ケプラー予想

ケプラー予想は、17 世紀の数学者で天文学者のヨハネス ケプラーにちなんで名付けられた、3 次元ユークリッド空間における球の充填に関する数学的な 定理です。これは、空間を埋める同じ大きさの球の配置の平均密度は、立方最密充填 (面心立方) 配置と六方最密充填配置の平均密度よりも高くならないというものです。これらの配置の密度は約 74.05% です。

1998年、トーマス・ヘイルズは、フェイェシュ・トート（1953）が提案した手法に従い、ケプラー予想の証明を行ったと発表した。ヘイルズの証明は、複雑なコンピュータ計算を使用して多くの個別のケースを確認する、網羅的証明である。審査員はヘイルズの証明の正確さを「99%確信している」と述べ、ケプラー予想は定理として受け入れられた。 2014年、ヘイルズが率いるフライスペックプロジェクトチームは、IsabelleとHOL Lightの証明アシスタントを組み合わせて、ケプラー予想の正式な証明を完了したことを発表した。2017年、正式な証明はフォーラム・オブ・マスマティクス誌、Piに受理された。^[1]

同じ大きさの小さな球を大きな容器に詰めるところを想像してください。磁器の 1 ガロン瓶に同じ大きさのビー玉を入れたとします。配置の「密度」は、すべてのビー玉の合計体積を瓶の体積で割った値に等しくなります。瓶の中のビー玉の数を最大化するということは、瓶の側面と底の間にビー玉を積み重ねる配置を可能な限り高密度にし、ビー玉が可能な限り密集するようにすることを意味します。

実験によれば、ビー玉をしっかりと並べずにランダムに落とすと、密度は約65%になります。^[2]しかし、次のようにビー玉を注意深く並べると、より高い密度を実現できます。

1. 最初の層のビー玉は六角形の格子（ハニカムパターン）に配置します
2. パターンに関係なく、最初の層のビー玉の上と間の最も低い隙間に次の層のビー玉を置きます。
3. 3 層目以降の残りの層についても、ビー玉が水差しの上端に達するまで、前の層の最も低い隙間を埋める同じ手順を続けます。

各ステップで、次の層をどのように配置するかについて少なくとも2つの選択肢があるため、球を積み重ねるこの計画外の方法により、無数の等密度の充填が作られます。これらのうち最もよく知られているのは、立方最密充填と六方最密充填と呼ばれるものです。これらの配置の平均密度はそれぞれ

${\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}=0.740480489\ldots }$

ケプラーの予想によれば、これが最善の方法であり、これより高い平均密度を持つビー玉の配置は他にはないということです。手順 1 ～ 3 と同じ手順に従う驚くほど多くの異なる配置が考えられますが、手順に従った詰め方でもそうでなくても、同じ水差しにこれ以上のビー玉を詰めることはできません。

この予想は、ヨハネス・ケプラー （1611年）が論文「六角形の雪片について」で初めて提唱した。ケプラーは1606年にイギリスの数学者で天文学者のトーマス・ハリオットと文通したのをきっかけに、球の配置を研究し始めた。ハリオットはウォルター・ローリー卿の友人で助手で、ローリー卿はハリオットに、積み重ねた砲弾を数える公式を見つけるよう依頼した。この依頼により、ローリーの知り合いの数学者は、砲弾を積み重ねる最良の方法は何かと考えるようになった。^{[3]ハリオットは1591年にさまざまな積み重ねパターンに関する研究を発表し、その後、}原子論の初期のバージョンを開発していった。

ケプラーはこの予想を証明できなかったため、次のステップはカール・フリードリヒ・ガウス(1831) によって踏み出され、ガウスは球が規則的な格子 状に配置される場合にケプラーの予想が正しいことを証明しました。

これは、ケプラー予想を反証するパッキング配置は不規則なものでなければならないことを意味しました。しかし、すべての可能性のある不規則な配置を排除することは非常に困難であり、これがケプラー予想を証明するのが非常に難しい理由です。実際、十分に小さな体積では立方最密充填配置よりも密度の高い不規則な配置がありますが、これらの配置を拡張してより大きな体積を埋めようとすると、常に密度が低下することが現在ではわかっています。

ガウスの後、19 世紀にはケプラー予想の証明に向けてさらなる進歩は見られませんでした。1900 年にデイヴィッド ヒルベルトはこれを数学の未解決問題 23 個のリストに含めました。これはヒルベルトの第 18 の問題の一部です。

解決に向けた次のステップは、ラースロー・フェイェシュ・トートによって踏み出されました。フェイェシュ・トート (1953) は、すべての配列 (規則的および不規則的) の最大密度を決定する問題は、有限(ただし非常に多い) の計算回数にまで削減できることを示しました。これは、原理的には、網羅的証明が可能であることを意味しました。フェイェシュ・トートが認識したように、十分に高速なコンピュータがあれば、この理論的結果を問題に対する実際的なアプローチに変えることができます。

一方、球のあらゆる配置の最大密度の上限値を見つける試みがなされました。イギリスの数学者クロード・アンブローズ・ロジャース(Rogers (1958) を参照) は約 78% という上限値を確立し、その後他の数学者による努力でこの値はわずかに減少しましたが、それでも立方最密充填密度の約 74% よりはるかに大きかったです。

1990年、ウー・イー・シアンはケプラー予想を証明したと主張した。その証明はブリタニカ百科事典とサイエンス誌で賞賛され、シアンはAMS-MAA合同会議でも表彰された。^[4]ウー・イー・シアン（1993、2001）は幾何学的手法を用いてケプラー予想を証明したと主張した。しかし、ガボール・フェイェシュ・トート（ラースロー・フェイェシュ・トートの息子）は論文のレビューで「詳細に関する限り、私の意見では、重要な主張の多くには受け入れられる証明がない」と述べた。ヘイルズ（1994）はシアンの研究を詳細に批判し、シアン（1995）はそれに対して反論した。現在のコンセンサスはシアンの証明が不完全であるということである。^[5]

ミシガン大学にいたトーマス・ヘイルズは、ラースロー・フェイェシュ・トートが提案した方法^[6]に従って、150 個の変数を持つ関数を最小化することですべての配置の最大密度が見つかることを突き止めました。1992 年、大学院生のサミュエル・ファーガソンの助けを借りて、ヘイルズは線形計画法を体系的に適用して、5,000 種類を超える球の配置ごとにこの関数の値の下限を見つける研究プログラムに着手しました。これらの配置のすべてについて、立方最密配置の関数の値よりも大きい下限 (関数値) を見つけることができれば、ケプラー予想が証明されます。すべてのケースの下限を見つけるには、約 10 万個の線形計画問題を解く必要がありました。

1996 年にプロジェクトの進捗状況を発表した際、ヘイルズ氏は、終わりが見えてきたが、完了するまでに「1 年か 2 年」かかるかもしれないと述べた。1998 年 8 月、ヘイルズ氏は証明が完了したと発表した。その段階では、証明は 250 ページのメモと 3ギガバイトのコンピュータ プログラム、データ、結果で構成されていた。

この証明は異例な性質であったが、Annals of Mathematicsの編集者は、12 人の審査員団に受け入れられることを条件に、証明の出版に同意した。2003 年、4 年間の作業を経て、審査員団長のガボール・フェイェシュ・トートは、審査員団は証明の正確さに「99% 確信」しているが、すべてのコンピューター計算の正確さを保証できないと報告した。

Hales (2005) は、証明の非コンピュータ部分を詳細に説明した 100 ページの論文を発表しました。Hales & Ferguson (2006) とその後のいくつかの論文では、計算部分について説明しました。Hales と Ferguson は、2009 年に 離散数学の分野で優れた論文を出した人物に対して Fulkerson 賞を受賞しました。

2003年1月、ヘイルズはケプラー予想の完全な形式的証明を作成するための共同プロジェクトの開始を発表しました。その目的は、HOL LightやIsabelleなどの自動証明チェックソフトウェアで検証できる形式的証明を作成することで、証明の妥当性について残っている不確実性をすべて取り除くことでした。このプロジェクトはFlyspeckと呼ばれていました。これは、ケプラーの形式的証明の頭字語であるFPKの拡張です。2007年のこのプロジェクトの開始時に、ヘイルズは完全な形式的証明を作成するには約20年の作業が必要になると見積もっていました。^[7]ヘイルズは2012年に形式的証明の「青写真」を発表しました。^[8]プロジェクトの完了は2014年8月10日に発表されました。^[9] 2015年1月、ヘイルズと21人の共同研究者は「ケプラー予想の形式的証明」と題した論文をarXivに投稿し、予想を証明したと主張しました。^{[10] 2017年に正式な証明が}Forum of Mathematics 誌に受理された。^[1]

トゥエの定理

正六角形充填は平面上で最も密な円充填である(1890)。密度はπ ⁄ √ 12である。

ケプラー予想の 2 次元版。証明は初歩的。ヘンクとツィーグラーは、この結果を 1773 年のラグランジュの結果としている (参考文献の 770 ページを参照)。

2010年のChauとChungによる簡単な証明では、飽和円充填における円の中心となる点の集合に対してDelaunay三角形分割が使用されています。 ^[11]

六角形ハニカム予想

平面を均等な面積に分割する最も効率的な方法は、正六角形のタイル張りである。^[12]

Thue の定理に関連する。

十二面体予想

等しい球を詰めた球のボロノイ多面体の体積は、少なくとも内接半径1の正十二面体の体積と同じである。これはマクラフリンの証明であり^[13] 、彼は1999年のモルガン賞を受賞した。

関連する問題で、その証明にはヘイルズのケプラー予想の証明と同様の手法が使用される。1950 年代の L. フェイェシュ・トートによる予想。

ケルビン問題

3 次元で最も効率的な泡は何でしょうか? これはケルビン構造によって解決されると予想され、1993 年にウィア・フェラン構造の発見によって反証されるまで、100 年以上にわたって広く信じられていました。ウィア・フェラン構造の驚くべき発見とケルビン予想の反証は、ヘイルズによるケプラー予想の証明を受け入れる際に注意が必要な理由の 1 つです。

高次元における球面パッキング

2016年、マリーナ・ヴィアゾフスカは8次元での最適な球詰めの証明を発表し、それはすぐに24次元での解決につながりました。 ^[14]しかし、1、2、3、8、24以外の次元での最適な球詰めの問題はまだ未解決です。

ウラムのパッキング予想

最適充填密度が球よりも低い凸型立体が存在するかどうかは不明です。

• アステ、トマソ、ウィアー、デニス（2000）、完璧な梱包の追求、ブリストル：IOP Publishing Ltd.、doi：10.1887/0750306483、ISBN 978-0-7503-0648-5、MR  1786410
• ガウス、カール F. (1831)、「ルートヴィッヒ アウグスト ゼーバーの肯定的なテルナーレン クアドラティシェン フォーメンの計画」、Göttingische gelehrte Anzeigen (108): 1065–1077
• ヘイルズ、トーマス C. (2000)、「砲弾とハニカム」、アメリカ数学会誌、47 (4): 440– 449、ISSN  0002-9920、MR  1745624ケプラー予想の証明の初歩的な説明。
• ヘイルズ、トーマス C. (2005)、「ケプラー予想の証明」、数学年報、第 2 シリーズ、162 (3): 1065– 1185、arXiv : math/9811078、doi :10.4007/annals.2005.162.1065、ISSN  0003-486X、MR  2179728
• ヘイルズ、トーマス C. (2006)、「ケプラー予想の歴史的概要」、離散および計算幾何学、36 (1): 5– 20、doi : 10.1007/s00454-005-1210-2、ISSN  0179-5376、MR  2229657
• Hales, Thomas C.; Ferguson, Samuel P. (2006)、「ケプラー予想の定式化」(PDF)、離散および計算幾何学、36 (1): 21– 69、arXiv : math/9811078、doi :10.1007/s00454-005-1211-1、ISSN  0179-5376、MR  2229658、S2CID  6529590
• ヘイルズ、トーマス C.; ファーガソン、サミュエル P. (2011)、ケプラー予想: ヘイルズ-ファーガソンの証明、ニューヨーク: シュプリンガー、ISBN 978-1-4614-1128-4
• ヘイルズ、トーマス C. (2012)、「密球パッキング: 形式的証明の青写真」、ロンドン数学会講義ノートシリーズ、400、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-61770-3
• ヘンク、マーティン。 Ziegler、Guenther (2008)、La congettura di Keplero、La matematica。プロブレミ・エ・テオレミ vol. 2、トリノ: エイナウディ
• シアン・ウー・イー（1993）「球面パッキング問題とケプラー予想の証明について」、国際数学誌、4（5）：739-831、doi：10.1142/S0129167X93000364、ISSN  0129-167X、MR  1245351
• Hsiang, Wu-Yi (1995)、「TC Hales の記事に対する反論:ケプラー予想の現状」、The Mathematical Intelligencer、17 (1): 35– 42、doi :10.1007/BF03024716、ISSN  0343-6993、MR  1319992、S2CID  119641512
• Hsiang, Wu-Yi (2001)、「高密度充填型結晶形成の最小作用原理とケプラーの予想」、Nankai Tracts in Mathematics、vol. 3、River Edge、NJ：World Scientific Publishing Co. Inc.、doi：10.1142/9789812384911、ISBN 978-981-02-4670-9、MR  1962807
• ケプラー、ヨハネス（1611）、『六角形の雪片』（ラテン語）、ポール・ドライ・ブックス、ISBN 978-1-58988-053-5、MR  0927925
  • 「六角形の雪片について」。ケプラーの発見。2007 年 12 月 19 日にオリジナルからアーカイブ。
• ヘイルズ、トーマス C.; マクラフイン、ショーン (2010)、「十二面体予想」、アメリカ数学会誌、23 ( 2) : 299– 344 、arXiv : math.MG/9811079、Bibcode:2010JAMS...23..299H、doi:10.1090/S0894-0347-09-00647-X
• マルシャル、クリスチャン (2011)、「ケプラーの予想の研究:最密充填の問題」、Mathematische Zeitschrift、267 ( 3–4 ): 737– 765、doi :10.1007/s00209-009-0644-2、S2CID  122088451
• Rogers, CA (1958)、「等球のパッキング」、ロンドン数学会紀要、第 3 シリーズ、8 (4): 609– 620、doi :10.1112/plms/s3-8.4.609、ISSN  0024-6115、MR  0102052
• スピロ、ジョージ・G.（2003）、ケプラーの予想、ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 978-0-471-08601-7、MR  2133723
• Fejes Tóth、L. (1953)、Lagerungen in der Ebene、auf der Kugel und im Raum、Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete、Band LXV、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、doi :10.1007/978-3-642-65234-9、ISBN 978-3-642-65235-6、MR  0057566

• Weisstein, Eric W.「ケプラー予想」。MathWorld。
• 「六角形の雪片に」の表紙
• トーマス・ヘイルズのホームページ
• Flyspeck プロジェクトのホームページ
• ヘイルズの証明の概要 2011-09-27 にWayback Machineでアーカイブ
• ダナ・マッケンジーによるアメリカン・サイエンティストの記事
• フライスペック I: 飼いならされたグラフ、トーマス・C・ヘイルズがケプラー予想の証明で定義した飼いならされた平面グラフの検証された列挙