グリーン関数数

数学的な熱伝導では、グリーン関数数は、熱方程式の特定の基本解を一意に分類し、既存の解の識別、保存、および取得を容易にするため に使用されます。

数値は境界条件の種類を識別するために長い間使用されてきました。^{[1] [2] [3]}グリーン関数数体系は1988年にベックとリトコウヒによって提案され^[4]、それ以来ますます使用されています。^{[5] [6] [7] [8]}この数体系は、グリーン関数と関連する解の大規模なコレクションをカタログ化するために使用されてきました。^{[9] [10] [11]}

以下に示す例は熱方程式に関するものですが、この数値体系は拡散、音響、電磁気、流体力学などの微分方程式で記述されるあらゆる現象に適用されます。

グリーン関数番号は、座標系と、グリーン関数が満たす境界条件の種類を指定します。グリーン関数番号は、文字指定とそれに続く数字指定の 2 つの部分で構成されます。文字は座標系を指定し、数字は満たされる境界条件の種類を指定します。

グリーン関数数システムのいくつかの指定を次に示します。座標系の指定には、直交座標の場合は X、Y、Z、円筒座標の場合は R、Z、φ、球面座標の場合は RS、φ、θ があります。いくつかの境界条件の指定を表 1 に示します。ゼロ境界条件は、たとえば半無限体の遠く、または円筒形または球形体の中心など、物理的な境界が存在しない座標境界の存在を識別するために重要です。

例えば、数値X11は、境界x = 0とx = Lの両方でタイプ1（ディリクレ）の境界条件に対して、領域（ 0 < x < L ）で熱方程式を満たすグリーン関数を表します。ここで、Xは直交座標を表し、11は物体の両側でタイプ1の境界条件を表します。X11グリーン関数の 境界値問題は次のように与えられます。

ここで は熱拡散率（m ² /s）であり、 はディラックのデルタ関数である。このGFは他の場所で開発されている。^{[12] [13]}${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \delta }$

別の直交座標の例として、数 X20 は、x = 0でノイマン（タイプ 2）境界を持つ半無限体（ ）内のグリーン関数を表します。ここで、Xは直交座標、2 はx = 0でのタイプ 2 境界条件、0はでの第 0 タイプ境界条件（有界性）を表します。X20 グリーン関数の 境界値問題は次のように表されます。${\displaystyle 0<x<\infty }$${\displaystyle x=\infty }$

このGFは他の場所でも出版されている。^{[14] [15]}

2次元の例として、数X10Y20は、 x = 0にディリクレ（タイプ1）境界、 y = 0にノイマン（タイプ2）境界を持つ1/4無限体（、 ）のグリーン関数を表します。X10Y20グリーン関数の境界値問題は次のように与えられます。 ${\displaystyle 0<x<\infty }$${\displaystyle 0<y<\infty }$

関連する半空間および四分の一空間GFの応用も可能である。^[16]

円筒座標系の例として、数値 R03 は、r = aでタイプ 3 (Robin) の境界条件を持つ固体円筒 ( 0 < r < a ) 内の熱方程式を満たすグリーン関数を表します。ここで、文字R は円筒座標系を表し、数値0は円筒の中心 ( r = 0 )でのゼロ番目の境界条件 (有界性) を表し、数値3 はr = aでのタイプ 3 ( Robin ) 境界条件を表します。R03 グリーン関数の境界値問題は次のように表されます。

ここで、は熱伝導率（W/(m K)）、は熱伝達係数（W/(m ² K)）です。このGFについては、Carslaw & Jaeger（1959、p. 369）、Cole et al.（2011、p. 543）を参照してください。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle h}$

別の例として、数値 R10 は、 r = aでタイプ 1 (ディリクレ) 境界条件を持つ円筒形の空隙 (a < r < ) を含む大きな物体のグリーン関数を表します。ここでも、文字R は円筒座標系を表し、数値1 はr = aでのタイプ 1 境界を表し、数値0はr の大きな値でのタイプ 0 境界 (有界性) を表します。R10 グリーン関数の境界値問題は次のように表されます。 ${\displaystyle \infty }$

このGFは他の場所でも入手可能です。^{[17] [18]}

2次元の例として、数値R01φ00は、r = aでタイプ1（ディリクレ）境界条件を持つ、角度依存性のある固体円筒内のグリーン関数を表します。ここで、文字φは角度（方位角）座標を表し、数値00は角度のゼロ型境界を表します。ここでは、物理的な境界は周期境界条件の形をとりません。R01φ00グリーン関数の境界値問題は、次のように与えられます。

このGFには過渡的^[19]と定常的^[20]の両方の形式がある。

球面座標系の例として、数値 RS02 は、r = bでタイプ 2 (ノイマン) 境界条件を持つ固体球 ( 0 < r < b ) のグリーン関数を表します。ここで、文字RS は放射状球面座標系を表し、数値0 はr = 0でのゼロ番目の境界条件 (有界性) を表し、数値2はr = bでのタイプ 2 境界を表します。RS02 グリーン関数の境界値問題は次のように表されます。

このGFは他の場所でも入手可能です。^[21]

• 根本的な解決策
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