ありえない世界

可能世界はしばしば疑わしいと見なされるため、その支持者はそれを擁護する議論を見つけるのに苦労してきた。^{[ 1 ]}よく引用される議論は「方法からの議論」と呼ばれる。これは可能世界を「物事がどのようにあり得たかの方法」と定義し、その前提と推論は自然言語からの仮定に基づいている。^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}例えば、

（１）ヒラリー・クリントンは2016年のアメリカ大統領選挙に勝利できたかもしれない。

（２）つまり、物事は他にもあり得たということです。

（３）可能世界とは、物事がどのようにあり得たかという方法のことである。

（４）つまり、他にも可能な世界が存在するということだ。

この議論の中心となるステップは（2）で起こり、もっともらしい（1）が「方法」に関する量化を伴う形で解釈されます。ウィラード・ヴァン・オーマン・クワイン^{[ 5 ]}に倣って、多くの哲学者は量化が存在論的コミットメントを伴うと考えており、この場合、可能世界の存在へのコミットメントです。クワイン自身は自分の方法を科学理論に限定しましたが、他の哲学者はそれを自然言語にも適用しており、例えばエイミー・L・トマソンは論文「Ontology Made Easy 」 ^{[ 6 ]}でそれを適用しています。方法からの議論の強さはこれらの仮定に依存しており、存在論の量化子法や、存在論の指針としての自然言語の信頼性に疑問を投げかけることで、異議を唱えられる可能性があります。

同様の議論は、不可能な世界が存在するというテーゼを正当化するためにも使用できる。^{[ 3 ]}例えば、

（a）ヒラリー・クリントンは2016年の米国大統領選挙で勝利と敗北の両方を同時に経験することはできなかった。

（b）つまり、物事がそうならなかった可能性もあるということです。

（c）あり得ない世界とは、物事が起こり得なかった方法のことである。

（d）つまり、不可能な世界が存在するということだ。

可能世界の擁護者にとっての問題は、言語が（a）の意味に関して曖昧であることだ。つまり、これは物事が起こり得ない方法であるという意味なのか、それとも物事が起こり得ない方法であるという意味なのか。^{[ 2 ]}不可能世界の批判者は後者の選択肢を主張することができ、そうなれば議論は無効になる。

非正規世界は、 1965年にソール・クリプキによって、システムKよりも弱い様相論理、特に必然性の規則を拒否する様相論理に意味論を与えるための純粋に技術的な手段として導入された。

${\displaystyle \vdash A\Rightarrow \ \vdash \Box A}$。

このような論理は一般的に「非正規」と呼ばれます。クリプキ意味論における様相語彙の標準的な解釈の下では、次のようになります。${\displaystyle \vdash A}$各モデルにおいて、${\displaystyle A}$すべての世界で成り立つ。${\displaystyle A}$すべての世界で保持されるが${\displaystyle \Box A}$そうではないので、解釈する必要がある${\displaystyle \Box }$非標準的な方法で（つまり、私たちは単に真実を考慮するのではなく、${\displaystyle A}$あらゆるアクセス可能な世界において）あるいは、妥当性の条件を再解釈します。クリプキは後者の選択をします。私たちは世界のクラスを正常と特定し、モデル内のあらゆる正常世界において妥当性を真とします。このようにして、次のようなモデルを構築できます。${\displaystyle A}$全ての通常の世界では真実だが、${\displaystyle \Box A}$そうではない。我々は、この世界（${\displaystyle \Box A}$失敗する）通常とは異なるアクセス可能な世界があります。${\displaystyle A}$失敗する可能性があり、したがって、私たちの元の世界では、${\displaystyle \Box A}$論理的には真実であるにもかかわらず、必ずしも必要ではない。

これらの非正規世界は、論理に従って真であるものによって制約されないという意味で不可能である。${\displaystyle \vdash A}$だからといって、${\displaystyle A}$非日常的な世界において成り立つ。

世界を持つモデルにおける様相論理の言語の解釈に関するより詳しい議論については、様相論理およびクリプキ意味論に関する項目を参照してください。

カリーのパラドックスは、「意味的に閉じた」（つまり、自身の意味を表現できる）形式言語の開発に関心を持つ論理学者にとって深刻な問題である。このパラドックスは、一見明白な縮約の原理に基づいている。

${\displaystyle (A\rightarrow (A\rightarrow B))\rightarrow (A\rightarrow B)}$。

意味体系において、非正規世界を用いることで縮約を無効にする方法が存在する。さらに、これらの方法は、非正規世界を「論理法則が破綻する世界」と解釈することで、合理的な哲学的正当化を与えることができる。

反必然的命題とは、前件が単に偽であるだけでなく、必然的に偽である（あるいは後件が必然的に真である）反事実的条件文のことである。

議論のために、以下のいずれか（または両方）が当てはまると仮定する。

1.直観主義は誤りである。

2.排中律は正しい。

おそらく、これらの各命題は、それが真（偽）であれば、必然的に真（偽）となるようなものである。

したがって、以下のいずれか（または両方）が想定されている。

1′. 直観主義はあらゆる可能世界において誤りである。

2′. 排中律はあらゆる可能世界において真である。

次に、以下の点について考えてみましょう。

3. 直観主義が正しいならば、排中律が成り立つ。

これは直感的に誤りである。なぜなら、直観主義の根本的な信条の一つは、まさにLEMが成り立たないことだからである。この主張を次のように要約するとしよう。

3′. 直観主義が真であるすべての可能世界は、排中律が真である可能世界である。

これは、（1′）または（2′）のいずれかが与えられた場合に、自明に成り立つ。

ここで、可能な世界に加えて不可能な世界も考慮すると仮定する。直観主義が真となる不可能な世界が存在することは（1′）と両立し、LEMが偽となる不可能な世界が存在することは（2′）と両立する。これにより、次の解釈が得られる。

3*. 直観主義が真であるすべての（可能または不可能な）世界は、排中律が成り立つ（可能または不可能な）世界である。

しかし、これはそうではないように思われる。なぜなら、直観主義が真であり、排中律が成り立たないような、あり得ない世界が直観的に存在しうるからである。