ヤコビの四平方定理

数論において、ヤコビの四平方定理は、与えられた正の整数 n を4 つの平方(整数)の和として表す方法の数を公式で与えます。

この定理は1834年にカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビによって証明されました。

2 つの表現は、項の順序が異なる場合、または平方される整数 (単なる平方ではなく) が異なる場合に、異なるとみなされます。例として、1 を表す 8 つの異なる方法のうちの 3 つを以下に示します。

$${\displaystyle {\begin{aligned}1^{2}&+0^{2}+0^{2}+0^{2}\\0^{2}&+1^{2}+0^{2}+0^{2}\\(-1)^{2}&+0^{2}+0^{2}+0^{2}.\end{aligned}}}$$

nを4つの平方の和として表す方法は、 nが奇数の場合はnの約数の合計の8倍、 nが偶数の場合はnの奇数約数の合計の24倍です（約数関数を参照）。つまり、

$${\displaystyle r_{4}(n)={\begin{cases}\displaystyle 8\sum _{m|n}m&{\text{if }}n{\text{ is odd}},\\[12pt]\displaystyle 24\sum _{{m|n} \atop {m{\text{ odd}}}}m&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\end{cases}}}$$

同様に、4で割り切れないすべての約数の合計の8倍、つまり

$${\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{{m\mid n,} \atop {4\nmid m}}m.}$$

直ちに得られる結論は、奇数の場合、である。^[1]${\displaystyle r_{4}(2n)=r_{4}(8n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle r_{4}(2\cdot 4^{a}n)=r_{4}(2n)}$

これを次のように書くこともできる。

$${\displaystyle r_{4}(n)=8\,\sigma (n)-32\,\sigma (n/4)}$$

ここで、 nが4で割り切れない場合は2番目の項は0とみなされます。特に、素数 pについては、明示的な式r ₄ ( p ) = 8( p + 1)が成り立ちます。^[2]

r ₄ ( n )のいくつかの値は、nが偶数のときはいつでもr ₄ ( n ) = r ₄ (2 ^m n )のように無限に頻繁に発生します。r ₄ ( n )の値は任意の大きさになることがあります。実際、r ₄ ( n )は^{[2]よりも無限に大きい}ことがよくあります。${\displaystyle 8{\sqrt {\log n}}.}$

この定理はヤコビの三重積から始まる基本的な方法で証明することができる。^[3]

証明は、格子Z ⁴のシータ級数が特定のレベルのモジュラー形式であり、したがってアイゼンシュタイン級数の線形結合に等しいことを示しています。

• ラグランジュの四平方定理
• ランバートシリーズ
• 二乗和関数

• Hirschhorn, Michael D.; McGowan, James A. (2001). 「ヤコビの 2 乗定理と 4 乗定理の代数的帰結」 Garvan, FG; Ismail, MEH (編)記号計算、数論、特殊関数、物理学、組合せ論。数学の発展。第 4 巻。Springer。pp. 107–132。CiteSeerX 10.1.1.26.9028。doi :  10.1007 / 978-1-4613-0257-5_7。ISBN 978-1-4020-0101-7。
• Hirschhorn, Michael D. (1987). 「ヤコビの四平方定理の簡単な証明」.アメリカ数学会紀要. 101 (3): 436. doi : 10.1090/s0002-9939-1987-0908644-9 .
• ウィリアムズ、ケネス S. (2011)。リウヴィル精神における数論。ロンドン数学会学生テキスト。第 76 巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-17562-3.ZBL1227.11002  。​

• Weisstein、Eric W.「平方和関数」。MathWorld。