リーマン・ジーゲルのθ関数

数学では、リーマン・ジーゲル・シータ関数はガンマ関数を用いて次のように定義される。

${\displaystyle \theta (t)=\arg \left(\Gamma \left({\frac {1}{4}}+{\frac {it}{2}}\right)\right)-{\frac {\log \pi }{2}}t}$

tの実数値に対して 。ここでの引数は、連続関数が得られ、それが保持されるように選択されます。つまり、対数ガンマ関数の主枝が定義される のと同じ方法です。${\displaystyle \theta (0)=0}$

漸近展開を持つ

${\displaystyle \theta (t)\sim {\frac {t}{2}}\log {\frac {t}{2\pi }}-{\frac {t}{2}}-{\frac {\pi }{8}}+{\frac {1}{48t}}+{\frac {7}{5760t^{3}}}+\cdots }$

これは収束しないが、最初の数項は について良い近似を与える。 について収束する 0 におけるテイラー級数は、 ${\displaystyle t\gg 1}$${\displaystyle |t|<1/2}$

${\displaystyle \theta (t)=-{\frac {t}{2}}\log \pi +\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\psi ^{(2k)}\left({\frac {1}{4}}\right)}{(2k+1)!}}\left({\frac {t}{2}}\right)^{2k+1}}$

ここで、 はの多ガンマ関数を表します。リーマン・ジーゲル・シータ関数は、リーマン・ゼータ関数を回転させて臨界線上の完全に実数値のZ 関数にすることができるため、リーマン・ゼータ関数の研究において興味深いものです。 ${\displaystyle \psi^{(2k)}}$${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle s=1/2+it}$

リーマン・ジーゲル・シータ関数は、の実数値に対して奇数の実解析関数であり、およびに 3 つの根を持ちます。 に対しては増加関数であり、 に局所的極値を持ち、値は です。に1 つの変曲点を持ち、これが導関数の最小値です。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \pm 17.8455995405\ldots }$${\displaystyle |t|>6.29}$${\displaystyle \pm 6.289835988\ldots }$${\displaystyle \mp 3.530972829\ldots }$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \theta ^{\prime }(0)=-{\frac {\ln \pi +\gamma +\pi /2+3\ln 2}{2}}=-2.6860917\ldots }$

対数ガンマ関数 の無限級数表現がある。

${\displaystyle \log \Gamma \left(z\right)=-\gamma z-\log z+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n}}-\log \left(1+{\frac {z}{n}}\right)\right),}$

ここでγはオイラー定数である。zを代入し、虚数部を項ごとに取ると、θ(t )について次の 級数が得られる。${\displaystyle (2it+1)/4}$

${\displaystyle \theta (t)=-{\frac {\gamma +\log \pi }{2}}t-\arctan 2t+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {t}{2n}}-\arctan \left({\frac {2t}{4n+1}}\right)\right).}$

虚数部が -1 から 1 までの値の場合、逆正接関数は正則であり、この級数が虚数部が -1/2 から 1/2 までの領域内のコンパクト セットに一様に収束し、この領域で正則関数になることが容易にわかります。したがって、Z 関数もこの領域で正則であり、これが臨界ストリップになります。

個人情報は

${\displaystyle \arg z={\frac {\log z-\log {\bar {z}}}{2i}}\quad {\text{and}}\quad {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\bar {z}})}$

閉じた形式の式を得る

${\displaystyle \theta (t)={\frac {\log \Gamma \left({\frac {2it+1}{4}}\right)-\log \Gamma \left({\frac {-2it+1}{4}}\right)}{2i}}-{\frac {\log \pi }{2}}t=-{\frac {i}{2}}\left(\ln \Gamma \left({\frac {1}{4}}+{\frac {it}{2}}\right)-\ln \Gamma \left({\frac {1}{4}}-{\frac {it}{2}}\right)\right)-{\frac {\ln(\pi )t}{2}}}$

これは、元の定義をtの正則関数に拡張したものです。log Γ の主枝は負の実軸に沿って単一の分岐切断を持つため、この定義のθ ( t ) はi /2 より上および − i /2 より下の虚軸に沿った分岐切断を継承します。

臨界線上のリーマンゼータ関数は次のように書ける。

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=e^{-i\theta (t)}Z(t),}$

${\displaystyle Z(t)=e^{i\theta (t)}\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right).}$

が実数の場合、Z 関数は実数値を返します。 ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle Z(t)}$

したがって、臨界線上のゼータ関数は、 に対応するゼロ、または のとき に実数になります。後者の場合が発生する の正の実数値は、JP Gramにちなんでグラム点と呼ばれ、もちろん が整数である点 としても記述できます。 ${\displaystyle Z(t)=0}$${\displaystyle \sin \left(\,\theta (t)\,\right)=0}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\frac {\theta (t)}{\pi }}}$

グラムポイントは、 ${\displaystyle g_{n}}$

${\displaystyle \theta (g_{n})=n\pi .}$

これらの解は次のシーケンスで近似されます。

${\displaystyle g'_{n}={\frac {2\pi \left(n+1-{\frac {7}{8}}\right)}{W\left({\frac {1}{e}}\left(n+1-{\frac {7}{8}}\right)\right)}},}$

ここで、Lambert W 関数です。 ${\displaystyle W}$

最小の非負グラムポイントは次のとおりです。

インデックスnの選択は少々乱暴です。歴史的には、臨界線上のリーマン ゼータ関数の最小の正のゼロ (虚数部 14.13472515 ...) よりも大きい最初の値でインデックスが 0 になるように選択されています。この-関数は絶対的に小さい実数の引数に対して振動するため、区間 [-24,24] で一意に逆変換できないことに注意してください。したがって、奇数シータ関数は、インデックス -3 で値 0 を持つ対称グラム点を持ちます。グラム点は、のゼロを計算するときに役立ちます。グラム点では、${\displaystyle \theta }$${\displaystyle Z\left(t\right)}$${\displaystyle g_{n},}$

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+ig_{n}\right)=\cos(\theta (g_{n}))Z(g_{n})=(-1)^{n}Z(g_{n}),}$

そして、連続する2 つのグラム ポイントでこれが正である場合、その間隔内にゼロが存在する必要があります。 ${\displaystyle Z\left(t\right)}$

グラムの法則によれば、実数部は通常は正ですが、虚数部はグラム点と交互に、ある程度一定の間隔で正と負の値になります。

${\displaystyle (-1)^{n}Z(g_{n})>0}$

0からTまでの帯状の根の数、は次のように求められる。 ${\displaystyle N(T)}$

${\displaystyle N(T)={\frac {\theta (T)}{\pi }}+1+S(T),}$

ここで、 はのように漸近的に増加する誤差項です。 ${\displaystyle S(T)}$${\displaystyle \log T}$

がグラムの法則に従う場合にのみ、ストリップ内の根の数を求めることは単純に次のようになる。 ${\displaystyle g_{n}}$

${\displaystyle N(g_{n})=n+1.}$

今日、長期的には、グラムの法則は、リーマン ゼータ関数のゼロを 1 つだけ含むグラム間隔の約 1/4 で破綻することが分かっています。グラムは、より大きなインデックスでは破綻するかもしれないと懸念し (最初の失敗は 127 番目のゼロの前のインデックス 126 です)、あまり高くないインデックスに対してのみこれを主張しました。後にハッチンソンは、臨界線上のすべてのゼロはグラム ポイントによって分離されるという (誤った) 主張に対して、 グラムの法則というフレーズを作り出しました。

• Z関数

• エドワーズ、HM（1974）、リーマンのゼータ関数、ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 978-0-486-41740-0、MR  0466039
• Gabcke, W. (1979)、Neue Herleitung und explizierte Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel。ゲッティンゲン大学の論文。改訂版 (eDiss Göttingen 2015)
• Gram, JP (1903)、「Note sur les zéros de la fonction ζ(s) de Riemann」(PDF)、Acta Mathematica、27 (1): 289–304、doi : 10.1007/BF02421310

• ワイスタイン、エリック W.「リーマン・シーゲル関数」。マスワールド。
• Wolfram Research – リーマン・ジーゲル シータ関数 (関数のプロットと評価を含む)