半空間（幾何学）

幾何学では、半空間とは、平面が3次元ユークリッド空間を分割する2つの部分のいずれかです。^{[ 1 ]}空間が2次元の場合、半空間は半平面（開または閉）と呼ばれます。^{[ 2 ] [ 3 ]} 1次元空間の半空間は、半直線^{[ 4 ]}または半光線と呼ばれます。

より一般的には、半空間とは、超平面がn次元空間を分割する2 つの部分のいずれかを指します。つまり、超平面に接していない点は2 つの凸集合(すなわち半空間) に分割され、一方の集合の点と他方の集合の点を結ぶ任意の部分空間は超平面と交差します。^{[ 5 ]}

半空間は、開半空間と閉半空間のいずれかである。開半空間とは、アフィン空間から超平面を差し引いて得られる2つの開集合のいずれかである。閉半空間とは、開半空間とそれを定義する超平面の和集合である。

開いた（閉じた）上半空間は、すべての半空間である${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$そのため${\displaystyle x_{n}\geq 0}$（${\displaystyle x_{n}>0}$) 開いた（閉じた）下半空間も同様に定義され、次の条件を満たす必要がある。${\displaystyle x_{n}}$負の値（非正の値）である。

半空間は、定義超平面を指定する線形方程式から導出される線形不等式によって指定される。厳密な線形不等式は、開いた半空間を指定する。 $${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}>b.}$$ 非厳密な定義では、閉じた半空間を指定します。 $${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\geq b.}$$ ここでは、実数a ₁、a ₂、 ...、a _nのすべてがゼロであるとは限らないと仮定します。

半空間は凸集合である。

• 半球（幾何学）
• 線（幾何学）
• ネフ多角形、半空間を用いた多面体の構成
• ポアンカレ半平面モデル
• 象限（立体幾何学）
• シーゲル上半空間

• 「半平面」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• ワイススタイン、エリック・W. 「ハーフスペース」 . MathWorld .