順序付き加重平均

応用数学、特にファジー論理において、順序付き加重平均（OWA）演算子は、平均型集計演算子のパラメータ化されたクラスを提供します。これらは、ロナルド・R・ヤガーによって導入されました。^{[1] [2]最大値、}算術平均、中央値、最小値 などの多くの有名な平均演算子は、このクラスのメンバーです。これらは、言語的に表現された集計命令をモデル化できるため、 計算知能で広く使用されています。

次元のOWA演算子は、単位区間内にある 重みの集合が関連付けられていて、合計が1であり、${\displaystyle \n}$${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle \ W=[w_{1},\ldots ,w_{n}]}$

${\displaystyle F(a_{1},\ldots ,a_{n})=\sum _{j=1}^{n}w_{j}b_{j}}$

ここで、 はj^番目に大きいです。 ${\displaystyle b_{j}}$${\displaystyle a_{i}}$

異なるW を選択することで、異なる集約演算子を実装できます。OWA 演算子は、 b _{j を}決定するプロセスの結果として非線形演算子になります。

${\displaystyle \ F(a_{1},\ldots ,a_{n})=\max(a_{1},\ldots ,a_{n})}$もしも​​${\displaystyle \w_{1}=1}$${\displaystyle \w_{j}=0}$${\displaystyle j\neq 1}$

${\displaystyle \ F(a_{1},\ldots ,a_{n})=\min(a_{1},\ldots ,a_{n})}$もしも​​${\displaystyle \w_{n}=1}$${\displaystyle \w_{j}=0}$${\displaystyle j\neq n}$

${\displaystyle \ F(a_{1},\ldots ,a_{n})=\mathrm {平均} (a_{1},\ldots ,a_{n})}$全ての人にとって${\displaystyle \ w_{j}={\frac {1}{n}}}$${\displaystyle j\in [1,n]}$

OWA 演算子は平均演算子です。以下に定義されるように、これは有界、単調、対称、およびべき等です。

OWA演算子を特徴付けるために2つの特徴が使われてきました。1つ目は態度特性、またはornessとも呼ばれるものです。^[1]これは次のように定義されます 。

${\displaystyle AC(W)={\frac {1}{n-1}}\sum _{j=1}^{n}(nj)w_{j}.}$

ということが知られています。 ${\displaystyle AC(W)\in [0,1]}$

さらに、 A  −  C (max) = 1、A − C(ave) = A − C(med) = 0.5、A − C(min) = 0 です。したがって、Max から Min の集計に進むと、A − C は 1 から 0 になります。態度特性は、集計と OR 演算の類似性を特徴付けます (OR は Max として定義されます)。

2つ目の特徴は分散です。これは次のように定義されます。

${\displaystyle H(W)=-\sum _{j=1}^{n}w_{j}\ln(w_{j}).}$

別の定義は、分散は引数がどの程度均一に使用されているかを特徴付けるというものです。 ${\displaystyle E(W)=\sum _{j=1}^{n}w_{j}^{2}.}$

上記のYagerのOWA演算子は、明確な値を集約するために使用されます。OWAメカニズムでファジーセットを集約することはできるでしょうか？ この目的のためにタイプ1 OWA演算子が提案されています。^{[3] [4]} したがって、タイプ1 OWA演算子は、ソフト意思決定とデータマイニングにおいて、不確実なオブジェクトがファジーセットでモデル化されているときに、不確実な情報を不確実な重みで直接集約するための新しい手法を提供します。

タイプ1 OWA 演算子は、ファジー セットのアルファ カットに従って次のように定義されます。

談話領域 で定義されたファジィ集合の形でn 個の言語重みが与えられると、各 に対して、ファジィ集合の -カットを集約するための-レベル集合を持つ -レベル1型OWA演算子が次のように与えられる。 ${\displaystyle \left\{{W^{i}}\right\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle U=[0,\;\;1]}$${\displaystyle \alpha \in [0,\;1]}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \left\{{W_{\alpha }^{i}}\right\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \left\{{A^{i}}\right\}_{i=1}^{n}}$

${\displaystyle \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\ldots ,A_{\alpha }^{n}}\right)=\left\{{{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}a_{\sigma (i)}}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}}}}\left|{w_{i}\in W_{\alpha }^{i},\;a_{i}}\right.\in A_{\alpha }^{i},\;i=1,\ldots ,n}\right\}}$

ここで、 、および は、となるような順列関数です。 つまり、 は集合 の中で 番目の最大要素です。${\displaystyle W_{\alpha}^{i}=\{w|\mu _{W_{i}}(w)\geq \alpha \},A_{\alpha}^{i}=\{x|\mu _{A_{i}}(x)\geq \alpha \}}$${\displaystyle \sigma :\{\;1,\ldots ,n\;\}\to \{\;1,\ldots ,n\;\}}$${\displaystyle a_{\sigma (i)}\geq a_{\sigma (i+1)},\;\forall \;i=1,\ldots ,n-1}$${\displaystyle a_{\sigma (i)}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \left\{{a_{1},\ldots ,a_{n}}\right\}}$

タイプ 1 OWA出力の計算は、 区間: およびの左端点と右端点を計算することによって実装されます。この場合、結果として得られる集約ファジー セットのメンバーシップ関数は次のようになります。 ${\displaystyle \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\ldots ,A_{\alpha }^{n}}\right)}$${\displaystyle \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\ldots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{-}}$${\displaystyle \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\ldots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{+},}$${\displaystyle A_{\alpha }^{i}=[A_{\alpha -}^{i},A_{\alpha +}^{i}],W_{\alpha }^{i}=[W_{\alpha -}^{i},W_{\alpha +}^{i}]}$

${\displaystyle \mu _{G}(x)=\mathop {\vee } _{\alpha :x\in \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\cdots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{\alpha }}\alpha }$

左端点については、次のプログラミング問題を解決する必要があります。

${\displaystyle \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\cdots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{-}=\min \limits _{\begin{array}{l}W_{\alpha -}^{i}\leq w_{i}\leq W_{\alpha +}^{i}A_{\alpha -}^{i}\leq a_{i}\leq A_{\alpha +}^{i}\end{array}}\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}a_{\sigma (i)}/\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}}}}$

適切なエンドポイントについては、次のプログラミング問題を解決する必要があります。

${\displaystyle \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\cdots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{+}=\max \limits _{\begin{array}{l}W_{\alpha -}^{i}\leq w_{i}\leq W_{\alpha +}^{i}A_{\alpha -}^{i}\leq a_{i}\leq A_{\alpha +}^{i}\end{array}}\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}a_{\sigma (i)}/\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}}}}$

この論文^[5]では、タイプ1 OWA集約操作を効率的に実行できるように、2つのプログラミング問題を高速に解決する方法を提示しました。

Amanatidis、Barrot、Lang、Markakis、Ries ^{[6]は、OWAと}ハミング距離に基づいた複数課題投票の投票ルールを提示している。Barrot、Lang、Yokooo ^[7]は、これらのルールの操作可能性を研究している。

• Liu, X.、「OWA 演算子のミニマックス不一致問題と最小分散問題の解の等価性」、International Journal of approximate Reasoning 45、68–81、2007 年。
• Torra, V. および Narukawa, Y.、「モデリング決定: 情報融合および集約演算子」、Springer: ベルリン、2007 年。
• Majlender, P.、「最大 Rényi エントロピーを持つ OWA 演算子」、Fuzzy Sets and Systems 155、340–360、2005 年。
• Szekely, GJ および Buczolich, Z.、「順序付けられたサンプル要素の加重平均が位置パラメータの最大尤度推定値となるのはいつですか?」Advances in Applied Mathematics 10、1989、439–456。