超複雑多様体

微分幾何学において、超複素多様体とは、四元数が積分可能なほぼ複素構造を 定義するよう な方法で、四元数の代数による作用 を備えた接束を持つ多様体である。 ${\displaystyle I,J,K}$

代わりに、ほぼ複素構造が積分可能ではないと仮定される場合、その多様体は四元数多様体、またはほぼ超複素数多様体と呼ばれます。^[1]

あらゆる超ケーラー多様体は超複素多様体でもある。逆は真ではない。ホップ面

${\displaystyle {\bigg (}{\mathbb {H} }\backslash 0{\bigg )}/{\mathbb {Z} }}$

（四元数 による乗算として作用し、）は超複素数だがケーラー面ではないため、超ケーラー面でもない。ホップ面がケーラー面ではないことを確認するには、積に微分同相であること、 したがってその奇コホモロジー群が奇次元であることに注目する。ホッジ分解により、コンパクトケーラー多様体の奇コホモロジーは 常に偶数次元である。実際、若桑秀清は ^{[2]コンパクト}超ケーラー多様体上で であることを証明した。 ミシャ・ヴェルビツキーは、ケーラー構造を許容する任意のコンパクト超複素多様体は超ケーラーでもあることを示した。^[3]${\displaystyle {\mathbb {Z} }}$${\displaystyle q}$${\displaystyle |q|>1}$${\displaystyle S^{1}\times S^{3},}$ ${\displaystyle \ b_{2p+1}\equiv 0\ mod\ 4}$

1988 年、いくつかのコンパクトリー群上の左不変超複素構造が、 物理学者の Philippe Spindel、Alexander Sevrin、Walter Troost、および Antoine Van Proeyen によって構築されました。1992 年、Dominic Joyce が この構成を再発見し、コンパクト リー群上の左不変超複素構造の完全な分類を与えました。完全なリストは次のとおりです。

${\displaystyle T^{4},SU(2l+1),T^{1}\times SU(2l),T^{l}\times SO(2l+1),}$

${\displaystyle T^{2l}\times SO(4l),T^{l}\times Sp(l),T^{2}\times E_{6},}$

${\displaystyle T^{7}\times E^{7},T^{8}\times E^{8},T^{4}\times F_{4},T^{2}\times G_{2}}$

ここで は- 次元コンパクトトーラスを表します。 ${\displaystyle T^{i}}$${\displaystyle i}$

注目すべきことに、コンパクト リー群は、十分に大きなトーラスを乗算すると超複素数になります。

超複素多様体自体は 1988 年にシャルル・ボワイエによって研究されました。彼はまた、実次元 4 では、コンパクトな超複素多様体は複素トーラス、ホップ面、K3 面だけであることを証明しました。 ${\displaystyle T^{4}}$

かなり以前（1955年）、小幡守雄は、ほぼ超複素構造（チャールズ・エールスマン^[4]の以前の用語ではほぼ四元数構造）に関連するアフィン接続を研究しました。彼の構築は、エドモンド・ボナンが小幡接続^{[5] [6]}と呼んだものにつながります。これは、ほぼ複素構造の「2つ」が積分可能で、この場合多様体が超複素である場合に限り、ねじれがありません。 ${\displaystyle I,J,K}$

を満たす2 次元の四元数球面があります 。これらの四元数のそれぞれは、超複素多様体M上に複素構造を与えます。これは、と同一視されるファイバーで上にファイバー化された 多様体 上のほぼ複素構造を定義します 。この複素構造は、小幡の定理 (これは Dmitry Kaledin ^[7]によって最初に明示的に証明されました) に従って積分可能です。この複素多様体はのツイスター空間と呼ばれます。M が の場合、そのツイスター空間は と同型です。 ${\displaystyle L\in {\mathbb {H} }}$${\displaystyle L^{2}=-1}$${\displaystyle M\times S^{2}}$${\displaystyle {\mathbb {C} }P^{1}=S^{2}}$${\displaystyle (M,L)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathbb {H} }}$${\displaystyle {\mathbb {C} }P^{3}\backslash {\mathbb {C} }P^{1}}$

• 四元数多様体
• ハイパーケーラー多様体