Y-Δ変換

回路設計において、Y-Δ変換はワイデルタとも表記され、他の多くの名前でも知られ、電気回路網の解析を簡素化する数学的手法である。この名前は回路図の形状がそれぞれYの文字とギリシャ語の大文字Δに似ていることに由来する。この回路変換理論は1899年にアーサー・エドウィン・ケネリーによって発表された。 ^[1]三相電力回路 の解析で広く使用されている。

Y-Δ変換は、3つの抵抗器に対するスターメッシュ変換の特殊なケースと考えることができる。数学では、Y-Δ変換は円形平面グラフの理論で重要な役割を果たしている。^[2]

Y-Δ 変換は、 主に関係する 2 つの形状に基づいて、さまざまな名前で知られています (順序は問いません)。Yは、 wyeと表記され、Tまたはstarと呼ばれることもあります。Δは、 deltaと表記され、 triangle、Π ( piと表記)、またはmeshと呼ばれることもあります。したがって、この変換の一般的な名前には、 wye-deltaまたはdelta-wye、star-delta、star-mesh、またはT-Πなどがあります。

この変換は、3 つの端子を持つネットワークの等価性を確立するために使用されます。3 つの要素が共通のノードで終了し、いずれもソースでない場合、インピーダンスを変換することでノードが削除されます。等価性のためには、端子のペア間のインピーダンスは両方のネットワークで同じである必要があります。ここで示す式は、複素インピーダンスと実インピーダンスの両方に有効です。複素インピーダンスは、抵抗を通常の方法で正の実数として表し、リアクタンスを正と負の虚数値として表す、オームで測定される量です。

一般的な考え方は、Y回路の終端ノードのインピーダンスを、Δ回路の隣接ノードまでのインピーダンスで計算することです。 ${\displaystyle R_{\text{Y}}}$${\displaystyle R'}$${\displaystyle R''}$

${\displaystyle R_{\text{Y}}={\frac {R'R''}{\sum R_{\Delta }}}}$

ここでΔ回路のすべてのインピーダンスは、次の式で表される。 ${\displaystyle R_{\Delta }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}&={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\\[3pt]R_{2}&={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{c}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\\[3pt]R_{3}&={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\end{aligned}}}$

一般的な考え方は、 Δ回路の インピーダンスを次のように計算することです。${\displaystyle R_{\Delta }}$

${\displaystyle R_{\Delta }={\frac {R_{P}}{R_{\text{opposite}}}}}$

ここで、はY回路のすべてのインピーダンスの積の合計であり、はY回路のノードのインピーダンスであり、そのノードは のエッジの反対側にあります。したがって、個々のエッジの式は次のようになります。 ${\displaystyle R_{P}=R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}$${\displaystyle R_{\text{opposite}}}$${\displaystyle R_{\Delta }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\text{a}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}}}=R_{2}+R_{3}+{\frac {R_{2}R_{3}}{R_{1}}}\\[3pt]R_{\text{b}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}}}=R_{1}+R_{3}+{\frac {R_{1}R_{3}}{R_{2}}}\\[3pt]R_{\text{c}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}}}=R_{1}+R_{2}+{\frac {R_{1}R_{2}}{R_{3}}}\end{aligned}}}$

または、抵抗の代わりにアドミッタンスを使用する場合:

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{\text{a}}&={\frac {Y_{3}Y_{2}}{\sum Y_{\text{Y}}}}\\[3pt]Y_{\text{b}}&={\frac {Y_{3}Y_{1}}{\sum Y_{\text{Y}}}}\\[3pt]Y_{\text{c}}&={\frac {Y_{1}Y_{2}}{\sum Y_{\text{Y}}}}\end{aligned}}}$

アドミタンスを使用した Y から Δ への一般的な式は、抵抗を使用した Δ から Y への式と似ていることに注意してください。

変換の実現可能性は、電気回路の重ね合わせ定理の結果として示すことができます。より一般的なスターメッシュ変換の系として導出される証明ではなく、短い証明を次のように与えることができます。同等性は、 3 つのノード (および) に適用される任意の外部電圧 (および) に対して、対応する電流 (および) は Y 回路と Δ 回路の両方でまったく同じであり、その逆も同様であるというステートメントにあります。この証明では、ノードでの外部電流が与えられていることから始めます。重ね合わせ定理によると、電圧は、電流が印加された次の 3 つの問題のノードでの結果の電圧の重ね合わせを調べることで取得できます。 ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$${\displaystyle V_{3}}$${\displaystyle N_{1},N_{2}}$${\displaystyle N_{3}}$${\displaystyle I_{1},I_{2}}$${\displaystyle I_{3}}$

1. ${\displaystyle {\frac {1}{3}}\left(I_{1}-I_{2}\right),-{\frac {1}{3}}\left(I_{1}-I_{2}\right),0}$
2. ${\displaystyle 0,{\frac {1}{3}}\left(I_{2}-I_{3}\right),-{\frac {1}{3}}\left(I_{2}-I_{3}\right)}$そして
3. ${\displaystyle -{\frac {1}{3}}\left(I_{3}-I_{1}\right),0,{\frac {1}{3}}\left(I_{3}-I_{1}\right)}$

等価性は、キルヒホッフの回路法則を使用して簡単に示せます。各問題は、理想的な電流源が 1 つだけであるため、比較的単純です。各問題でノードでまったく同じ結果電圧を得るには、2 つの回路の等価抵抗が同じである必要があります。これは、直列回路と並列回路の基本規則を使用して簡単に見つけることができます。 ${\displaystyle I_{1}+I_{2}+I_{3}=0}$

${\displaystyle R_{3}+R_{1}={\frac {\left(R_{\text{c}}+R_{\text{a}}\right)R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}},\quad {\frac {R_{3}}{R_{1}}}={\frac {R_{\text{a}}}{R_{\text{c}}}}.}$

通常、3 つの変数 ( ) を他の 3 つの変数 ( ) で表現するには 6 つの方程式で十分ですが、ここではこれらの方程式が実際に上記の設計式につながることを示すのは簡単です。 ${\displaystyle R_{1},R_{2},R_{3}}$${\displaystyle R_{\text{a}},R_{\text{b}},R_{\text{c}}}$

実際、重ね合わせの定理は抵抗の値間の関係を確立し、一意性定理はそのような解の一意性を保証します。

2 つの端子間の抵抗ネットワークは、理論的には 1 つの等価抵抗に簡略化できます(より一般的には、インピーダンスについても同様です)。直列変換と並列変換は、これを行うための基本的なツールですが、ここに示すブリッジのような複雑なネットワークでは十分ではありません。

Y-Δ 変換を使用すると、一度に 1 つのノードを削除し、図に示すようにさらに簡略化できるネットワークを作成できます。

ノードを追加する逆変換 Δ-Y は、さらなる簡素化への道を開くのに便利な場合がよくあります。

平面グラフで表されるすべての2端子ネットワークは、直列、並列、Y-Δ、およびΔ-Y変換のシーケンスによって、単一の等価抵抗に縮小できます。^{[3]ただし、}トーラスの 周りに巻かれた正方格子や、ピーターセン族のいずれかのメンバーなど、これらの変換を使用して簡略化できない非平面ネットワークがあります。

グラフ理論において、Y-Δ 変換とは、グラフのYサブグラフを同等の Δ サブグラフに置き換えることを意味します。変換では、グラフの辺の数は保持されますが、頂点の数やサイクルの数は保持されません。2 つのグラフは、いずれかの方向への一連の Y-Δ 変換によって一方から他方を取得できる場合、Y-Δ 同等であると言われます。たとえば、ピーターセン族はY-Δ同値クラスです。

Δ から Y に関連付けるには、対応する 2 つのノード間のインピーダンスを比較します。どちらの構成でも、インピーダンスは、ノードの 1 つが回路から切断されているものとして決定されます。 ${\displaystyle \left\{R_{\text{a}},R_{\text{b}},R_{\text{c}}\right\}}$${\displaystyle \left\{R_{1},R_{2},R_{3}\right\}}$

N ₃が切断された状態でのN ₁とN ₂間のインピーダンスは Δ です。

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\Delta }\left(N_{1},N_{2}\right)&=R_{\text{c}}\parallel (R_{\text{a}}+R_{\text{b}})\\[3pt]&={\frac {1}{{\frac {1}{R_{\text{c}}}}+{\frac {1}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}}}}}\\[3pt]&={\frac {R_{\text{c}}\left(R_{\text{a}}+R_{\text{b}}\right)}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\end{aligned}}}$

簡略化するために、を の合計とします。 ${\displaystyle R_{\text{T}}}$${\displaystyle \left\{R_{\text{a}},R_{\text{b}},R_{\text{c}}\right\}}$

${\displaystyle R_{\text{T}}=R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}$

したがって、

${\displaystyle R_{\Delta }\left(N_{1},N_{2}\right)={\frac {R_{\text{c}}(R_{\text{a}}+R_{\text{b}})}{R_{\text{T}}}}}$

_{Y の N 1}と N ₂間の対応するインピーダンスは単純です。

${\displaystyle R_{\text{Y}}\left(N_{1},N_{2}\right)=R_{1}+R_{2}}$

したがって:

${\displaystyle R_{1}+R_{2}={\frac {R_{\text{c}}(R_{\text{a}}+R_{\text{b}})}{R_{\text{T}}}}}$   （１）

繰り返し: ${\displaystyle R(N_{2},N_{3})}$

${\displaystyle R_{2}+R_{3}={\frac {R_{\text{a}}(R_{\text{b}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}}}}$   （２）

そして： ${\displaystyle R\left(N_{1},N_{3}\right)}$

${\displaystyle R_{1}+R_{3}={\frac {R_{\text{b}}\left(R_{\text{a}}+R_{\text{c}}\right)}{R_{\text{T}}}}.}$   （３）

ここから、 の値は線形結合 (加算および/または減算) によって決定できます。 ${\displaystyle \left\{R_{1},R_{2},R_{3}\right\}}$

例えば、（１）と（３）を足し、（２）を引くと、

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}+R_{2}+R_{1}+R_{3}-R_{2}-R_{3}&={\frac {R_{\text{c}}(R_{\text{a}}+R_{\text{b}})}{R_{\text{T}}}}+{\frac {R_{\text{b}}(R_{\text{a}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}}}-{\frac {R_{\text{a}}(R_{\text{b}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}}}\\[3pt]{}\Rightarrow 2R_{1}&={\frac {2R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}\\[3pt]{}\Rightarrow R_{1}&={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}.\end{aligned}}}$

完全を期すために：

${\displaystyle R_{1}={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}}$ （4）

${\displaystyle R_{2}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}}$ （５）

${\displaystyle R_{3}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}}{R_{\text{T}}}}}$ （6）

させて

${\displaystyle R_{\text{T}}=R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}$。

ΔからYへの方程式は次のように書ける。

${\displaystyle R_{1}={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}}$   （１）

${\displaystyle R_{2}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}}$   （２）

${\displaystyle R_{3}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}}{R_{\text{T}}}}.}$   （３）

方程式のペアを掛け合わせると、

${\displaystyle R_{1}R_{2}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}^{2}}{R_{\text{T}}^{2}}}}$   （4）

${\displaystyle R_{1}R_{3}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}^{2}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}^{2}}}}$   （５）

${\displaystyle R_{2}R_{3}={\frac {R_{\text{a}}^{2}R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}^{2}}}}$   （6）

これらの式の合計は

${\displaystyle R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}^{2}+R_{\text{a}}R_{\text{b}}^{2}R_{\text{c}}+R_{\text{a}}^{2}R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}^{2}}}}$   （７）

右側から因数分解し、分子に残して、分母で消去します。 ${\displaystyle R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}}$${\displaystyle R_{\text{T}}}$${\displaystyle R_{\text{T}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}&={}{\frac {\left(R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}\right)\left(R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}\right)}{R_{\text{T}}^{2}}}\\&={}{\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}\end{aligned}}}$ （８）

(8)と{(1)、(2)、(3)}の類似性に注目してください。

(8)を(1)で割る

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}}&={}{\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}{\frac {R_{\text{T}}}{R_{\text{b}}R_{\text{c}}}}\\&={}R_{\text{a}},\end{aligned}}}$

これは の方程式です。(8) を (2) または (3) (またはの式) で割ると、残りの方程式が得られます。 ${\displaystyle R_{\text{a}}}$${\displaystyle R_{2}}$${\displaystyle R_{3}}$

平衡型三相 電力システムの解析では、通常、その単純さから、相ごとの（または単相の）等価回路が解析されます。そのために、発電機、変圧器、負荷、およびモーターには等価Y接続が使用されます。次の図に示す実際のデルタ接続三相発電機の固定子巻線は、次の6つの式を使用して等価Y接続発電機に変換できます^[a]。

${\displaystyle {\begin{aligned}&Z_{\text{s1Y}}={\dfrac {Z_{\text{s1}}\,Z_{\text{s3}}}{Z_{\text{s1}}+Z_{\text{s2}}+Z_{\text{s3}}}}\\[2ex]&Z_{\text{s2Y}}={\dfrac {Z_{\text{s1}}\,Z_{\text{s2}}}{Z_{\text{s1}}+Z_{\text{s2}}+Z_{\text{s3}}}}\\[2ex]&Z_{\text{s3Y}}={\dfrac {Z_{\text{s2}}\,Z_{\text{s3}}}{Z_{\text{s1}}+Z_{\text{s2}}+Z_{\text{s3}}}}\\[2ex]&V_{\text{s1Y}}=\left({\dfrac {V_{\text{s1}}}{Z_{\text{s1}}}}-{\dfrac {V_{\text{s3}}}{Z_{\text{s3}}}}\right)Z_{\text{s1Y}}\\[2ex]&V_{\text{s2Y}}=\left({\dfrac {V_{\text{s2}}}{Z_{\text{s2}}}}-{\dfrac {V_{\text{s1}}}{Z_{\text{s1}}}}\right)Z_{\text{s2Y}}\\[2ex]&V_{\text{s3Y}}=\left({\dfrac {V_{\text{s3}}}{Z_{\text{s3}}}}-{\dfrac {V_{\text{s2}}}{Z_{\text{s2}}}}\right)Z_{\text{s3Y}}\end{aligned}}}$

結果として得られるネットワークは次のようになります。等価ネットワークの中性ノードは架空のものであり、線間中性点間の位相電圧も架空のものです。変換中、線間位相電流と線間 (または線間または相間) 位相電圧は変更されません。

実際のデルタ ジェネレータがバランスが取れている場合、つまり内部位相器電圧が同じ大きさで、互いに 120° 位相シフトしており、3 つの複素インピーダンスが同じである場合、前の式は次の 4 つに簡略化されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&Z_{\text{sY}}={\dfrac {Z_{\text{s}}}{3}}\\&V_{\text{s1Y}}={\dfrac {V_{\text{s1}}}{{\sqrt {3}}\,\angle \pm 30^{\circ }}}\\[2ex]&V_{\text{s2Y}}={\dfrac {V_{\text{s2}}}{{\sqrt {3}}\,\angle \pm 30^{\circ }}}\\[2ex]&V_{\text{s3Y}}={\dfrac {V_{\text{s3}}}{{\sqrt {3}}\,\angle \pm 30^{\circ }}}\end{aligned}}}$

最後の 3 つの式では、位相シーケンスが正 ( abc)の場合は最初の符号 (+) が使用され、位相シーケンスが負 ( acb)の場合は 2 番目の符号 (-) が使用されます。

• スターメッシュ変換
• ネットワーク解析（電気回路）
• 電気ネットワーク、三相電力、多相システム（ Y接続とΔ接続の例）
• Y-Δ始動技術の説明のためのACモーター

• ウィリアム・スティーブンソン『電力システム分析の要素』第3版、マグロウヒル、ニューヨーク、1975年、ISBN 0-07-061285-4 

• 星型-三角形型変換: 抵抗ネットワークと抵抗器に関する知識
• 星-三角形変換の計算機