焦点（ゲーム理論）

スタールとウィルソンは、プレイヤーが他のプレイヤーの行動を予測しようとするため、焦点が形成されると主張する。彼らは、プレイヤーが持つ「合理的期待」のレベルを、

1. 他のプレイヤーの行動に関する事前知識（モデル）を形成する。
2. これらの事前情報に基づいて、最適な回答を選択してください。

レベル 0 のプレイヤーは、他のプレイヤーの行動に関係なく行動を選択します。レベル 1 のプレイヤーは、他のすべてのプレイヤーがレベル 0 タイプであると信じています。レベルn のプレイヤーは、他のすべてのプレイヤーがレベル 0、1、2、...、n  −  1 タイプであると推定します。実験データに基づくと、ほとんどのプレイヤーは、他のすべてのプレイヤーの行動を予測するために 1 つのモデルのみを使用します。タイプの階層は無限である可能性がありますが、より高いレベルのメリットは大幅に減少し、はるかに大きなコストが発生します。^{[ 4 ]}プレイヤーの期待レベルと事前確率の制限により、コミュニケーションのないゲームで均衡に達することが可能です。

バカラックは、協力ゲームでは個人としてではなくチームの一員として行動するため、人々は焦点を見つけることができると主張した。^{[ 6 ]}アイデンティティが変わると、プレイヤーはグループの利益を最大化するために、架空のグループリーダーの指示に従う。

ここに、焦点の存在を証明するためにシェリングが提起した質問の一部を示します。^{[ 2 ]}

1. 表裏ゲーム：「表」か「裏」かを答えます。2人のプレイヤーが同じ答えをすれば賞品を獲得できますが、そうでなければ何ももらえません。
2. 文字順ゲーム：文字A、B、Cに順番をつけましょう。3人のプレイヤーが同じ順番をつけたら賞品がもらえますが、そうでなければ何ももらえません。
3. 賞金分配ゲーム：2人のプレイヤーが100ドルを分け合う。まず、それぞれが自分の希望額を紙に書き出す。希望額の合計が100ドル以下であれば、両者とも希望額と同額を受け取るが、合計が100ドルを超える場合は、何も受け取れない。

非公式な実験の結果は

1. 表裏ゲームにおいて、プレイヤーAとBの2人のうち、Aは22人中16人、Bは22人中15人が「表」を選んだ。
2. 文字順ゲームでは、A、B、Cの3人のプレイヤーが参加しました。12人中9人のA、12人中10人のB、16人中14人のCが「ABC」と書きました。
3. プレイヤーが100ドルの一部を受け取るためには、40人中36人が50ドルを選択し、残りの2人が49ドルと49.99ドルを選択しました。

これらのゲームは、焦点となる点が何らかの顕著性を持っていることを示唆している。これらの特徴により、焦点となる点は人々にとって好ましい選択肢となる。さらに、人々は互いにその顕著性に気づいて同じ決定を下すだろうと考えるだろう。^{[ 3 ]}

簡単な例を挙げると、互いに意思疎通ができない2人がそれぞれ4つのマス目が並んだパネルを見せられ、その中から1つを選ぶように求められます。2人が同じマス目を選んだ場合に限り、それぞれ賞品がもらえます。4つのマス目のうち3つは青、1つは赤です。2人は互いのことを何も知らないが、どちらも賞品を獲得したいと思っていると仮定すると、当然ながら2人とも赤いマス目を選ぶでしょう。

赤いマス目は、ある意味ではより良いマス目というわけではありません。どちらのマス目を選んでも勝つことができ、この意味では、すべてのマス目が厳密にはナッシュ均衡と言えます。赤いマス目が「正しい」選択となるのは、相手プレイヤーが必ずそのマス目を選んだと確信できる場合のみですが、仮定上、どちらのプレイヤーも確信することはできません。しかし、赤いマス目は最も目立つマス目であるため、他に選択肢がない場合、ほとんどのプレイヤーは赤いマス目を選び、実際、多くの場合、この選択は成功します。

焦点は現実生活にも応用できます。たとえば、2台の自転車が互いに向かって走っていて、衝突の危険にさらされていると想像してください。衝突を避けることは、各プレイヤーの選択が相手の選択に依存する協調ゲームになります。この場合、各プレイヤーは直進するか、左に曲がるか、右に曲がるかを選択できます。両方のプレイヤーは衝突を避けたいのですが、相手が何をするかはわかりません。^{[ 7 ]}この場合、右に曲がるという決定は、右-右の勝利結果につながる焦点として機能します。これは、右側通行を使用している場所では自然な焦点のように思えます。

この反協調ゲームの概念は、チキンゲームにも表れている。チキンゲームでは、2台の車が衝突コースで互いに向かって競走し、最初にハンドルを切ったドライバーは臆病者と見なされる一方、どちらのドライバーもハンドルを切らなければ、両方の車が致命的な衝突事故を起こすことになる。

「平均値の2/3を推測する」ゲームは、レベルn理論を実践的に示しています。このゲームでは、プレイヤーは0から100までの整数を推測し、それが全プレイヤーの推測値の平均値の2/3に最も近いと考えるようにします。各レベルを順に検討することで、ナッシュ均衡を見つけることができます。

• レベル0：平均値は[0, 100]の範囲内になります。
• レベル1：平均値は[0, 67]の範囲になり、これはレベル0の最大平均値の2/3に相当します。
• レベル2：平均値は[0, 45]の範囲となり、これはレベル1の最大平均値の2/3に相当します。
• レベル N: 他のすべてのプレイヤーが同様に推論すると仮定すると、最大平均の 2/3 は、${\displaystyle 100\cdot (2/3)^{N}.}$

Nが大きくなるにつれて、平均値の3分の2はゼロに近づく傾向にある。この時点で、唯一のナッシュ均衡は、すべてのプレイヤーが0を推測することである。

ゲームに繰り返し要素を加えることで、ナッシュ均衡解である0に焦点が当てられるようになります。これはカメラーによって「同じグループでゲームを複数回プレイすると、平均は0に近づく」と示されました。^{[ 5 ]}ゲームに反復要素を導入することで、すべてのプレイヤーはより高いレベルの思考を強いられ、全員が0に向かう傾向のある推測をすることができます。