後退オイラー法

数値解析と科学計算において、後退オイラー法（または暗黙的オイラー法）は、常微分方程式を解く最も基本的な数値法の 1 つです。これは（標準）オイラー法に似ていますが、暗黙的方法であるという点で異なります。後退オイラー法には、時間に関して 1 オーダーの誤差があります。

常微分方程式を考える

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=f(t,y)}$

初期値を持つここで、関数と初期データおよび は既知です。関数 は実変数 に依存し、 は未知です。数値法では、が を近似するようなシーケンスが生成されます。ここで はステップ サイズと呼ばれます。 ${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle t}$${\displaystyle y_{0},y_{1},y_{2},\ldots }$${\displaystyle y_{k}}$${\displaystyle y(t_{0}+kh)}$${\displaystyle h}$

後退オイラー法は近似値を計算する。

${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}+hf(t_{k+1},y_{k+1})。}$ ^[1]

これは、順方向法では の代わりにを使用するという点で、(順方向)オイラー法とは異なります。 ${\displaystyle f(t_{k},y_{k})}$${\displaystyle f(t_{k+1},y_{k+1})}$

後退オイラー法は暗黙的な方法です。新しい近似値は方程式の両辺に現れるため、この方法では未知数 の代数方程式を解く必要があります。非スティフな問題の場合、これは固定小数点反復法で実行できます。 ${\displaystyle y_{k+1}}$${\displaystyle y_{k+1}}$

${\displaystyle y_{k+1}^{[0]}=y_{k},\quad y_{k+1}^{[i+1]}=y_{k}+hf(t_{k+1},y_{k+1}^{[i]}).}$

このシーケンスが収束する場合（与えられた許容範囲内で）、この方法はその限界を新しい近似値として採用します 。^[2]${\displaystyle y_{k+1}}$

あるいは、ニュートン・ラプソン法（の多少の修正）を使用して代数方程式を解くこともできます。

からまでの微分方程式を積分すると、 ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=f(t,y)}$${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle t_{n+1}=t_{n}+h}$

${\displaystyle y(t_{n+1})-y(t_{n})=\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))\,\mathrm {d} t.}$

ここで、右側の積分を右側長方形法（長方形を 1 つ使用）で近似します。

${\displaystyle y(t_{n+1})-y(t_{n})\approx hf(t_{n+1},y(t_{n+1})).}$

最後に、近似値となるはずのを使用すると、後退オイラー法の式が得られます。^[3]${\displaystyle y_{n}}$${\displaystyle y(t_{n})}$

右側の長方形ルールの代わりに左側の長方形ルールを使用する場合、同じ論理により (標準) オイラー法が導かれます。

後退オイラー法の局所的打ち切り誤差（1ステップで生じる誤差として定義）は、ビッグオー記法 を使用するとです。特定の時間における誤差は です。これは、この方法が1 次であることを意味します。一般に、LTE（局所的打ち切り誤差）を持つ方法はk次の方法 であると言われています。${\displaystyle O(h^{2})}$${\displaystyle t}$${\displaystyle O(h^{2})}$${\displaystyle O(h^{k+1})}$

後退オイラー法の絶対安定領域は、図に示すように、半径1で中心が1の円板の複素平面内の補領域です。^{[4]これには複素平面の左半分全体が含まれるため、}硬い方程式の解法に適しています。^[5]実際、後退オイラー法はL安定ですらあります。

後方オイラー法による離散安定システムの領域は、Z平面上の(0.5, 0)に位置する半径0.5の円である。^[6]

後退オイラー法は、（前進）オイラー法の変形です。他の変形には、半暗黙的オイラー法と指数オイラー法があります。

後方オイラー法は、ブッチャー図法で説明される 1 段階の ルンゲ・クッタ法として考えることができます。

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}1&1\\\hline &1\\\end{array}}}$

この方法は、1 つのステップを持つ線形多段階法とみなすこともできます。これは、アダムス-モールトン法のファミリーの最初の方法であり、後退微分公式のファミリーの最初の方法でもあります。

• クランク・ニコルソン法

• ブッチャー、ジョン C. (2003)、常微分方程式の数値解析法、ニューヨーク：ジョン ワイリー アンド サンズ、ISBN 978-0-471-96758-3。