ハーディ・リトルウッド最大関数

数学において、ハーディ・リトルウッド最大演算子 M は、実解析や調和解析で使用される重要な非線形演算子です。

演算子は局所的に積分可能な関数f  : R ^d → Cを取り、別の関数Mfを返します。任意の点x ∈ R ^dに対して、関数Mf は実数の集合の最大値、つまりxにおける任意の半径rのすべての球B ( x , r )のfの平均値の集合を返します。正式には、

${\displaystyle Mf(x)=\sup _{r>0}{\frac {1}{|B(x,r)|}}\int _{B(x,r)}|f(y)|\,dy}$

ここで、| E | は部分集合E ⊂ R ^dのd次元ルベーグ測度を表します。

平均はxとrで共連続なので、 r  > 0 の上限である最大関数Mf は測定可能です。 Mfがほぼすべての点で有限であることは明らかではありません。 これは、ハーディ–リトルウッド最大不等式の系です。

GH HardyとJE Littlewoodのこの定理は、 p > 1 の場合、 M はL ^p ( R ^d )からそれ自身への部分線型作用素として有界であると述べています。つまり、f ∈ L ^p ( R ^d ) の場合、最大関数Mfは弱L ¹有界であり、Mf ∈ L ^p ( R ^d ) です。定理をより正確に述べる前に、簡単にするために、{ f > t } が集合 { x | f ( x ) > t } を表すものとします。ここで、次のようになります。

定理（弱い型推定）。d ≥ 1に対して 、定数C _d > 0 が存在し、すべての λ > 0 およびf  ∈  L ¹ ( R ^d ) に対して、次が成り立ちます。

${\displaystyle \left|\{Mf>\lambda \}\right|<{\frac {C_{d}}{\lambda }}\Vert f\Vert _{L^{1}(\mathbf {R} ^{d})}.}$

ハーディ・リトルウッドの最大不等式がわかれば、次の強い型の推定値は、マルチンキエヴィチの補間定理から直接導かれる。

定理（強い型推定）。d  ≥ 1、1 <  p ≤  ∞、f  ∈  L ^p ( R ^d ) の場合、

定数C _p,d  > 0が存在し、

${\displaystyle \Vert Mf\Vert _{L^{p}(\mathbf {R} ^{d})}\leq C_{p,d}\Vert f\Vert _{L^{p}(\mathbf {R} ^{d})}.}$

強型推定ではC _p,dの最良の境界は不明です。^[1]しかしその後、エリアス・M・スタインはカルデロン・ジグムント回転法を用いて次のことを証明しました。

定理（次元独立性）。1 <  p  ≤ ∞の場合、 dに依存せずにC _p,d = C _pを選ぶことができる。^{[1] [2]}

この定理にはいくつかの証明がありますが、一般的な証明を以下に示します。p = ∞ の場合、不等式は自明です (関数の平均はその本質的な上限 よりも大きくないため)。 1 <  p  < ∞ の場合、まず次のバージョンのVitali 被覆補題を使用して弱型推定を証明します。 (補題の証明については記事を参照してください。)

補題。Xを可分距離空間と、直径が制限された開球の族とします。すると、 Xには、互いに素な球からなる 可算な部分族が存在し、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$

${\displaystyle \bigcup _{B\in {\mathcal {F}}}B\subset \bigcup _{B\in {\mathcal {F'}}}5B}$

ここで、5 B は半径の 5 倍のBです。

Mf ( x ) > tとなる任意のxに対して、定義により、 xを中心とする球B _xが見つかり、

${\displaystyle \int _{B_{x}}|f|dy>t|B_{x}|.}$

したがって、{ Mf > t } は、 x が{ Mf > t } 内で変化するため、そのような球の和集合の部分集合です。 x は B x に含まれているので、これは自明です。補題により、そのような球の中から、 5 つの B j の和集合が { Mf > t }をカバー_するような、_互いに素な球の列B j を見つけることができます。_これは次のようになります。

${\displaystyle |\{Mf>t\}|\leq 5^{d}\sum _{j}|B_{j}|\leq {5^{d} \over t}\int |f|dy.}$

これで弱型推定の証明は完了です。次に、これからL ^p境界を導きます。| f ( x )| > t /2 の場合は b ( x ) = f ( x ) 、それ以外の場合は0とbを定義します。弱型推定をbに適用すると、次のようになります 。

${\displaystyle |\{Mf>t\}|\leq {2C \over t}\int _{|f|>{\frac {t}{2}}}|f|dx,}$

C = 5 ^dの場合、

${\displaystyle \|Mf\|_{p}^{p}=\int \int _{0}^{Mf(x)}pt^{p-1}dtdx=p\int _{0}^{\infty }t^{p-1}|\{Mf>t\}|dt}$

上記の推定により、次のようになります。

${\displaystyle \|Mf\|_{p}^{p}\leq p\int _{0}^{\infty }t^{p-1}\left({2C \over t}\int _{|f|>{\frac {t}{2}}}|f|dx\right)dt=2Cp\int _{0}^{\infty }\int _{|f|>{\frac {t}{2}}}t^{p-2}|f|dxdt=C_{p}\|f\|_{p}^{p}}$

ここで定数C _{p は}pとdのみに依存します。これで定理の証明は完了です。

証明の定数は、ルベーグ測度の内部正則性と、ヴィタリ被覆補題の有限バージョンを使用することで、 まで改善できることに注意してください。定数の最適化の詳細については、以下の 「考察」セクションを参照してください。${\displaystyle C=5^{d}}$${\displaystyle 3^{d}}$

ハーディ・リトルウッド最大不等式の応用には、次の結果を証明することが含まれます。

• ルベーグの微分定理
• ラデマッハーの微分定理
• 非接線収束に関するファトゥの定理。
• 分数積分定理

ここでは、最大関数を使った標準的なトリックを使って、ルベーグ微分定理の簡単な証明をします。（ただし、最大定理の証明では、ヴィタリ被覆補題を使用したことに注意してください。）f ∈ L ¹ ( R ⁿ ) と します。

${\displaystyle \Omega f(x)=\limsup _{r\to 0}f_{r}(x)-\liminf _{r\to 0}f_{r}(x)}$

どこ

${\displaystyle f_{r}(x)={\frac {1}{|B(x,r)|}}\int _{B(x,r)}f(y)dy.}$

f = h + gと書きます。ここでhは連続でコンパクトな台を持ち、g ∈ L ¹ ( R ⁿ )のノルムは任意の小さな値にすることができます。

${\displaystyle \Omega f\leq \Omega g+\Omega h=\Omega g}$

連続性により、Ω g ≤ 2 Mgとなり、定理により次の式が得られます。

${\displaystyle \left|\{\Omega g>\varepsilon \}\right|\leq {\frac {2\,M}{\varepsilon }}\|g\|_{1}}$

ここで、Ω f = 0 がほぼどこでも成り立つと結論付けることができます。つまり、ほぼすべてのxに対して存在します。残っているのは、極限が実際にf ( x )に等しいことを示すことです。しかし、これは簡単です。 (恒等式の近似) であり、したがってほぼどこでも部分列が存在することがわかっています。極限の一意性により、f _r → f がほぼどこでも成り立ちます。 ${\displaystyle \|g\|_{1}\to 0}$${\displaystyle \lim _{r\to 0}f_{r}(x)}$${\displaystyle \|f_{r}-f\|_{1}\to 0}$${\displaystyle f_{r_{k}}\to f}$

上記の不等式における最小の定数C _p,dとC _dが何であるかはまだわかっていません。しかし、球面極大関数に関するエリアス・シュタインの結果を使用すると、1 <  p < ∞ の場合、 C _p,dの次元へ の依存性を排除できることがわかります。つまり、 p にのみ依存する定数C _p > 0 に対して、 C _p,d  =  C _pとなります。次元に依存しない弱い境界があるかどうかはわかっていません。

ハーディ・リトルウッド最大演算子には、中心球の平均を異なる集合族の平均に置き換える一般的な変種がいくつかあります。たとえば、中心のないHL最大演算子を定義できます（スタイン・シャカルキの表記法を使用）。

${\displaystyle f^{*}(x)=\sup _{x\in B_{x}}{\frac {1}{|B_{x}|}}\int _{B_{x}}|f(y)|dy}$

ここで、球B _xはxを中心とするのではなく、単にxを含むことが要求される。また、2項HL最大作用素

${\displaystyle M_{\Delta }f(x)=\sup _{x\in Q_{x}}{\frac {1}{|Q_{x}|}}\int _{Q_{x}}|f(y)|dy}$

ここで、Q _{x は}点x を含むすべての二項立方体にわたって変化します。これらの演算子は両方とも HL 最大不等式を満たします。

• 昇る太陽の補題

• John B. Garnett著「有界解析関数」 Springer-Verlag、2006 年
• GHハーディとJEリトルウッド。関数理論的応用を伴う最大定理。Acta Math.54、81-116（1930）。[1]
• アントニオス・D・メラス「中心ハーディ・リトルウッド最大不等式の最良定数」、数学年報、157（2003）、647-688
• ラミ・シャカルチ &エリアス・M・スタイン、プリンストン解析学講義 III: 実解析。プリンストン大学出版、2005年
• エリアス・M・スタイン「最大関数：球面平均」Proc. Natl. Acad. Sci. USA 73 (1976), 2174–2175
• エリアス・M・スタイン『特異積分と関数の微分可能性』プリンストン大学出版局、1971年
• ジェラルド・テシュル、実数解析と関数解析のトピック（講義ノート）