ユングの定理

幾何学において、ユングの定理は、任意のユークリッド空間内の点の集合の直径と、その集合を囲む最小球の半径との間の不等式です。この定理は、1901 年にこの不等式を初めて研究したハインリヒ ユングにちなんで名付けられました。最小円問題を明示的に解くアルゴリズムも存在します。

コンパクトなセットを検討する

${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$

そして

${\displaystyle d=\max _{p,q\,\in \,K}\|pq\|_{2}}$

Kの直径、つまり任意の2点間の最大ユークリッド距離とする。ユングの定理は、 半径

${\displaystyle r\leq d{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)}}}}$

Kを含む。等式の境界ケースは、正則n単体によって達成されます。

ユングの定理の最も一般的なケースは平面、つまりn  = 2の場合である。この場合、定理は、半径がを満たすすべての点を囲む 円が存在することを述べている。

${\displaystyle r\leq {\frac {d}{\sqrt {3}}},}$

そしてこの境界は可能な限り厳密である。なぜならKが正三角形（またはその3つの頂点）のとき、${\displaystyle r={\frac {d}{\sqrt {3}}}.}$

任意の距離空間の任意の有界集合 に対して、 が成り立ちます。最初の不等式は、球の中心と 2 つの直径の点に対する三角不等式から導かれ、2 番目の不等式は、 の任意の点を中心とする半径 の球が のすべてを含むことから導かれます。これらの不等式は両方とも厳密です。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle d/2\leq r\leq d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

• 一様距離空間、つまりすべての距離が等しい空間では、。${\displaystyle r=d}$
• スペクトルのもう一方の端、平面上のマンハッタン距離などの入射的な距離空間では、 の点を中心とする半径 の任意の 2 つの閉じた球には、空でない交点 があるため、このような球はすべて共通の交点を持ち、この交点 を中心とする半径の球には のすべてが含まれます。${\displaystyle r=d/2}$${\displaystyle d/2}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d/2}$${\displaystyle S}$

さまざまな非ユークリッド幾何学に対するユングの定理のバージョンも知られています (例: Dekster 1995、1997 を参照)。

• Katz, M. (1985). 「複素射影幾何学におけるユングの定理」. Quart. J. Math. Oxford . 36 (4): 451–466. doi :10.1093/qmath/36.4.451.
• Dekster, BV (1995). 「球面空間と双曲空間に対するユングの定理」. Acta Mathematica Hungarica . 67 (4): 315–331. doi :10.1007/BF01874495.
• Dekster, BV (1997). 「上有界曲率計量空間におけるユング定理」アメリカ数学会紀要. 125 (8): 2425–2433. doi : 10.1090/S0002-9939-97-03842-2 .
• ユング、ハインリヒ (1901)。 「Über die kleinste Kugel, die eine räumliche Figur einschließt」。J. レーヌ・アンジェウ数学。（ドイツ語で）。123 : 241–257。
• ユング、ハインリヒ (1910)。 「Über den kleinsten Kreis, der eine ebene Figur einschließt」。J. レーヌ・アンジェウ数学。（ドイツ語で）。137 : 310–313.
• ラデマッハー、ハンス; トゥープリッツ、オットー (1990)。数学の楽しみ。ドーバー。第 16 章。ISBN 978-0-486-26242-0。

• ワイスタイン、エリック・W.「ユングの定理」。マスワールド。