灰色の雰囲気

灰色大気（または灰色大気）は、吸収係数が${\displaystyle \alpha _{\nu }}$恒星の大気中の物質の密度は、恒星の入射放射のすべての周波数に対して一定、つまり変化しない。

灰色大気近似は、天文学者が惑星（大気を持つもの）、太陽、その他の恒星、星間ガスや塵の雲など、天体の温度や基本的な放射特性を決定するために用いる主要な手法です。灰色大気近似の簡略化されたモデルは観測結果と良好な相関を示しますが、実際の大気は灰色ではないため（例えば、放射吸収は周波数に依存するため）、観測結果とは乖離が生じます。

主な近似は、吸収係数が、通常、${\displaystyle \alpha _{\nu }}$周波数に依存しない${\displaystyle \nu }$動作周波数範囲の場合、例えば${\displaystyle \alpha _{\nu }\longrightarrow \alpha }$。

通常、他にもいくつかの前提条件が同時に設けられる。

1. 大気は平面平行な大気構造を持つ。
2. 大気は熱放射平衡状態にある。

この一連の仮定は、平均強度と光源関数が、その光学的深さにおける温度の黒体プランク関数と直接的に等価であることを直接的に導きます。

次節で説明するエディントン近似法をオプションとして用いることで、ソース関数を求めることもできます。この方法を用いると、結果を大きく歪めることなくモデルを大幅に簡略化できます。

灰色大気モデルから様々な量を導出するには、積分微分方程式を解く必要があり、その厳密解は複素数です。そのため、この導出ではエディントン近似と呼ばれる簡略化を利用します。平面平行モデルの適用から始めると、互いに積み重ねられた平面平行層で構成された大気モデルを想像できます。このモデルでは、温度などの特性は平面内で一定です。つまり、これらのパラメータは物理的な深さの関数となります。${\displaystyle z}$正の方向${\displaystyle z}$大気の上層部を指している。これから、光線の経路が${\displaystyle ds}$角度をつけて${\displaystyle \theta }$垂直方向への値は、

${\displaystyle \mathrm {d} s={\frac {\mathrm {d} z}{\cos \theta }}}$

ここで光学的深さを次のように定義します。

${\displaystyle \mathrm {d} \tau =-\alpha \mathrm {d} s}$

どこ${\displaystyle \alpha }$は、大気中の様々な成分に関連する吸収係数です。次に、放射伝達方程式を見ていきましょう。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} s}}=j-\alpha I}$

どこ${\displaystyle I}$は総比強度であり、${\displaystyle j}$は排出係数です。${\displaystyle \mathrm {d} s}$そして、${\displaystyle -\alpha }$我々は持っています

${\displaystyle \mu {\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} \tau }}=IS}$

どこ${\displaystyle S}$は、放出係数と吸収係数の比として定義される、いわゆる全ソース関数です。この微分方程式は、両辺に を掛けることで解くことができます。${\displaystyle e^{-\tau /\mu }}$左辺を書き直すと${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}(Ie^{-\tau /\mu })}$そして、方程式全体を に関して積分する${\displaystyle \tau }$。これで解決策が得られます。

${\displaystyle I(\tau ,\mu )={\frac {e^{\frac {\tau }{\mu }}}{\mu }}\int _{\tau }^{\infty }Se^{-{\frac {\tau }{\mu }}}\mathrm {d} \tau }$

ここで私たちは限界値を使用しました${\displaystyle \tau \in [\tau ,\infty )}$大気圏内のある深さから外側に向かって積分していくので、${\displaystyle \mu \in [0,1]}$パラメータの周波数依存性を無視したとしても、${\displaystyle S}$これは光学的深さの関数であることがわかっているので、これを積分するには、ソース関数を導出する方法が必要です。ここで、エネルギー密度などの重要なパラメータを定義します。${\displaystyle U}$総流量${\displaystyle F}$および放射圧${\displaystyle P}$次のように

${\displaystyle U={\frac {2\pi }{c}}\int _{-1}^{+1}I\mathrm {d} \mu }$

${\displaystyle F=2\pi \int _{-1}^{+1}I\mu \mathrm {d} \mu }$

${\displaystyle P={\frac {2\pi }{c}}\int _{-1}^{+1}I\mu ^{2}\mathrm {d} \mu }$

また、平均比強度（すべての角度にわたって平均化^{[ 1 ]}）を次のように定義します。

${\displaystyle J={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{+1}I\mathrm {d} \mu }$

放射伝達方程式を 2 で割って積分すると、${\displaystyle \mu }$、 我々は持っています

${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} \tau }}=J-S}$

さらに、同じ方程式に${\displaystyle {\frac {\mu }{2}}}$そして統合する${\displaystyle \mu }$、 我々は持っています

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {F}{c}}}$

平均比強度 J をエネルギー密度の定義に代入すると、次の関係式も得られます。

${\displaystyle J={\frac {c}{4\pi }}U}$

さて、大気全体を通して総フラックスは一定に保たれなければならないので、

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} \tau }}=0\iff J=S}$

この状態は放射平衡として知られています。全フラックスが一定であることを利用して、ここで積分します。${\displaystyle {\frac {dP}{d\tau }}}$取得する

${\displaystyle P={\frac {F}{c}}(\tau +C)}$

どこ${\displaystyle C}$は積分定数である。熱力学によれば、等方性気体の場合、次の関係が成り立つ。

${\displaystyle P={\frac {1}{3}}U={\frac {4\pi }{3c}}J}$

ここで、先に導出したエネルギー密度と平均比強度の関係を代入しました。これは恒星大気の深部では当てはまるかもしれませんが、表面付近ではほぼ確実に当てはまりません。しかし、エディントン近似では、これが大気内のすべてのレベルで成り立つと仮定しています。これを圧力に関する前の式に代入すると、次のようになります。

${\displaystyle J={\frac {3F}{4\pi }}(\tau +C)}$

放射平衡の条件下で

${\displaystyle S={\frac {3F}{4\pi }}(\tau +C)}$

これは、積分定数を除いてソース関数を解いたことを意味します。この結果を放射伝達方程式の解に代入して積分すると、

${\displaystyle I(\tau =0,\mu )={\frac {3F}{4\pi }}{\frac {e^{\tau /\mu }}{\mu }}\int _{0}^{\infty }(\tau +C)e^{-\tau /\mu }\mathrm {d} \tau ={\frac {3F}{4\pi }}(\mu +C)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm {for} \ \mu >0}$

ここでは下限を設定しました${\displaystyle \tau }$ゼロにすると、これは大気表面における光学的深さの値になります。これは、例えば太陽表面から放出される放射を表します。最後に、これを全フラックスの定義に代入して積分すると、

${\displaystyle F=2\pi \int _{0}^{1}I\mu \mathrm {d} \mu ={\frac {3F}{2}}\int _{0}^{1}(\mu ^{2}+C\mu )\mathrm {d} \mu ={\frac {3F}{2}}\left({\frac {1}{3}}+{\frac {C}{2}}\right)}$

したがって、${\displaystyle C={\frac {2}{3}}}$ソース関数は次のように与えられる。

${\displaystyle S(\tau )={\frac {3F}{4\pi }}\left(\tau +{\frac {2}{3}}\right)}$

放射伝達方程式の1次モーメントと2次モーメントを積分し、上記の関係式と2ストリーム限界近似を適用すると、各高次モーメントに関する情報が得られます。${\displaystyle \cos \theta }$平均強度の1次モーメント、${\displaystyle H}$光学的深さに関係なく一定です。

${\displaystyle H(\tau )=H}$

平均強度の2次モーメント、${\displaystyle K}$は次のように表されます。

${\displaystyle K(\tau )=\tau H+{\frac {2}{3}}H={\frac {1}{3}}J(\tau )}$

エディントン近似は、これらの仮定から直接導かれる結果であることに注意されたい。

有効温度の定義${\displaystyle T_{\rm {eff}}}$エディントン磁束の場合${\displaystyle H}$そして、ステファン・ボルツマンの法則を適用して、外部から観測される有効温度と内部黒体温度との間のこの関係を実現する。${\displaystyle T}$媒体の。

${\displaystyle T^{4}=T_{\rm {eff}}^{4}{\frac {3}{4}}\left(\tau +{\frac {2}{3}}\right)}$

灰色大気解の結果：観測された温度${\displaystyle T_{\rm {eff}}}$真の温度を測る良い指標です ${\displaystyle T}$光学的深さにおいて ${\displaystyle \tau \approx 2/3}$そして大気の最高温度は ${\displaystyle \approx 0.841T_{\rm {eff}}}$。

この近似により、光源関数は光学的深さに関して線形となる。

リビッキ、ジョージ；ライトマン、アラン（2004）。天体物理学における放射過程。Wiley - VCH。ISBN 978-0-471-82759-7。