ハルナックの曲線定理

実 代数幾何学において、アクセル・ハルナックにちなんで名付けられたハルナックの曲線定理は、曲線の次数に基づいて、代数曲線が持つことのできる連結成分の可能な数を与える。実射影平面上の次数mの任意の代数曲線について、成分の数cは次の式で制限される。

${\displaystyle {\frac {1-(-1)^{m}}{2}}\leq c\leq {\frac {(m-1)(m-2)}{2}}+1.\ }$

最大値は、曲線が非特異である場合に達成される、次数mの曲線の最大種数より 1 大きい数です。さらに、この可能な値の範囲内の任意の数の成分を達成できます。

実数成分の最大数を達成する曲線はM 曲線(「最大」から) と呼ばれます。たとえば、などの 2 つの成分を持つ楕円曲線や、 4 つの成分を持つ4 次曲線であるTrott 曲線は、M 曲線の例です。 ${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x,}$

この定理はヒルベルトの第16問題の背景となった。

最近の発展では、ハルナック曲線は、そのアメーバの面積が多項式Pのニュートン多角形に等しい曲線であることが示されており、これは二量体モデルの特性曲線と呼ばれ、すべてのハルナック曲線は何らかの二量体モデルのスペクトル曲線です。(Mikhalkin 2001)(Kenyon、Okounkov、Sheffield (2006))

• ドミトリー・アンドレーヴィチ・グドコフ、「実射影代数多様体の位相」、Uspekhi Mat. Nauk 29 (1974)、3–79 (ロシア語)、英語訳、ロシア語 Math. Surveys 29:4 (1974)、1–79
• Carl Gustav Axel Harnack、Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Curven、数学。アン。10 (1876)、189–199
• ジョージ・ウィルソン「ヒルベルトの第16問題」トポロジー 17（1978年）、53-74
• Kenyon, Richard ; Okounkov, Andrei ; Sheffield, Scott (2006). 「二量体とアメーバ」Annals of Mathematics . 163 (3): 1019–1056. arXiv : math-ph/0311005 . doi :10.4007/annals.2006.163.1019. MR  2215138. S2CID  119724053.
• ミハルキン、グリゴリー (2001)、代数多様体のアメーバ、arXiv : math/0108225、MR  2102998