格子、^[6]迷路、^[7]ねじれた境界を持つ格子、^[8]カイラルポッツモデル、^[9]などです。

クラマース・ワニエ双対性の結果の1つは、臨界点の両側の励起スペクトルの正確な対応である。これは最近、キタエフ鎖におけるTHz分光法によって実証された。^[10]

まず変数を定義する。2次元正方格子イジングモデルでは、水平リンクと垂直リンクの数は等しいとされる。2方向のスピンの 結合は異なり、とが設定される。標準展開から得られる (K ^* ,L ^* ) のスピン分配関数の低温展開は、${\displaystyle J,J'}$${\displaystyle \sigma_{i}}$${\displaystyle K^{*}=\beta J}$${\displaystyle L^{*}=\beta J'}$${\displaystyle \beta =1/kT}$${\displaystyle N}$${\displaystyle Z_{N}}$

${\displaystyle Z_{N}(K^{*},L^{*})=2\sum _{P\subset \Lambda _{D}}e^{K^{*}(N-2s)} e^{L^{*}(N-2r)}}$

は

${\displaystyle Z_{N}(K^{*},L^{*})=2e^{N(K^{*}+L^{*})}\sum _{P\subset \Lambda _{D}}(e^{-2L^{*}})^{r}(e^{-2K^{*}})^{s}}$、

因子 2 は、各 に対するスピン反転対称性から生じます。ここで、 上の和は、格子上の閉じた多角形上の和を表し、値 を持つスピン上の和からのグラフィカルな対応が得られます。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \pm 1}$

変数への次の変換を使用することにより、すなわち ${\displaystyle (K,L)}$

${\displaystyle \tanh K=e^{-2L^{*}},\ \tanh L=e^{-2K^{*}}}$

得られる

${\displaystyle Z_{N}(K^{*},L^{*})=2(\tanh K\;\tanh L)^{-N/2}\sum _{P}v^{r} w^{s}}$

${\displaystyle =2(\sinh 2K\;\sinh 2L)^{-N/2}Z_{N}(K,L)}$

ここで、およびである。これにより、低温展開と高温展開の間のマッピング関係が得られ、これは双対性（ここではクラマース・ワニエ双対性）として記述される。関係の助けを借りて、 ${\displaystyle v=\tanh K}$${\displaystyle w=\tanh L}$${\displaystyle Z_{N}(K^{*},L^{*})}$${\displaystyle Z_{N}(K,L)}$

${\displaystyle \tanh 2x={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}},\;\sinh 2x=2\sinh x\cosh x}$

とを定義する上記の双曲正接関係は、より対称的に次のように記述できる。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle \,\sinh 2K^{*}\sinh 2L=1,\;\;\sinh 2L^{*}\sinh 2K=1.}$

熱力学的極限におけるサイト当たりの自由エネルギー

${\displaystyle f(K,L)=\lim _{N\rightarrow \infty }f_{N}(K,L)=-kT\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N }}\log Z_{N}(K,L)}$

クラマース・ワニエ双対性は

${\displaystyle f(K^{*},L^{*})=f(K,L)+{\frac {1}{2}}kT\log(\sinh 2K\sinh 2L)}$

K = Lの等方性の場合、 K = K _cに臨界点があれば、 K = K ^* _cにも別の臨界点があります。したがって、唯一の臨界点がある場合、それはK = K ^* = K ^* _cに位置し、 sinh 2K _c = 1を意味し、次のように なります。

${\displaystyle kT_{c}=2.2692J}$。

結果は以下のようにも書けます。

${\displaystyle e^{2K_{c}}=1+{\sqrt {2}}.}$

クラマース・ワニエ双対性は他の文脈でも現れる。^{[11] [12] [13]}ここでは特に2次元スカラー場の理論を考える^{[14] [15]}この場合、より便利な変数は ${\displaystyle \Phi .}$${\displaystyle \sinh(2K)}$

${\displaystyle s(K):=\exp(2K)\tanh(K).}$

この表現で自己双対量を構築できる。

${\displaystyle \xi^{2}:={\frac {s(K)}{(1-s(K))^{2}}}={\frac {s(K^{*})}{(1-s(K^{*}))^{2}}}.}$

場の理論では、この量は相関長と呼ばれる。次の集合 ${\displaystyle \xi}$

${\displaystyle \beta (K):=\xi {\frac {dK}{d\xi }}={\frac {2s(K)(1-s(K))}{(1+s(K))[ds(K)/dK]}}.}$

この関数は、くりこみ理論のベータ関数です。ここで、に対しての値、つまり があるとします。ベータ関数のゼロは通常、対称性と関連していますが、ゼロが一意である場合のみです。 の解は(MAPLE で得られる) になります。 ${\displaystyle K^{*}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \beta (K^{*})=0}$${\displaystyle s(K^{*})=1}$${\displaystyle s(K^{*})=+1}$

${\displaystyle K^{*}=i\pi +{\frac {1}{2}}\ln(1+{\sqrt {2}}),\;\;{\frac {1}{2}}\ln(1+{\sqrt {2}}),\;\;\ln {\sqrt {1-{\sqrt {2}}}}}}$。

2番目の解のみが実数であり、クラマースとワニエの臨界値を与える。

${\displaystyle \exp(2K^{*})=1+{\sqrt {2}}}$。

• イジングモデル
• S-双対性
• ZNモデル

• HA KramersおよびGH Wannier ( 1941)。「2 次元強磁性体の統計」。Physical Review。60 (3): 252–262。Bibcode :1941PhRv...60..252K。doi : 10.1103/PhysRev.60.252。
• JB Kogut (1979)。 「格子ゲージ理論とスピンシステム入門」。Reviews of Modern Physics 51 ( 4): 659–713。Bibcode : 1979RvMP ...51..659K。doi :10.1103/RevModPhys.51.659。