固定効果モデル

統計学において、固定効果モデルは、モデルパラメータが固定または非ランダムな量である統計モデルです。これは、モデルパラメータのすべてまたは一部がランダム変数であるランダム効果モデルおよび混合モデルとは対照的です。計量経済学^[1]や生物統計学^{[2] [3] [4] [5] [6]}を含む多くのアプリケーションでは、固定効果モデルは、グループ平均が母集団からのランダムサンプルであるランダム効果モデルとは対照的に、グループ平均が固定（非ランダム）である回帰モデルを指します。 ^{[7] [6]}一般に、データはいくつかの観測された要因に従ってグループ化できます。グループ平均は、各グループ化に対して固定効果またはランダム効果としてモデル化できます。固定効果モデルでは、各グループ平均はグループ固有の固定量です。

同じ被験者に対して縦断的な観察が存在するパネル データでは、固定効果は被験者固有の平均を表します。パネル データ分析では、固定効果推定量(内部推定量とも呼ばれる) という用語は、それらの固定効果 (被験者ごとに 1 つの時間不変切片) を含む回帰モデルの係数の推定量を指すために使用されます。

このようなモデルは、観測されない異質性が時間経過に伴って一定である場合に、その異質性による欠落変数バイアスを制御するのに役立ちます。この異質性は、差分化によってデータから除去できます。たとえば、時間経過に伴うグループ レベルの平均を減算するか、モデルの時間不変コンポーネントを除去する最初の差分を取ることによって除去できます。

個人固有の効果については、ランダム効果仮定と固定効果仮定という 2 つの一般的な仮定がなされている。ランダム効果仮定は、個人固有の効果が独立変数と相関しないというものである。固定効果仮定は、個人固有の効果が独立変数と相関するというものである。ランダム効果仮定が成り立つ場合、ランダム効果推定量は固定効果推定量よりも効率的である。しかし、この仮定が成り立たない場合、ランダム効果推定量は一貫性がない。固定効果モデルとランダム効果モデルを区別するために、ダービン・ウー・ハウスマン検定がよく使用される。^{[8] [9]}

観測と期間 に対する線形非観測効果モデルを考えてみましょう。${\displaystyle N}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle y_{it}=X_{it}\mathbf {\beta } +\alpha _{i}+u_{it}}$および​${\displaystyle t=1,\dots ,T}$${\displaystyle i=1,\dots ,N}$

どこ：

• ${\displaystyle y_{it}}$は、時刻における個体について観測された従属変数です。${\displaystyle i}$${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle X_{it}}$時間変動（独立変数の数）の回帰ベクトルです。${\displaystyle 1\times k}$
• ${\displaystyle \beta}$パラメータの行列です。${\displaystyle k\times 1}$
• ${\displaystyle \alpha_{i}}$観察されない時間不変の個人効果です。たとえば、個人の生来の能力や、国の歴史的および制度的要因などです。
• ${\displaystyle u_{it}}$は誤差項です。

とは異なり、直接観察することはできません。 ${\displaystyle X_{it}}$${\displaystyle \alpha_{i}}$

観測されていない がすべての に対してから独立しているランダム効果モデルとは異なり、固定効果 (FE) モデルでは を回帰行列 と相関させることができます。特異な誤差項に関する厳密な外生性は依然として必要です。 ${\displaystyle \alpha_{i}}$${\displaystyle X_{it}}$${\displaystyle t=1,...,T}$${\displaystyle \alpha_{i}}$${\displaystyle X_{it}}$${\displaystyle u_{it}}$

は観測できないため、直接制御することはできません。FE モデルは、within変換を使用して変数の意味を消去することで、これを排除します。 ${\displaystyle \alpha_{i}}$${\displaystyle \alpha_{i}}$

${\displaystyle y_{it}-{\overline {y}}_{i}=\left(X_{it}-{\overline {X}}_{i}\right)\beta +\left(\alpha _{i}-{\overline {\alpha }}_{i}\right)+\left(u_{it}-{\overline {u}}_{i}\right)\implies {\ddot {y}}_{it}={\ddot {X}}_{it}\beta +{\ddot {u}}_{it}}$

ここで、、、およびです。 ${\displaystyle {\overline {y}}_{i}={\frac {1}{T}}\sum \limits _{t=1}^{T}y_{it}}$${\displaystyle {\overline {X}}_{i}={\frac {1}{T}}\sum \limits _{t=1}^{T}X_{it}}$${\displaystyle {\overline {u}}_{i}={\frac {1}{T}}\sum \limits _{t=1}^{T}u_{it}}$

は定数なので、その効果は排除されます。FE推定値は、のOLS回帰によって得られます。 ${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle {\overline {\alpha _{i}}}=\alpha _{i}}$${\displaystyle {\hat {\beta }}_{FE}}$${\displaystyle {\ddot {y}}}$${\displaystyle {\ddot {X}}}$

内部変換には、バリエーションを伴った少なくとも 3 つの代替手段が存在します。

1つは、各個体にダミー変数を追加することです（多重共線性のため最初の個体は省略します）。これは数値的には固定効果モデルと同等ですが、計算上は同等ではなく、系列数とグローバルパラメータ数の合計が観測数よりも小さい場合にのみ機能します。^[10]ダミー変数アプローチは、コンピュータのメモリ使用量に関して特に要求が厳しく、使用可能なRAMや応用プログラムのコンパイルが対応できるよりも大きな問題には推奨されません。 ${\displaystyle i>1}$

2番目の選択肢は、局所的および全体的な推定に連続反復アプローチを使用することです。^[11]このアプローチは、ダミー変数アプローチよりもはるかに計算効率が高く、メモリが少ないシステムに非常に適しています。

3番目のアプローチは、個々の系列のローカル推定がモデル定義の一部としてプログラムされるネストされた推定である。^[12]このアプローチは計算とメモリの効率が最も良いが、熟練したプログラミングスキルとモデルプログラミングコードへのアクセスが必要である。ただし、SASを含めてプログラムすることは可能である。^{[13] [14]}

最後に、上記の各代替案は、系列固有の推定が線形（非線形モデル内）である場合に改善することができ、その場合には、個々の系列の直接線形解を非線形モデル定義の一部としてプログラムすることができる。^[15]

内部変換の代替として、異なる推定値を生成する第 1 差分変換があります。 ${\displaystyle t=2,\dots ,T}$

${\displaystyle y_{it}-y_{i,t-1}=\left(X_{it}-X_{i,t-1}\right)\beta +\left(\alpha _{i}-\alpha _{i}\right)+\left(u_{it}-u_{i,t-1}\right)\implies \Delta y_{it}=\Delta X_{it}\beta +\Delta u_{it}.}$

次に、のOLS 回帰によってFD 推定値が得られます。 ${\displaystyle {\hat {\beta }}_{FD}}$${\displaystyle \Delta y_{it}}$${\displaystyle \Delta X_{it}}$

のとき、一次差分推定量と固定効果推定量は数値的に同等である。 のときは、同等ではない。誤差項が等分散で連続相関がない場合、固定効果推定量は一次差分推定量よりも効率的である。しかし、 がランダムウォークに従う場合、一次差分推定量の方が効率的である。^[16]${\displaystyle T=2}$${\displaystyle T>2}$${\displaystyle u_{it}}$${\displaystyle u_{it}}$

特別な 2 期間のケース ( ) では、固定効果 (FE) 推定量と 1 次差分 (FD) 推定量は数値的に同等です。これは、FE 推定量が実質的に FD 推定量で使用される「データ セットを 2 倍にする」ためです。これを確認するには、固定効果推定量が次のようになることを確認します。 ${\displaystyle T=2}$${\displaystyle {FE}_{T=2}=\left[(x_{i1}-{\bar {x}}_{i})(x_{i1}-{\bar {x}}_{i})'+(x_{i2}-{\bar {x}}_{i})(x_{i2}-{\bar {x}}_{i})'\right]^{-1}\left[(x_{i1}-{\bar {x}}_{i})(y_{i1}-{\bar {y}}_{i})+(x_{i2}-{\bar {x}}_{i})(y_{i2}-{\bar {y}}_{i})\right]}$

それぞれはと書き直すことができるので、この行を次のように書き直します。 ${\displaystyle (x_{i1}-{\bar {x}}_{i})}$${\displaystyle (x_{i1}-{\dfrac {x_{i1}+x_{i2}}{2}})={\dfrac {x_{i1}-x_{i2}}{2}}}$

${\displaystyle {FE}_{T=2}=\left[\sum _{i=1}^{N}{\dfrac {x_{i1}-x_{i2}}{2}}{\dfrac {x_{i1}-x_{i2}}{2}}'+{\dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}{\dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}'\right]^{-1}\left[\sum _{i=1}^{N}{\dfrac {x_{i1}-x_{i2}}{2}}{\dfrac {y_{i1}-y_{i2}}{2}}+{\dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}{\dfrac {y_{i2}-y_{i1}}{2}}\right]}$

${\displaystyle =\left[\sum _{i=1}^{N}2{\dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}{\dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}'\right]^{-1}\left[\sum _{i=1}^{N}2{\dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}{\dfrac {y_{i2}-y_{i1}}{2}}\right]}$

${\displaystyle =2\left[\sum _{i=1}^{N}(x_{i2}-x_{i1})(x_{i2}-x_{i1})'\right]^{-1}\left[\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}(x_{i2}-x_{i1})(y_{i2}-y_{i1})\right]}$

${\displaystyle =\left[\sum _{i=1}^{N}(x_{i2}-x_{i1})(x_{i2}-x_{i1})'\right]^{-1}\sum _{i=1}^{N}(x_{i2}-x_{i1})(y_{i2}-y_{i1})={FD}_{T=2}}$

Gary Chamberlain の方法は、内部推定量の一般化であり、説明変数への 線形投影に置き換えられます。線形投影は次のように記述されます。${\displaystyle \alpha _{i}}$

${\displaystyle \alpha _{i}=\lambda _{0}+X_{i1}\lambda _{1}+X_{i2}\lambda _{2}+\dots +X_{iT}\lambda _{T}+e_{i}}$

結果は次の式になります。

${\displaystyle y_{it}=\lambda _{0}+X_{i1}\lambda _{1}+X_{i2}\lambda _{2}+\dots +X_{it}(\lambda _{t}+\mathbf {\beta } )+\dots +X_{iT}\lambda _{T}+e_{i}+u_{it}}$

これは最小距離推定によって推定できる。^[17]

複数の時間変動回帰変数 ( ) と時間不変回帰変数 ( ) が必要であり、と相関のない変数が 少なくとも 1 つと1 つ必要です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \alpha _{i}}$

および変数を、およびが と無相関となるように分割します。 が必要です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle {\begin{array}{c}X=[{\underset {TN\times K1}{X_{1it}}}\vdots {\underset {TN\times K2}{X_{2it}}}]\\Z=[{\underset {TN\times G1}{Z_{1it}}}\vdots {\underset {TN\times G2}{Z_{2it}}}]\end{array}}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle Z_{1}}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle K1>G2}$

およびを手段として使用するOLS による推定では、一貫した推定値が得られます。 ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle {\widehat {di}}=Z_{i}\gamma +\varphi _{it}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle Z_{1}}$

データに入力不確実性がある場合、残差の二乗和ではなく値を最小化する必要があります。^[18]これは置換規則から直接達成できます。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle \delta y}$${\displaystyle \chi ^{2}}$

${\displaystyle {\frac {y_{it}}{\delta y_{it}}}=\mathbf {\beta } {\frac {X_{it}}{\delta y_{it}}}+\alpha _{i}{\frac {1}{\delta y_{it}}}+{\frac {u_{it}}{\delta y_{it}}}}$、

およびの値と標準偏差は、古典的な最小二乗分析と分散共分散行列によって決定できます。 ${\displaystyle \mathbf {\beta } }$${\displaystyle \alpha _{i}}$

ランダム効果の推定値は、ランダム効果が誤って指定されている場合 (つまり、ランダム効果用に選択されたモデルが間違っている場合)、長期の時系列の制限内で矛盾が生じることがあります。ただし、固定効果モデルは、状況によっては依然として一貫性がある場合があります。たとえば、モデル化されている時系列が定常でない場合、定常性を前提とするランダム効果モデルは、長期の時系列の制限内で一貫性がない可能性があります。その一例は、時系列が上昇傾向にある場合です。その後、時系列が長くなるにつれて、モデルは以前の期間の平均の推定値を上方修正し、係数の予​​測値の偏りが大きくなります。ただし、固定時間効果を持つモデルは、時間にわたって情報をプールしないため、結果として、以前の推定値は影響を受けません。

固定効果モデルが一貫していることがわかっているこのような状況では、Durbin-Wu-Hausman テストを使用して、選択したランダム効果モデルが一貫しているかどうかをテストできます。が真の場合、と は両方とも一貫していますが、 だけが効率的です。が真の場合、 の一貫性は保証されません。 ${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{RE}}$${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{FE}}$${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{RE}}$${\displaystyle H_{a}}$${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{RE}}$

• ランダム効果モデル
• 混合モデル
• 動的非観測効果モデル
• 固定効果ポアソンモデル
• パネル分析
• 第一差分推定量

• クリステンセン、ロナルド（2002）。複雑な質問に対する平面的な答え：線形モデルの理論（第3版）。ニューヨーク：シュプリンガー。ISBN 0-387-95361-2。
• Gujarati, Damodar N.; Porter, Dawn C. (2009) 「パネルデータ回帰モデル」。基礎計量経済学(第 5 版)。ボストン: McGraw-Hill。pp. 591–616。ISBN 978-007-127625-2。
• Hsiao, Cheng (2003)「固定効果モデル」パネルデータ分析（第 2 版）。ニューヨーク: Cambridge University Press。pp. 95–103。ISBN 0-521-52271-4。
• Wooldridge, Jeffrey M. (2013)。「固定効果推定」。入門計量経済学: 現代的アプローチ(第 5 版)。オハイオ州メイソン: サウスウェスタン。pp. 466–474。ISBN 978-1-111-53439-4。

• 固定効果モデルとランダム効果モデル
• ランダム化ブロック、分割プロット、反復測定、ラテン方格など、最大 3 つの処理因子を含むすべての ANOVA および ANCOVA モデルの例と、R でのそれらの分析