ケンドール順位相関係数

統計学において、ケンドールの順位相関係数（一般にケンドールのτ係数（ギリシャ文字τ、タウにちなんで）と呼ばれる）は、2つの測定量間の順序関係を測定するために使用される統計量です。τ検定は、τ係数に基づく統計的依存性のノンパラメトリック仮説検定です。これは順位相関の尺度であり、各量で順位付けしたときのデータの順序の類似性を示します。これは、1938年にこれを開発したモーリス・ケンドールにちなんで名付けられましたが^[¹^] 、グスタフ・フェヒナーは1897年に時系列の文脈で同様の尺度を提案していました^[²^{] 。}

直感的に言えば、2つの変数間のケンドールの相関係数は、観測値が2つの変数間で類似または同一の順位（つまり、変数内での観測値の相対的な位置ラベル：1位、2位、3位など）を持つ場合に高くなり、観測値が2つの変数間で類似または完全に逆転した順位を持つ場合に低くなります。

ケンダルの両方とも $\displaystyle \tau }$ そしてスピアマンの $\rho$ これは、より一般的な相関係数の特殊なケースとして定式化できる。その一致と不一致の概念は、クラスター分析におけるランド指数など、統計学の他の分野にも現れる。

意味

{\displaystyle (X_{1},Y_{1})} — 灰色の領域内のすべての点は一致しており、白い領域内のすべての点は点に関して不一致である。 $(X_{1},Y_{1})$ 。と $n=30$ ポイントは合計で ${\binom {30}{2}}=435$ 可能な点ペア。この例では、一致する点ペアが395組、一致しない点ペアが40組あり、ケンドールの順位相関係数は0.816となります。

させて $(x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})$ は、結合確率変数XとYの観測値の集合であり、すべての値 ( $x_{i}$ ）そして（ $\displaystyle y_i}}$ ）は一意です。（一意でない値の処理方法については、「同点の場合の処理」のセクションを参照してください。）任意の観測値のペア $(x_{i},y_{i})$ そして $(x_{j},y_{j})$ 、どこ $i<j$ の順序が一致している場合、は一致していると言われます。 $(x_{i},x_{j})$ そして $(y_{i},y_{j})$ 同意する:つまり、どちらか一方と両方が同意する場合 $x_{i}>x_{j}$ そして $y_{i}>y_{j}$ 保持または両方 $x_{i}<x_{j}$ そして $\displaystyle y_{i}<y_{j}}$ そうでなければ、それらは不調和であると言われる。

同順位がない場合、ケンドールのτ係数は次のように定義されます。

\displaystyle \tau ={\frac {({\text{一致するペアの数}})-({\text{一致しないペアの数}})}{({\text{ペアの数}})}}=1-{\frac {2({\text{一致しないペアの数}})}{n \choose 2}}.}

^{[ 3 ]}

のために $i<j<n$ どこ ${n \choose 2}={n(n-1) \over 2}$ は、n個の項目から2個の項目を選択する方法の数を表す二項係数です。

不一致ペアの数は、y系列をx系列と同じ順序に並べ替える反転数に等しい。

物件

分母はペアの組み合わせの総数なので、係数は −1 ≤ τ ≤ 1 の範囲内でなければなりません。

2つのランキングの一致が完全に成り立つ場合（つまり、2つのランキングが同じ場合）、係数の値は1になります。
2つのランキングの不一致が完全に一致する場合（つまり、一方のランキングが他方のランキングと逆の場合）、係数の値は-1になります。
XとYが独立な確率変数であり、かつ定数でない場合、係数の期待値はゼロとなる。
ケンドールの順位係数の明示的な式は次のとおりです。 $\tau ={\frac {2}{n(n-1)}}\sum _{i<j}\operatorname {sgn}(x_{i}-x_{j})\operatorname {sgn}(y_{i}-y_{j})$ 。

仮説検定

ケンドール順位係数は、2つの変数が統計的に依存しているかどうかを判断するための統計的仮説検定において、検定統計量としてよく使用されます。この検定は、 XまたはYの分布、あるいは( X , Y )の分布に関するいかなる仮定にも依存しないため、ノンパラメトリックです。

XとYが独立であるという帰無仮説の下では、τの標本分布の期待値はゼロになります。正確な分布は一般的な分布では特徴づけられませんが、小さな標本の場合は正確に計算できます。大きな標本の場合は、平均がゼロで分散がの正規分布の近似を使用するのが一般的です。 ${\textstyle 2(2n+5)/9n(n-1)}$ [ ⁴^]

定理。サンプルが独立である場合、分散は $\textstyle \tau _{A}}$ は ${\textstyle Var[\tau _{A}]=2(2n+5)/9n(n-1)}$ 。

証拠

証明Valz & McLeod (1990; ^{[ 5 ]} 1995 ^{[ 6 ]} )

一般性を失うことなく、データペアを並べ替えて、 ${\textstyle x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}}$ 独立性の仮定により、 ${\textstyle y_{1},...,y_{n}}$ は、から一様にランダムにサンプリングされた順列です。 ${\textstyle S_{n}}$ 上の置換群 ${\textstyle 1:n}$ 。

各順列について、その一意性 ${\textstyle l}$ 反転コードは ${\textstyle l_{0}l_{1}\cdots l_{n-1}}$ それぞれ ${\textstyle l_{i}}$ 範囲内 ${\textstyle 0:i}$ 順列を均一にサンプリングすることは、 ${\textstyle l}$ - 反転コードを均一にサンプリングする、これは各 ${\textstyle l_{i}}$ 一律かつ独立して。

次に ${\begin{aligned}E[\tau _{A}^{2}]&=E\left[\left(1-{\frac {4\sum _{i}l_{i}}{n(n-1)}}\right)^{2}\right]\\&=1-{\frac {8}{n(n-1)}}\sum _{i}E[l_{i}]+{\frac {16}{n^{2}(n-1)^{2}}}\sum _{ij}E[l_{i}l_{j}]\\&=1-{\frac {8}{n(n-1)}}\sum _{i}E[l_{i}]+{\frac {16}{n^{2}(n-1)^{2}}}\left(\sum _{ij}E[l_{i}]E[l_{j}]+\sum _{i}V[l_{i}]\right)\\&=1-{\frac {8}{n(n-1)}}\sum _{i}E[l_{i}]+{\frac {16}{n^{2}(n-1)^{2}}}\sum _{ij}E[l_{i}]E[l_{j}]+{\frac {16}{n^{2}(n-1)^{2}}}\left(\sum _{i}V[l_{i}]\right)\\&=\left(1-{\frac {4\sum _{i}E[l_{i}]}{n(n-1)}}\right)^{2}+{\frac {16}{n^{2}(n-1)^{2}}}\left(\sum _{i}V[l_{i}]\right)\end{aligned}}$

最初の項は ${\textstyle E[\tau _{A}]^{2}=0}$ 2番目の項は、次の点に注目して計算できます。 ${\textstyle l_{i}}$ は一様乱数である ${\textstyle 0:i}$ 、それで ${\textstyle E[l_{i}]={\frac {i}{2}}}$ そして ${\textstyle E[l_{i}^{2}]={\frac {0^{2}+\cdots +i^{2}}{i+1}}={\frac {i(2i+1)}{6}}}$ そして、再び二乗和の公式を使用します。

漸近正規性— ${\textstyle n\to \infty }$ 制限、 ${\textstyle z_{A}={\frac {\tau _{A}}{\sqrt {Var[\tau _{A}]}}}={n_{C}-n_{D} \over {\sqrt {n(n-1)(2n+5)/18}}}}$ 分布は標準正規分布に収束する。

証拠

漸近的に正規分布を持つ統計量のクラスに関する Hoeffding (1948) の結果を使用する。^{[ 7 ]}

標準正規分布の場合

もし ${\textstyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),...,(x_{n},y_{n})}$ これらは、既知のピアソン相関係数を持つ同一の同時正規分布からの独立かつ同一の分布のサンプルである。 ${\textstyle r}$ すると、ケンドール順位相関の期待値は閉形式の公式を持つ。^{[ 8 ]}

グライナーの平等—もし ${\textstyle X,Y}$ 相関は共同で正規分布し、 ${\textstyle r}$ 、それから $r=\sin {\left({\frac {\pi }{2}}E[\tau _{A}]\right)}$

この名前は、 PAP Moran ^[¹⁰^]によると、Richard Greiner (1909) ^{[ 9 ]}に由来するとされている。

証拠

証明^{[ 11 ]}

以下の量を定義する。

${\textstyle A^{+}:=\{(\Delta x,\Delta y):\Delta x\Delta y>0\}}$
${\textstyle \Delta _{i,j}:=(x_{i}-x_{j},y_{i}-y_{j})}$ はポイントです ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ 。

表記では、一致するペアの数、 ${\textstyle n_{C}}$ 、は、 ${\textstyle \Delta _{i,j}}$ サブセットに含まれるもの ${\textstyle A^{+}}$ つまり、 ${\textstyle n_{C}=\sum _{1\leq i<j\leq n}1_{\Delta _{i,j}\in A^{+}}}$ 。

したがって、 $E[\tau _{A}]={\frac {4}{n(n-1)}}E[n_{C}]-1={\frac {4}{n(n-1)}}\sum _{1\leq i<j\leq n}Pr(\Delta _{i,j}\in A^{+})-1$

それぞれが ${\textstyle (x_{i},y_{i})}$ は独立同分布の同時正規分布のサンプルであり、ペアリングは関係ないので、総和の各項は完全に同じなので、 $E[\tau _{A}]=2Pr(\Delta _{1,2}\in A^{+})-1$ あとは確率を計算するだけです。これはアフィン変換を繰り返し行うことで行います。

まず正規化する ${\textstyle X,Y}$ 平均値を引いて標準偏差で割ることによって、 ${\textstyle \tau _{A}}$ これにより、 ${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&r\\r&1\end{bmatrix}}^{1/2}{\begin{bmatrix}z\\w\end{bmatrix}}$ どこ ${\textstyle (Z,W)}$ は標準正規分布からサンプリングされる。 ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ 。

したがって、 $\Delta _{1,2}={\sqrt {2}}{\begin{bmatrix}1&r\\r&1\end{bmatrix}}^{1/2}{\begin{bmatrix}(z_{1}-z_{2})/{\sqrt {2}}\\(w_{1}-w_{2})/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}$ ベクトル ${\textstyle {\begin{bmatrix}(z_{1}-z_{2})/{\sqrt {2}}\\(w_{1}-w_{2})/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$ は依然として標準正規分布に従って分布している。 ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ 残りは、退屈で面白みのない行列のべき乗計算と三角関数計算ですが、これらは省略できます。

したがって、 ${\textstyle \Delta _{1,2}\in A^{+}}$ もし ${\begin{bmatrix}(z_{1}-z_{2})/{\sqrt {2}}\\(w_{1}-w_{2})/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}\in {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&r\\r&1\end{bmatrix}}^{-1/2}A^{+}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {1+r}}}+{\frac {1}{\sqrt {1-r}}}&{\frac {1}{\sqrt {1+r}}}-{\frac {1}{\sqrt {1-r}}}\\{\frac {1}{\sqrt {1+r}}}-{\frac {1}{\sqrt {1-r}}}&{\frac {1}{\sqrt {1+r}}}+{\frac {1}{\sqrt {1-r}}}\end{bmatrix}}A^{+}$ 右側の部分集合は、2つの象限を「圧縮」したものです。標準正規分布は回転対称であるため、圧縮された各象限がなす角度を計算するだけで済みます。

第1象限は、2つの光線によって囲まれた扇形である。 ${\textstyle (1,0),(0,1)}$ 2本の光線で囲まれた扇形に変換される。 ${\textstyle ({\frac {1}{\sqrt {1+r}}}+{\frac {1}{\sqrt {1-r}}},{\frac {1}{\sqrt {1+r}}}-{\frac {1}{\sqrt {1-r}}})}$ そして ${\textstyle ({\frac {1}{\sqrt {1+r}}}-{\frac {1}{\sqrt {1-r}}},{\frac {1}{\sqrt {1+r}}}+{\frac {1}{\sqrt {1-r}}})}$ それぞれが角度をなす ${\textstyle \theta }$ 水平軸と垂直軸で、 $\theta =\arctan {\frac {{\frac {1}{\sqrt {1+r}}}-{\frac {1}{\sqrt {1-r}}}}{{\frac {1}{\sqrt {1+r}}}+{\frac {1}{\sqrt {1-r}}}}}$

変換された 2 つの象限を合わせると、 ${\textstyle \pi +4\theta }$ 、それで $Pr(\Delta _{1,2}\in A^{+})={\frac {\pi +4\theta }{2\pi }}$ そのため $\sin {\left({\frac {\pi }{2}}E[\tau _{A}]\right)}=\sin(2\theta )=r$

同点の場合の会計処理

ペア $\{(x_{i},y_{i}),(x_{j},y_{j})\}$ は、以下の場合に限り同点であると言われます。 $x_{i}=x_{j}$ または $y_{i}=y_{j}$ ; 同点ペアは一致も不一致もしません。データに同点ペアが発生した場合、係数を[−1, 1]の範囲内に収めるために、いくつかの方法で係数を修正することができます。

タウア

1938年にケンドールによって定義されたタウ統計量^{[ 1 ]}は、後にタウαと改名されました。これは、同順位を考慮しない2つの量的変数または順序変数の正または負の相関の強さを表します。定義は次のとおりです。

\tau _{A}={\frac {n_{c}-n_{d}}{n_{0}}}

ここで、n _c、n _d、n ₀は次のセクションで定義される。

同点の場合、 $n_{c}+n_{d}<n_{0}$ また、係数は+1または-1になることは決してありません。2つの変数が完全に等しい場合（X=Y）でも、Tau-aは1未満になります。

タウb

Tau-b統計量は、Tau-aとは異なり、同順位を考慮した調整を行います。このTau-bは、1945年にKendallによってTau-w ^{[ 12 ]}という名前で初めて記述され、同順位を支持する元のTau統計量の拡張として用いられました。Tau-bの値は、-1（100%の負の相関、つまり完全な不一致）から+1（100%の正の相関、つまり完全な一致）までです。相関がない場合、Tau-bはゼロになります。

ケンドールのタウb係数は次のように定義されます。

\tau _{B}={\frac {n_{c}-n_{d}}{\sqrt {(n_{0}-n_{1})(n_{0}-n_{2})}}}

どこ

{\begin{aligned}n_{0}&=n(n-1)/2\\n_{1}&=\sum _{i}t_{i}(t_{i}-1)/2\\n_{2}&=\sum _{j}u_{j}(u_{j}-1)/2\\n_{c}&={\text{Number of concordant pairs, i.e. pairs with }}0<i<j<n{\text{ where }}x_{i}<x_{j}{\text{ and }}y_{i}<y_{j}{\text{ or }}x_{i}>x_{j}{\text{ and }}y_{i}>y_{j}\\n_{d}&={\text{Number of discordant pairs, i.e. pairs where }}0<i<j<n{\text{ where }}x_{i}<x_{j}{\text{ and }}y_{i}>y_{j}{\text{ or }}x_{i}>x_{j}{\text{ and }}y_{i}<y_{j}\\t_{i}&={\text{Number of tied values in the }}i^{\text{th}}{\text{ group of ties for the empirical distribution of X}}\\u_{j}&={\text{Number of tied values in the }}j^{\text{th}}{\text{ group of ties for the empirical distribution of Y}}\end{aligned}}

BASICで開発された単純なアルゴリズムは、別の式を使用してタウb係数を計算します。^{[ 13 ]}

SPSSなどの一部の統計パッケージでは、計算効率のために、通常の2倍の数の一致ペアと不一致ペアを使用する代替式が使用されていることに注意してください。^{[ 14 ]}

タウC

Tau-c（Stuart-Kendall Tau-cとも呼ばれる）^{[ 15 ]}は、1953年にStuartによって初めて定義されました。^{[ 16 ]} Tau-bとは異なり、Tau-cは非正方形（つまり長方形）分割表の場合、 +1または-1に等しくなります。^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}つまり、両方の変数の基礎となる尺度が異なる数の可能な値を持つ場合です。たとえば、変数Xが0から100の間で連続一様分布を持ち、YがX ≥ 50の場合は1、X < 50の場合は0となる二値変数である場合、XとYのTau-c統計量は1に等しく、Tau-bは0.707に等しくなります。 Tau-c が 1 に等しい場合、周辺分布を条件とした最良の正の相関として解釈できます。一方、Tau-b が 1 に等しい場合、Y を条件とした X の分布の分散がゼロであり、X を条件とした Y の分布の分散もゼロであるため、f(X)=Y となる全単射関数 f が存在する、完全な正の単調相関として解釈できます。

スチュアート・ケンドールのタウc係数は次のように定義されます。^{[ 16 ]}

\tau _{C}={\frac {2(n_{c}-n_{d})}{n^{2}{\frac {(m-1)}{m}}}}=\tau _{A}{\frac {n-1}{n}}{\frac {m}{m-1}}

どこ

{\begin{aligned}n_{c}&={\text{Number of concordant pairs}}\\n_{d}&={\text{Number of discordant pairs}}\\r&={\text{Number of rows of the contingency table (i.e. number of distinct }}x_{i}{\text{)}}\\c&={\text{Number of columns of the contingency table (i.e. number of distinct }}y_{i}{\text{)}}\\m&=\min(r,c)\end{aligned}}

有意性検定

2 つの量が統計的に依存している場合、 $\tau$ 既知の分布では容易に特徴づけることはできない。しかし、 $\tau _{A}$ 以下の統計、 $z_{A}$ 変数が統計的に独立している場合、は標準正規分布に近似的に従います。

z_{A}={n_{c}-n_{d} \over {\sqrt {{\frac {1}{18}}v_{0}}}}

どこ $v_{0}=n(n-1)(2n+5)$ 。

したがって、2つの変数が統計的に依存しているかどうかをテストするには、以下を計算します。 $z_{A}$ 、標準正規分布の累積確率は $-|z_{A}|$ 両側検定の場合、その数値を2倍してp値を求めます。p値が所定の有意水準を下回る場合、その有意水準において、これらの量が統計的に独立であるという帰無仮説を棄却します。

数多くの調整を加える必要がある $z_{A}$ 同点の場合を考慮すると、次の統計は、 $z_{B}$ は、と同じ分布を持つ。 $\tau _{B}$ 分布は、数量が統計的に独立している場合、再び標準正規分布とほぼ等しくなります。

z_{B}={n_{c}-n_{d} \over {\sqrt {v}}}

どこ

{\begin{array}{ccl}v&=&{\frac {1}{18}}v_{0}-(v_{t}+v_{u})/18+(v_{1}+v_{2})\\v_{0}&=&n(n-1)(2n+5)\\v_{t}&=&\sum _{i}t_{i}(t_{i}-1)(2t_{i}+5)\\v_{u}&=&\sum _{j}u_{j}(u_{j}-1)(2u_{j}+5)\\v_{1}&=&\sum _{i}t_{i}(t_{i}-1)\sum _{j}u_{j}(u_{j}-1)/(2n(n-1))\\v_{2}&=&\sum _{i}t_{i}(t_{i}-1)(t_{i}-2)\sum _{j}u_{j}(u_{j}-1)(u_{j}-2)/(9n(n-1)(n-2))\end{array}}

これはマン・ケンドール検定と呼ばれることもある。^{[ 17 ]}

アルゴリズム

分子の直接計算 $n_{c}-n_{d}$ これは、次の擬似コードで示されるように、2つのネストされた反復処理を含みます。

numer := 0 for i := 2..N do for j := 1..(i − 1) do numer := numer + sign(x[i] − x[j]) × sign(y[i] − y[j]) 数値を返す

このアルゴリズムは実装が迅速ですが、 $O(n^{2})$ 複雑度が高く、サンプルサイズが大きいと非常に遅くなります。マージソートアルゴリズムに基づいたより洗練されたアルゴリズム^{[ 18 ]}を使用して、分子を計算できます。 $O(n\cdot \log {n})$ 時間。

まず、最初の数量でデータポイントを並べ替えます。 $x$ 二次的には（同点の場合） $x$ ）2番目の量によって、 $y$ この最初の順序付けにより、 $y$ はソートされておらず、アルゴリズムの中核は、この初期データをソートするためにバブルソートが何ステップかかるかを計算することです。 $y$ 拡張マージソートアルゴリズム、 $O(n\log n)$ 複雑さは、スワップの数を計算するために適用できます。 $S(y)$ バブルソートでソートするために必要なもの $y_{i}$ 。次に、分子は $\tau$ 計算方法は以下のとおりです。

n_{c}-n_{d}=n_{0}-n_{1}-n_{2}+n_{3}-2S(y),

どこ $n_{3}$ 次のように計算されます $n_{1}$ そして $n_{2}$ しかし、共同関係に関しては $x$ そして $y$ 。

マージソートは、ソートするデータを分割し、 $y$ ほぼ等しい2つの半分に分け、 $y_{\mathrm {left} }$ そして $y_{\mathrm {right} }$ 次に、各半分を再帰的にソートし、ソートされた2つの半分をマージして完全にソートされたベクトルを作成します。バブルソートのスワップ回数は次のようになります。

S(y)=S(y_{\mathrm {left} })+S(y_{\mathrm {right} })+M(Y_{\mathrm {left} },Y_{\mathrm {right} })

どこ $Y_{\mathrm {left} }$ そして $Y_{\mathrm {right} }$ は、 $y_{\mathrm {left} }$ そして $y_{\mathrm {right} }$ 、そして $M(\cdot ,\cdot )$ これは、マージ操作におけるバブルソートのスワップ相当部分を特徴づけるものです。 $M(\cdot ,\cdot )$ は、以下の擬似コードに示すように計算されます。

関数M(L[1..n], R[1..m])は i := 1 j := 1 nSwaps := 0 i ≤ nかつj ≤ mの間、 R[j] < L[i]ならば nSwaps := nSwaps + n − i + 1 j := j + 1 それ以外 i := i + 1 nSwapsを返す

上記の手順の副作用として、ソートされたバージョンが $x$ そしてソートされたバージョン $y$ これらの要因により、 $t_{i}$ そして $u_{j}$ 計算に使用される $\tau _{B}$ これらは、ソートされた配列を線形時間で一度走査するだけで容易に取得できます。

ストリームからケンドールの順位相関係数を近似する

標準推定量に従ってケンドール順位相関係数を計算するための効率的なアルゴリズムは、 $O(n\cdot \log {n})$ 時間計算量。しかし、これらのアルゴリズムは観測ランクを決定するためにすべてのデータが利用可能であることを必要とするため、観測が段階的に明らかになる逐次データ設定では課題となる。幸いなことに、逐次設定でケンドールの順位相関係数を推定するアルゴリズムが存在する。^{[ 19 ]}^{[ 20 ]}これらのアルゴリズムは $O(1)$ 更新時間と空間の複雑さは、観測数に応じて効率的にスケーリングされます。したがって、バッチを処理する場合、 $n$ 観測結果によると、時間計算量は $O(n)$ 空間計算量は一定のままである $O(1)$ 。

最初のアルゴリズム^{[ 19 ]}は、確率変数の同時分布を粗くすることに基づくケンドール順位相関係数の近似値を示しています。非定常データは、移動ウィンドウ方式で処理されます。このアルゴリズム^{[ 19 ]}はシンプルで、離散確率変数と連続確率変数を修正せずに処理できます。

2 番目のアルゴリズム^{[ 20 ]}はエルミート級数推定器に基づいており、正確なケンドール順位相関係数、すなわち二変量観測値のペアの一致確率から不一致確率を引いた値の代替推定器を利用します。この代替推定器は、標準推定器の近似としても機能します。このアルゴリズム^{[ 20 ]は連続確率変数にのみ適用可能ですが、最初に説明したアルゴリズム}^{[ 19 ]}と比較して優れた精度と潜在的な速度向上を示しており、スライディングウィンドウに頼らずに非定常データを処理できる機能も備えています。エルミート級数に基づくアプローチの効率的な実装は、R パッケージhermiterパッケージに含まれています。^{[ 20 ]}

ソフトウェア実装

Rはテストを実装しています $\tau _{B}$ cor.test(x, y, method = "kendall")その「stats」パッケージで（これもcor(x, y, method = "kendall")機能しますが、後者はp値を返しません）。係数の3つのバージョンすべてが信頼区間とともに「DescTools」パッケージで利用可能ですKendallTauA(x,y,conf.level=0.95)。 $\tau _{A}$ 、KendallTauB(x,y,conf.level=0.95)のために $\tau _{B}$ 、StuartTauC(x,y,conf.level=0.95)のために $\tau _{C}$ ケンドール順位相関係数の高速バッチ推定と逐次推定は、hermiterパッケージで提供されています。^{[ 20 ]}
Pythonの場合、SciPyライブラリは、 $\tau _{B}$ でscipy.stats.kendalltau
Stataでは、として実装されています。ktau varlist

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さらに読む

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外部リンク

同順位の計算
非常に大規模なデータセットに対してケンドールのタウを計算するためのソフトウェア
オンラインソフトウェア：ケンドールのタウ順位相関係数を計算します

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