等弾性関数

数理経済学では、等弾性関数（等弾性関数とも呼ばれる）は、一定の弾性を示す関数、つまり一定の弾性係数を持つ関数です。弾性とは、変化の大きさがゼロに近づく極限において、 従属変数の変化率と独立変数の原因となる変化率の比率です。

弾性係数（任意の実数値をとることができる）の場合、関数の一般的な形は次のように表される。 ${\displaystyle r}$

${\displaystyle f(x)={kx^{r}},}$

ここで、およびは定数である。弾性は定義により ${\displaystyle k}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\text{弾性}}={\frac {df(x)}{dx}}{\frac {x}{f(x)}}={\frac {d{\text{ln}}f(x)}{d{\text{ln}}x}},}$

この関数の場合、これは単にr に等しくなります。

需要の弾力性は次のように示される。

${\displaystyle {r}={\frac {dQ}{dP}}{\frac {P}{Q}}}$、

ここで、r は弾力性、Q は数量、P は価格です。

並べ替えると次のようになります。

${\displaystyle {\frac {r}{P}}{dP}={\frac {1}{Q}}{dQ}}$

そして統合する

${\displaystyle \int {\frac {r}{P}}{dP}=\int {\frac {1}{Q}}{dQ}}$

${\displaystyle r\ln(P)+C=\ln(Q)}$

シンプルにする

${\displaystyle e^{\ln(P)r+C}=e^{ln(Q)}}$

${\displaystyle (e^{\ln(P)})^{r}e^{C}=Q}$

${\displaystyle kP^{r}=Q}$

${\displaystyle Q(P)=kP^{r}}$

ミクロ経済学の例としては、一定の弾力性需要関数が挙げられます。ここで、pは製品の価格、D ( p ) は消費者が需要する結果的な量です。ほとんどの商品では、弾力性r (価格に対する需要量の反応性) は負であるため、一定の弾力性需要関数を指数に負の符号を付けて記述すると、係数が正の値を取る ため便利です。${\displaystyle r}$

${\displaystyle D(p)={kp^{-r}},}$

ここで、は応答性の符号なし大きさとして解釈される。^[1]供給曲線 にも同様の関数が存在する。 ${\displaystyle r>0}$

一定の弾力性関数は、リスク回避下での選択理論でも使われます。この理論では通常、リスク回避的な意思決定者が凹型の フォン・ノイマン・モルゲンシュテルンの効用関数の期待値を最大化すると仮定します。この文脈では、例えば富に対する効用の弾力性が一定であれば、ポートフォリオ内の株式のシェアなどに関する最適な決定は、意思決定者の富の規模とは無関係です。この文脈における一定の弾力性効用関数は、通常次のように記述されます。

${\displaystyle U(x)={\frac {1}{1-\gamma }}x^{1-\gamma }}$

ここで、xは富、は弾力性であり、, ≠ 1 は相対的リスク回避の定数係数と呼ばれます（リスク回避は→ ∞ として無限大に近づきます）。 ${\displaystyle 1-\gamma }$${\displaystyle \gamma >0}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \gamma}$

• 一定の代替弾力性
• べき乗関数

• 一定の弾力性を持つ需要曲線と供給曲線