単調関数の不連続性

解析学の分野 では、実変数の単調な実数値関数の不連続点の集合を説明する定理がよく知られています。このような（単調な）関数のすべての不連続点は必然的にジャンプ不連続点であり、その数はせいぜい可算数個しかありません。

通常、この定理は文献では名前なしで登場する。最近のいくつかの著作ではフローダの定理と呼ばれている。1929年の博士論文で、アレクサンドル・フローダは、この結果は以前からよく知られており、便宜上独自の初歩的な証明を提供したと述べている。 [1] 不連続性に関する以前の研究は、フランスの数学者ジャン・ガストン・ダルブーの1875年の回想録ですでに議論されていた。^{[2 ]}

左からの極限を で 表し 、右からの極限を で表す。 $${\displaystyle f\left(x^{-}\right):=\lim _{z\nearrow x}f(z)=\lim _{\stackrel {h\to 0}{h>0}}f(xh)}$$$${\displaystyle f\left(x^{+}\right):=\lim _{z\searrow x}f(z)=\lim _{\stackrel {h\to 0}{h>0}}f(x+h).}$$

とが存在し、かつ有限である場合、その差はジャンプ^[3]と呼ばれる。${\displaystyle f\left(x^{+}\right)}$${\displaystyle f\left(x^{-}\right)}$${\displaystyle f\left(x^{+}\right)-f\left(x^{-}\right)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x.}$

点の近傍で定義された実数値関数 を考える。が点で不連続である場合、不連続性は除去可能な不連続性、または本質的な不連続性、またはジャンプ不連続性（第1種の不連続性とも呼ばれる）のいずれかになります。^[4] 関数が で連続である場合、でのジャンプはゼロです。さらに、が で連続でない場合、 でのジャンプはでゼロになることがあります。${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f\left(x^{+}\right)=f\left(x^{-}\right)\neq f(x).}$

を区間上で定義された実数値の単調関数とします。この場合、第一種の不連続点の集合は最大で可算 になります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I.}$

^{[5] [3]}から、区間上で定義された単調な実数値関数のすべての不連続点はジャンプ不連続であり、したがって、我々の定義によれば第一種であることが証明できる。この注釈により、定理はより強い形をとる。

を区間上で定義された単調関数とすると、不連続点の集合は最大で可算数になります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle I.}$

この証明は、関数の定義域が閉じた有界区間である特殊なケースを証明することから始まります^{[6] [7]}一般的なケースの証明はこの特殊なケースから得られます。 ${\displaystyle [a,b].}$

この特殊なケースの証明は 2 つあります。

を区間とし、を非減少関数（増加関数など）とします。すると、 任意の に対して、およびを のジャンプがより大きいか等しい内の点とします。 ${\displaystyle I:=[a,b]}$${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle a<x<b,}$ $${\displaystyle f(a)~\leq ~f\left(a^{+}\right)~\leq ~f\left(x^{-}\right)~\leq ~f\left(x^{+}\right)~\leq ~f\left(b^{-}\right)~\leq ~f(b).}$$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle I}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle f\left(x_{i}^{+}\right)-f\left(x_{i}^{-}\right)\geq \alpha ,\ i=1,2,\ldots ,n}$$

いずれの場合も 、したがって 、 したがって${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n,}$ ${\displaystyle f\left(x_{i}^{+}\right)\leq f\left(x_{i+1}^{-}\right)}$${\displaystyle f\left(x_{i+1}^{-}\right)-f\left(x_{i}^{+}\right)\geq 0.}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}f(b)-f(a)&\geq f\left(x_{n}^{+}\right)-f\left(x_{1}^{-}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left[f\left(x_{i}^{+}\right)-f\left(x_{i}^{-}\right)\right]+\sum _{i=1}^{n-1}\left[f\left(x_{i+1}^{-}\right)-f\left(x_{i}^{+}\right)\right]\\&\geq \sum _{i=1}^{n}\left[f\left(x_{i}^{+}\right)-f\left(x_{i}^{-}\right)\right]\\&\geq n\alpha \end{alignedat}}}$$${\displaystyle n\leq {\frac {f(b)-f(a)}{\alpha }}.}$

ジャンプがより大きいポイントの数は有限です（ゼロの可能性もあります）。 ${\displaystyle f(b)-f(a)<\infty }$${\displaystyle \alpha }$

次のセットを定義します。 $${\displaystyle S_{1}:=\left\{x:x\in I,f\left(x^{+}\right)-f\left(x^{-}\right)\geq 1\right\},}$$ $${\displaystyle S_{n}:=\left\{x:x\in I,{\frac {1}{n}}\leq f\left(x^{+}\right)-f\left(x^{-}\right)<{\frac {1}{n-1}}\right\},\ n\geq 2.}$$

各集合は有限集合または空集合です。和集合 にはジャンプが正であるすべての点が含まれ、したがって不連続のすべての点が含まれます。すべての集合は最大で可算なので、それらの和集合も最大で可算です。 ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle S=\bigcup _{n=1}^{\infty }S_{n}}$${\displaystyle S_{i},\ i=1,2,\ldots }$${\displaystyle S}$

が非増加（または減少）の場合も証明は同様です。これで、関数の定義域が閉じた有界区間である特殊なケースの証明が完了します。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \blacksquare }$

単調関数 について、 は単調非減少であることを意味し、 は単調非増加であることを意味します。 は単調関数であり、 はにおける不連続 (必然的にジャンプ不連続) となるの領域内のすべての点の集合を表します。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f\nearrow }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\swarrow }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle D}$${\displaystyle d\in [a,b]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

は でジャンプ不連続を持つため、その中間に厳密に位置する有理数が存在します(具体的には、の場合はとなるように選択し、 の場合はとなるように選択します)。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle d\in D,}$ ${\displaystyle f\left(d^{-}\right)\neq f\left(d^{+}\right)}$ ${\displaystyle y_{d}\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle f\left(d^{-}\right){\text{ and }}f\left(d^{+}\right)}$${\displaystyle f\nearrow }$${\displaystyle y_{d}\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle f\left(d^{-}\right)<y_{d}<f\left(d^{+}\right)}$${\displaystyle f\searrow }$${\displaystyle y_{d}\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle f\left(d^{-}\right)>y_{d}>f\left(d^{+}\right)}$

ここで、が異なる場合、 となることが示されます。 となる場合、となる ため、 と なる一方、 となる場合、 となるため、 となることが示されます 。 いずれにしても、${\displaystyle d,e\in D}$${\displaystyle d<e,}$${\displaystyle y_{d}\neq y_{e}.}$${\displaystyle f\nearrow }$${\displaystyle d<e}$${\displaystyle f\left(d^{+}\right)\leq f\left(e^{-}\right)}$${\displaystyle y_{d}<f\left(d^{+}\right)\leq f\left(e^{-}\right)<y_{e}.}$${\displaystyle f\searrow }$${\displaystyle d<e}$${\displaystyle f\left(d^{+}\right)\geq f\left(e^{-}\right)}$${\displaystyle y_{d}>f\left(d^{+}\right)\geq f\left(e^{-}\right)>y_{e}.}$${\displaystyle y_{d}\neq y_{e}.}$

したがって、すべての は一意の有理数に関連付けられます（言い換えると、によって定義される写像は単射です）。は可算なので、 についても同じことが言えます。${\displaystyle d\in D}$${\displaystyle D\to \mathbb {Q} }$${\displaystyle d\mapsto y_{d}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle D.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

(単調な実数値関数)の定義域が、可算個数の閉有界区間の和集合に等しいと仮定します。その定義域は(これらの閉有界区間^[a]には条件が課せられません) であるとします。上で証明した特殊なケースから、すべてのインデックスに対して、 の区間への制限には、最大で可算個の不連続点があることがわかります。この (可算な) 不連続集合を で表します。が定義域内の点で不連続である 場合、 はこれらの区間の 1 つの端点に等しいか (つまり、 )、そうでなければとなるインデックスが存在し、その場合 はの不連続点である必要があります(つまり、 )。したがって、で が不連続であるすべての点の集合はのサブセットであり、 は可算集合です (可算個数の可算集合の和集合であるため)。したがって、そのサブセットも可算である必要があります (可算集合のすべてのサブセットは可算であるため)。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \bigcup _{n}\left[a_{n},b_{n}\right]}$${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{\left[a_{n},b_{n}\right]}:\left[a_{n},b_{n}\right]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \left[a_{n},b_{n}\right]}$${\displaystyle D_{n}.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}\in \bigcup _{n}\left[a_{n},b_{n}\right]}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}\in \left\{a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\ldots \right\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{n}<x_{0}<b_{n},}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f{\big \vert }_{\left[a_{n},b_{n}\right]}}$${\displaystyle x_{0}\in D_{n}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \left\{a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\ldots \right\}\cup \bigcup _{n}D_{n},}$${\displaystyle D}$

特に、実数のすべての区間（開区間および半開/閉区間を含む）は、閉区間と有界区間の可算な和集合として表すことができるため、区間上で定義された単調な実数値関数には、最大で可算な数の不連続点があることになります。

この議論をより具体的にするために、 の定義域が閉じておらず有界でもない区間（したがってハイン・ボレルの定理によりコンパクトではない）であると仮定します。すると、区間は、任意の 2 つの連続する区間が共通の端点を持つという特性を持つ、閉じた有界区間の可算和として記述できます。の 場合、 が次のようになる厳密な減少列である場合、または の場合も同様に、 任意の区間には最大で可算個の不連続点があり、最大で可算集合の可算和は最大で可算であるため、すべての不連続点の集合も最大で可算であることがわかります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle I=\cup _{n=1}^{\infty }I_{n}.}$${\displaystyle I=(a,b]{\text{ with }}a\geq -\infty }$${\displaystyle I_{1}=\left[\alpha _{1},b\right],\ I_{2}=\left[\alpha _{2},\alpha _{1}\right],\ldots ,I_{n}=\left[\alpha _{n},\alpha _{n-1}\right],\ldots }$${\displaystyle \left(\alpha _{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle \alpha _{n}\rightarrow a.}$${\displaystyle I=[a,b),{\text{ with }}b\leq +\infty }$${\displaystyle I=(a,b){\text{ with }}-\infty \leq a<b\leq \infty .}$${\displaystyle I_{n},}$${\displaystyle \blacksquare }$

例。x 1 < x 2 _< x 3 _{< ⋅⋅⋅ をコンパクトな区間 [} a , b ]の可算な部分集合とし、μ ₁、μ ₂、μ _{3 、...を}有限和を持つ正の数列とします。

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{n}\chi _{[x_{n},b]}(x)}$

ここで、 χ _{A は}コンパクトな区間Aの特性関数を表す。するとf は[ a , b ]上の非減少関数となり、 n ≥ 1のx _nにおけるジャンプ不連続を除いて連続となる。ジャンプ不連続が有限個ある場合、f はステップ関数となる。上記の例は一般化されたステップ関数であり、ジャンプ関数またはサルタス関数と呼ばれるものの非常に特殊なケースである。^{[8] [9]}

より一般的には、単調関数の解析は、Abel、Jordan、Darboux を始めとして多くの数学者によって研究されてきました。Riesz & Sz.-Nagy (1990) に従い、必要に応じて関数をその負数に置き換えれば、非負の非減少関数の場合のみを考慮する必要があります。ドメイン [ a , b ] は有限であるか、または端点として ∞ または −∞ を持つことができます。

主な課題は、与えられた可算な点の集合で不連続性を持ち、各点で左右の不連続性が規定されている単調関数（一般化ステップ関数）を構築することです。x _n ( n ≥ 1) が ( a , b ) にあり、 λ ₁、 λ ₂、 λ ₃、... および μ ₁、 μ ₂、 μ ₃、... が負で有限和を持ち、各nについて λ _n + μ _n > 0であるものとします。定義

${\displaystyle f_{n}(x)=0\,\,}$のために のために${\displaystyle \,\,x<x_{n},\,\,f_{n}(x_{n})=\lambda _{n},\,\,f_{n}(x)=\lambda _{n}+\mu _{n}\,\,}$${\displaystyle \,\,x>x_{n}.}$

次に、ジャンプ関数、またはソルタス関数は次のように定義されます。

${\displaystyle f(x)=\,\,\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)=\,\,\sum _{x_{n}\leq x}\lambda _{n}+\sum _{x_{n}<x}\mu _{n},}$

は[ a , b ]上で非減少であり、 _n≥1のxnでのジャンプ不連続を除いて連続である。[ ^10] [ ^{11] [12] [13]}

これを証明するには、 sup | f _n | = λ _n + μ _nであることに注意し、Σ f _{n が}fに一様収束することを確認します。極限まで進むと、 次の式が成り立ちます。

${\displaystyle f(x_{n})-f(x_{n}-0)=\lambda _{n},\,\,\,f(x_{n}+0)-f(x_{n})=\mu _{n},\,\,\,}$そして${\displaystyle \,\,f(x\pm 0)=f(x)}$

xがxn_のどれでもない場合。^[10]

逆に、ルベーグの微分定理により、ジャンプ関数fは、次の特性によって一意に決定されます。^[14] (1)非減少かつ非正であること。(2)不連続点_xnでジャンプデータが与えられていること。(3)境界条件f ( a )=0を満たすこと。(4)ほぼすべての場所で導関数がゼロであること。

Riesz & Sz.-Nagy (1990)で説明されているように、すべての非減少非負関数Fは、ジャンプ関数fと連続単調関数gの和として一意に分解できます。ジャンプ関数fは、元の単調関数Fのジャンプデータを使用して構築され、 g = F − fが連続かつ単調であることは簡単に確認できます。^[10]

• 連続関数 – 突然の変化がない数学関数
• 有界変化 – 有限の総変化を持つ実関数
• 単調関数

• アポストル、トム M. (1957)。『数学的分析：高度な微積分への現代的アプローチ』アディソン・ウェズレー。pp. 162–163。MR  0087718。
• Boas, Ralph P. Jr. (1961). 「ジャンプ関数の微分可能性」(PDF) . Colloq. Math . 8 : 81–82. doi :10.4064/cm-8-1-81-82. MR  0126513.
• ボアズ、ラルフ P. ジュニア (1996)。 「22. 単調関数」。実関数の入門書。カラス数学モノグラフ。 Vol. 13（第4版）。まー。 158–174ページ。ISBN 978-1-61444-013-0。(サブスクリプションが必要です)
• Burkill, JC (1951)。ルベーグ積分。ケンブリッジ数学・数理物理学論文集。第40巻。ケンブリッジ大学出版局。MR  0045196。
• エドガー、ジェラルド A. (2008)。「位相次元」。測度、位相、フラクタル幾何学。数学の学部テキスト(第 2 版)。Springer -Verlag。pp . 85–114。ISBN 978-0-387-74748-4MR  2356043 。
• ゲルバウム、バーナード R. ; オルムステッド、ジョン MH (1964)、「18: 不連続点が任意の可算な (おそらく密な) 集合を形成する単調関数」、分析における反例、マセシス シリーズ、サンフランシスコ、ロンドン、アムステルダム: ホールデン デイ、p. 28、MR  0169961; 2003年にドーバー社より再版
• ホブソン、アーネスト W. (1907)。実変数関数の理論とそのフーリエ級数。ケンブリッジ大学出版局。245 ページ。
• Komornik, Vilmos (2016)。「4. 単調関数」。関数解析とルベーグ積分に関する講義。Universitext。Springer -Verlag。pp . 151–164。ISBN 978-1-4471-6810-2MR  3496354 。
• リピンスキー、JS (1961)。 「ソート機能の単純なデモンストレーション」(PDF)。コロク。数学。（フランス語で）。8 (2): 251–255。ドイ：10.4064/cm-8-2-251-255。MR  0158036。
• Łojasiewicz, Stanisław (1988)。「1 .有界変動関数」実関数理論入門。GH Lawden 訳 (第 3 版)。チチェスター: John Wiley & Sons。pp. 10–30。ISBN 0-471-91414-2. MR  0952856。
• Natanson、Isidor P. (1955)、「III. 有限変分の関数。Stieltjes 積分」、実数変数の関数の理論、第 1 巻。 1、レオ F. ボロン訳、ニューヨーク: Frederick Ungar、204 ～ 206 ページ、MR  0067952
• ニコレスク、M. ;ディンクレアヌ、N.マーカス、S. (1971)、AnaizĎ Matematică (ルーマニア語)、vol. I (第 4 版)、ブカレスト: Editura Didactică şi Pedagogică、p. 783、MR  0352352
• オルムステッド、ジョン MH (1959)、「実変数: 関数理論入門」、アップルトン センチュリー数学シリーズ、ニューヨーク: アップルトン センチュリー クロフト、演習 29、p. 59、MR  0117304
• Riesz, フリジェス州; Sz.-Nagy、Béla (1990)。 「サルタス関数」。機能分析。レオ・F・ボロン訳。ドーバーブックス。 13～15ページ。ISBN 0-486-66289-6MR  1068530 。1955 年のオリジナルの復刻版。
• Saks, Stanisław (1937)。「III. 有界変化の関数とルベーグ・スティルチェス積分」(PDF)。積分の理論。Monografie Matematyczne。第 VII 巻。LC Young 訳。ニューヨーク: GE Stechert。pp. 96–98。
• Rubel, Lee A. (1963). 「単調関数の微分可能性」(PDF) . Colloq. Math . 10 (2): 277–279. doi :10.4064/cm-10-2-277-279. MR  0154954.
• ルディン、ウォルター（1964）、数学解析の原理（第2版）、ニューヨーク：マグロウヒル、MR  0166310
• フォン・ノイマン、ジョン( 1950)。「IX. 単調関数」。関数演算子。I. 測度と積分。数学研究年報。第 21 巻。プリンストン大学出版。pp. 63–82。doi :10.1515 / 9781400881895。ISBN 978-1-4008-8189-5. MR  0032011.
• ヤング、ウィリアム・ヘンリー; ヤング、グレース・チザム (1911)。「微分係数の存在について」。ロンドン数学会誌2. 9 (1): 325–335. doi :10.1112/plms/s2-9.1.325。