ハード六角形モデル

統計力学において、硬質六角形モデルは気体の2次元格子モデルであり、粒子は三角形格子の頂点上に存在できるが、2つの粒子が隣接してはならない。

このモデルはロドニー・バクスター（1980 ）によって解かれ、ロジャース・ラマヌジャン恒等式と関連していることが発見された。 

ハードヘキサゴンモデルは、大正準集団の枠組みの中で発生し、粒子の総数（「六角形」）は自然に変化することが許され、化学ポテンシャルによって固定されます。ハードヘキサゴンモデルでは、すべての有効な状態はエネルギーがゼロであるため、重要な熱力学的制御変数は化学ポテンシャルと温度の比μ /( kT ) のみです。この比の指数関数z = exp( μ /( kT )) は活性と呼ばれ、値が大きいほど、おおよそ密度の高い配置に対応します。

N個のサイトを持つ三角形格子の場合、グランド分配関数は次のようになります。

${\displaystyle \displaystyle {\mathcal {Z}}(z)=\sum _{n}z^{n}g(n,N)=1+Nz+{\tfrac {1}{2}}N(N-7)z^{2}+\cdots }$

ここで、g ( n , N )は、 n個の粒子を異なる格子点に配置する方法の数であり、どの2つの粒子も隣接しない。関数κは次のように定義される。

${\displaystyle \kappa (z)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\mathcal {Z}}(z)^{1/N}=1+z-3z^{2}+\cdots }$

つまり、log( κ )は単位サイトあたりの自由エネルギーです。ハード六角形モデルを解くということは、（おおよそ）zの関数としてκの正確な式を見つけることを意味します。

平均密度ρは、 zが小さい場合、次のように与えられる。

${\displaystyle \rho =z{\frac {d\log(\kappa )}{dz}}=z-7z^{2}+58z^{3}-519z^{4}+4856z^{5}+\cdots .}$

_{格子の頂点は、空間を}硬い六角形で埋める3つの異なる方法によって、1、2、3の番号が付けられた3つのクラスに分類されます。3つのサイトクラスに対応する3つの局所密度ρ1、ρ2、ρ3_があります。活性が大きい場合、システムはこれら3つの充填のいずれかに近似するため、局所密度は異なりますが、活性が臨界点以下になると、3つの局所密度は同じになります。低活性の均一相と高活性の秩序相を分ける臨界点は${\displaystyle z_{c}=(11+5{\sqrt {5}})/2=\phi ^{5}=11.09017....}$黄金比φを持つ。臨界点を超えると局所密度が異なり、ほとんどの六角形がタイプ1のサイトにある相では、次のように展開できる。

${\displaystyle \rho _{1}=1-z^{-1}-5z^{-2}-34z^{-3}-267z^{-4}-2037z^{-5}-\cdots }$

${\displaystyle \rho _{2}=\rho _{3}=z^{-2}+9z^{-3}+80z^{-4}+965z^{-5}-\cdots .}$

z  < z _cの小さな値に対する解は次のように与えられる。 

${\displaystyle \displaystyle z={\frac {-xH(x)^{5}}{G(x)^{5}}}}$

${\displaystyle \kappa ={\frac {H(x)^{3}Q(x^{5})^{2}}{G(x)^{2}}}\prod _{n\geq 1}{\frac {(1-x^{6n-4})(1-x^{6n-3})^{2}(1-x^{6n-2})}{(1-x^{6n-5})(1-x^{6n-1})(1-x^{6n})^{2}}}}$

${\displaystyle \rho =\rho _{1}=\rho _{2}=\rho _{3}={\frac {-xG(x)H(x^{6})P(x^{3})}{P(x)}}}$

どこ

${\displaystyle G(x)=\prod _{n\geq 1}{\frac {1}{(1-x^{5n-4})(1-x^{5n-1})}}}$

${\displaystyle H(x)=\prod _{n\geq 1}{\frac {1}{(1-x^{5n-3})(1-x^{5n-2})}}}$

${\displaystyle P(x)=\prod _{n\geq 1}(1-x^{2n-1})=Q(x)/Q(x^{2})}$

${\displaystyle Q(x)=\prod _{n\geq 1}(1-x^{n}).}$

z  > z _cが大きい場合、（占有サイトのほとんどがタイプ 1 であるフェーズでは）解は次のように与えられる。 

${\displaystyle \displaystyle z={\frac {G(x)^{5}}{xH(x)^{5}}}}$

${\displaystyle \kappa =x^{-{\frac {1}{3}}}{\frac {G(x)^{3}Q(x^{5})^{2}}{H(x)^{2}}}\prod _{n\geq 1}{\frac {(1-x^{3n-2})(1-x^{3n-1})}{(1-x^{3n})^{2}}}}$

${\displaystyle \rho _{1}={\frac {H(x)Q(x)(G(x)Q(x)+x^{2}H(x^{9})Q(x^{9}))}{Q(x^{3})^{2}}}}$

${\displaystyle \rho _{2}=\rho _{3}={\frac {x^{2}H(x)Q(x)H(x^{9})Q(x^{9})}{Q(x^{3})^{2}}}}$

${\displaystyle R=\rho _{1}-\rho _{2}={\frac {Q(x)Q(x^{5})}{Q(x^{3})^{2}}}.}$

関数GとH はロジャース-ラマヌジャン恒等式に現れ、関数Qはオイラー関数であり、デデキントのイータ関数と密接に関係しています。x = e ^{2 π i τ}の場合、x ^{− 1/60} G ( x ) 、x ^11/60 H ( x ) 、x ^{− 1/24} P ( x ) 、z、κ、ρ、ρ ₁、 ρ ₂、ρ ₃はτのモジュラー関数であり、x ^1/24 Q ( x ) は重み 1/2 のモジュラー形式です。任意の 2 つのモジュラー関数は代数関係で関連付けられているため、これは関数κ、z、R、ρがすべて互いに代数関数であることを意味します (かなり高い次数) ( Joyce 1988 )。特に、エリック・ワイススタインがハード六角形エントロピー定数（ワイススタイン）と名付けたκ（1）の値は、次数24の代数数で、1.395485972... （OEISのシーケンスA085851）に等しい。 

硬質六角形モデルは、正方格子およびハニカム格子でも同様に定義できる。これらのモデルのいずれについても厳密解は知られていないが、臨界点z _cは近傍にある。正方格子の場合3.7962 ± 0.0001 、ハニカム格子の場合、κ (1)は約1.503048082... (  OEISの配列A085850 ) )、ハニカム格子の場合1.546440708... ( Baxter 1999 )です。

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• Baxter, Rodney J. (1980)、「ハード六角形：厳密解」、Journal of Physics A: Mathematical and General、13 (3): L61– L70、Bibcode : 1980JPhA...13L..61B、doi : 10.1088/0305-4470/13/3/007、ISSN 0305-4470、MR 0560533  
• バクスター、ロドニー・J. (1982)、統計力学における厳密に解かれたモデル(PDF)、ロンドン：アカデミック・プレス社 [ハーコート・ブレイス・ジョバノビッチ出版社]、ISBN 978-0-12-083180-7MR 0690578、2021年4月14日にオリジナル（PDF）からアーカイブ、2012年8月12日に取得 
• Joyce, GS (1988)、「硬質六角形モデルの活量と等温圧縮率の厳密な結果」、Journal of Physics A: Mathematical and General、21 (20): L983– L988、Bibcode : 1988JPhA...21L.983J、doi : 10.1088/0305-4470/21/20/005、ISSN 0305-4470、MR 0966792  
• エクストン、H. (1983)、q-超幾何関数とその応用、ニューヨーク：ハルステッド・プレス、チチェスター：エリス・ホーウッド
• ワイススタイン、エリック・W、「ハード六角形のエントロピー定数」、MathWorld
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• Baxter, RJ (1999年6月1日)、「最近接排除を持つ平面格子気体」、Annals of Combinatorics、3 (2): 191–203、arXiv : cond-mat/9811264、doi : 10.1007/BF01608783、S2CID 13600601 

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