フィッシャー法

統計学において、フィッシャー法^{[1] [2]}は、フィッシャーの複合確率検定とも呼ばれ、データ融合または「メタ分析」（分析の分析）の手法です。この方法はロナルド・フィッシャーによって開発され、その名が付けられました。基本的な形式では、同じ全体的な仮説（H ₀ ）に基づく複数の独立性検定の結果を統合するために使用されます。

フィッシャー法は、各検定からの極値確率（一般に「 p値」と呼ばれる）を、次の式を使用して 1つの検定統計量（X ² ）に組み合わせる。

${\displaystyle X_{2k}^{2}=-2\sum _{i=1}^{k}\ln p_{i},}$

ここで、p _{i は}i^番目の仮説検定のp値です。p値が小さい傾向がある場合、検定統計量X ^{2 は}大きくなり、帰無仮説がすべての検定で真ではないことが示唆されます。

すべての帰無仮説が真であり、p _i (または対応する検定統計量) が独立している場合、X ^{2 は}自由度が 2 kのカイ二乗分布を持ちます( kは結合される検定の数)。この事実を使用して、X ²のp値を決定できます。

X ²の分布は、次の理由によりカイ二乗分布です。検定iの帰無仮説では、p値p _{i は}区間 [0,1] で一様分布に従います。一様分布の値の負の対数は、指数分布に従います。指数分布に従う値を係数 2 でスケーリングすると、自由度 2 のカイ二乗分布に従う量が生成されます。最後に、それぞれ自由度 2 のk 個の独立したカイ二乗値の合計は、自由度 2 kのカイ二乗分布に従います。

統計的検定間の依存性は一般に^[漠然と]正であり、これは依存性が考慮されない場合、X ²のp値が小さすぎる (反保守的) ことを意味します。したがって、独立検定に対するフィッシャーの方法が従属設定に適用され、 p値が帰無仮説を棄却するのに十分小さい場合、依存性が適切に考慮されていなくてもその結論は維持され続けます。ただし、正の依存性が考慮されず、メタ分析のp値が小さいことが判明した場合、帰無仮説に対する証拠は一般に誇張されています。k個の独立した検定または正の相関のある検定について減算された平均偽発見率、は、フィッシャーの X ^{2からの小さすぎる}p値と有効に比較するためにアルファを制御するのに十分な場合があります。 ${\displaystyle \alpha (k+1)/(2k)}$${\displaystyle \alpha}$

検定が独立していない場合、X ²の帰無分布はより複雑になります。一般的な戦略は、尺度化されたχ ²分布ランダム変数で帰無分布を近似することです。異なるp値間の共分散が既知で あるかどうかに応じて、異なるアプローチが使用される場合があります。

Brown法^[3]は、基礎となる検定統計量が共分散行列が既知の多変量正規分布を持つ従属p値を結合するために使用できます。Kost法^[4]はBrown法を拡張し、共分散行列がスカラー乗法係数までしかわかっていない場合に p値を結合できるようにします。

調和平均p値は、依存性構造が不明であるが検定が独立していると仮定できない場合にp値を結合するためのフィッシャー法の代替手段を提供する。 ^{[5] [6]}

フィッシャー法は、通常、同じ帰無仮説を持つ別々の研究からの独立した検定統計の集合に適用されます。メタ分析の帰無仮説は、個別の帰無仮説がすべて真であるというものです。メタ分析の対立仮説は、個別の対立仮説の少なくとも 1 つが真であるというものです。

状況によっては、「異質性」の可能性を考慮することが理にかなっています。異質性では、帰無仮説が一部の研究で成立するが他の研究では成立しない、または異なる対立仮説がさまざまな研究で成立する可能性があります。後者の異質性の一般的な理由は、効果の大きさが集団間で異なる可能性があることです。たとえば、高グルコース食が II 型糖尿病を発症するリスクを調べた医学研究のコレクションを考えてみましょう。遺伝的または環境的要因により、特定のレベルのグルコース消費に関連する真のリスクは、一部の人間集団では他の集団よりも大きい可能性があります。

他の設定では、対立仮説は普遍的に偽であるか、普遍的に真であるかのどちらかです。つまり、対立仮説が一部の設定では成り立っても、他の設定では成り立たないということはあり得ません。たとえば、特定の物理法則をテストするために設計されたいくつかの実験を考えてみましょう。個別の研究や実験の結果に矛盾があれば、それは偶然によるもので、おそらく検出力の違いによって引き起こされたものでしょう。

両側検定を使用したメタ分析の場合、個々の研究が異なる方向に強い効果を示している場合でも、メタ分析の帰無仮説を棄却することができます。この場合、帰無仮説がすべての研究で真であるという仮説を棄却していますが、これはすべての研究に当てはまる統一された対立仮説があることを意味するものではありません。したがって、両側メタ分析は対立仮説の異質性に特に敏感です。片側メタ分析は効果の大きさの異質性を検出できますが、事前に指定された単一の効果の方向に焦点を当てます。

フィッシャー法によく似たアプローチとして、ストウファーのZ法がある。これはp値ではなくZスコアに基づいており、研究の重み付けを組み込むことができる。これは社会学者サミュエル・A・ストウファーにちなんで名付けられた。^[7] Z _i   =   Φ  ^{− 1} (1− p _i ) とすると、 Φは標準正規累積分布関数であり、

${\displaystyle Z\sim {\frac {\sum _{i=1}^{k}Z_{i}}{\sqrt {k}}},}$

は、メタ分析全体のZスコアです。このZスコアは、片側右側p値に適しています。両側または左側p値を分析する場合は、若干の修正を加えることができます。具体的には、両側p値を分析する場合は、両側p値（p _i /2）が使用され、左側p値が使用される場合は1- p _iが使用されます。^{[8] [信頼できない情報源？ ]}

フィッシャー法は −log( p _i ) 値の平均に基づいており、Z スコア法はZ _i値の平均に基づいているため、これら 2 つの方法の関係は、zと −log( p ) = −log(1− Φ ( z )) の関係から得られます。正規分布の場合、これら 2 つの値は完全に線形関係にあるわけではありませんが、最も頻繁に観測される Z 値の範囲である 1 から 5 にわたって非常に線形な関係にあります。その結果、Z スコア法の検出力はフィッシャー法の検出力とほぼ同じになります。

Zスコアアプローチの利点の1つは、重み付けの導入が簡単なことである。 ^{[9] [10]} i^番目のZスコアがw _iで重み付けされている 場合、メタ分析のZスコアは

${\displaystyle Z\sim {\frac {\sum _{i=1}^{k}w_{i}Z_{i}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{k}w_{i }^{2}}}},}$

これは帰無仮説の下では標準正規分布に従います。フィッシャーの統計量の加重バージョンを導くことはできますが、帰無分布は独立したカイ二乗統計量の加重和となり、扱いにくくなります。

• フィッシャー法の拡張
• フィッシャーの1948年のメモの代替情報源: [1]
• Fisher の Z スコア、Stouffer の Z スコア、およびいくつかの関連メソッドが、metap R パッケージに実装されています。