クイックスキーム

数値流体力学 におけるQUICK は、Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics の略で、セル面の値に対して2 次補間によって重み付けされた 3 点上流を考慮する高次差分スキームです。数値流体力学では、定常対流拡散方程式を解くための解法が多数あります。使用される方法には、中心差分スキーム、アップウィンドスキーム、ハイブリッドスキーム、べき乗法則スキーム、QUICK スキームなどがあります。

QUICK方式は、ブライアン・P・レナードによって、QUICKEST（QUICK with Demand Streaming Terms）方式とともに1979年の論文で発表されました。^[1]

セル面の値を求めるには、2 つの囲みノードまたは周囲ノードと上流側の1 つのノードを通過する 2次関数を使用する必要があります。中心差分スキームと 2 次風上スキームでは、1 次導関数が含まれ、2 次導関数は無視されます。したがって、これらのスキームは 2 次精度であると見なされますが、QUICK は 2 次導関数を考慮しますが、3 次導関数は無視するため、3 次精度であると見なされます。^[2]このスキームは、拡散項に 2 次中心差分を使用して対流拡散方程式を解くために使用され、対流項に対しては、空間的に 3 次精度、時間的に 1 次精度です。QUICK は、定常流または準定常の高度対流楕円流に最適です。^[3]

図に示す1次元領域では、制御ボリューム面のΦ値は、2つの囲みノードまたは周囲のノードと上流側の他の1つのノードを通過する3点の2次関数を使用して近似されます。^[4] 図では、面の特性値を計算するには、2つの囲みノードまたは周囲のノードと1つの上流ノードの3つのノードが必要です。

1. Φ _w u _w > 0かつu _e > 0の場合にはWW、W、Pを通る2次近似が使用される。
2. Φ _e u _w > 0かつu _e > 0の場合にはW、P、Eを通る2次近似が使用される。
3. Φ _{w u} w < 0かつu _{e < 0の}場合、W、P、Eの値が使用される。
4. u _w < 0 かつu _e < 0の場合、 P、E、EE の値としてΦ _{e が}使用されます。

2つの括弧ノードをiとi − 1、上流ノードをi – 2とすると、均一グリッドの場合、 3つのノード間のセル面のφの値は次のように表されます。

${\displaystyle \phi _{face}={\frac {6}{8}}\phi _{i-1}+{\frac {3}{8}}\phi _{i}-{\frac { 1}{8}}\phi _{i-2}}$

速度「u」を持つ与えられた1次元の流れ場における、ソースがない場合の特性「Ƥ」の定常対流と拡散は次のように表される。

${\displaystyle {d(\rho u\phi ) \over dx}={\frac {d}{dx}}\left(r{\frac {d\phi }{dx}}\right).}$

流れの連続性を保つためには、

${\displaystyle {d(\rho u) \over dx}=0.}$

上記の式を特定のノードの周りの制御体積に離散化すると、次の式が得られます。

${\displaystyle (\rho uA\phi )_{e}-(\rho uA\phi )_{w}=\left(rA{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{e}-\left(rA{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{w}}$

この連続方程式を制御体積にわたって積分すると、

${\displaystyle \left(\rho uA\right)_{e}-\left(\rho uA\right)_{w}=0}$

今仮定して${\displaystyle F=\rho u}$${\displaystyle D=r/\sigma x}$

上記の変数に対応するセル面の値は次のように与えられる。

${\displaystyle F_{w}=\left(\rho u\right)_{w}}$

${\displaystyle F_{e}=\left(\rho u\right)_{e}}$

${\displaystyle D_{w}={r_{w}}/{\sigma x_{WP}}}$

${\displaystyle D_{e}={r_{e}}/{\sigma x_{PE}}}$

制御体積全体にわたって面積が一定であると仮定すると、

${\displaystyle F_{e}\phi _{e}-F_{w}\phi _{w}=D_{e}\left(\phi _{E}-\phi _{P}\right)-D_{w}\left(\phi _{P}-\phi _{W}\right)}$

流れが正の方向にある場合、速度の値は およびになります。 ${\displaystyle u_{w}>0}$${\displaystyle u_{e}>0}$

「w（西面）」の場合、括弧ノードはWとPで、上流ノードはWWです。^[5]

${\displaystyle \phi _{w}={\frac {6}{8}}\phi _{W}+{\frac {3}{8}}\phi _{P}-{\frac {1} {8}}\ファイ_{WW}}$

「e（東面）」の場合、括弧ノードはPとEで、上流ノードはWです。

${\displaystyle \phi _{e}={\frac {6}{8}}\phi _{P}+{\frac {3}{8}}\phi _{E}-{\frac {1} {8}}\ファイ_{W}}$

放物線の勾配は拡散項を評価するために使用されます。

F _w > 0 かつF _e > 0の場合、対流項に上記の式を使用し、拡散項に中心差分を使用すると、1 次元の対流拡散輸送方程式の離散形式は次のように表されます。

${\displaystyle F_{e}\phi _{e}-F_{w}\phi _{w}=D_{e}\left(\phi _{E}-\phi _{P}\right)-D_{w}\left(\phi _{P}-\phi _{W}\right)}$

${\displaystyle F_{e}\left({\frac {6}{8}}\phi _{p}+{\frac {3}{8}}\phi _{E}-{\frac {1}{8}}\phi _{w}\right)-F_{W}\left({\frac {6}{8}}\phi _{w}+{\frac {3}{8}}\phi _{p}-{\frac {1}{8}}\phi _{ww}\right)=D_{e}\left(\phi _{E}-\phi _{P}\right)-D_{W}\left(\phi _{p}-\phi _{w}\right)}$

並べ替えると

${\displaystyle \left(D_{w}-{\frac {3}{8}}F_{w}+D_{e}+{\frac {6}{8}}F_{e}\right)\phi _{P}=\left(D_{w}+{\frac {6}{8}}F_{w}+{\frac {1}{8}}F_{e}\right)\phi _{W}+\left(D_{e}-{\frac {3}{8}}F_{e}\right)\phi _{E}-{\frac {1}{8}}F_{w}\phi _{WW}}$

今では標準形式で書くことができます:

${\displaystyle a_{P}\phi _{P}=a_{W}\phi _{W}+a_{E}\phi _{E}+a_{WW}\phi _{WW}}$

どこ：

流れが負の方向にある場合、速度の値はu _w < 0およびu _e < 0になります。

西面wの場合、ブラケットノードはWとP、上流ノードはE、東面Eの場合、ブラケットノードはPとE、上流ノードはEEです。

< 0 および< 0の場合、西境界と東境界を越えるフラックスは次の式で与えられます。 ${\displaystyle F_{w}}$${\displaystyle F_{e}}$

${\displaystyle \phi _{w}={\frac {6}{8}}\phi _{P}+{\frac {3}{8}}\phi _{W}-{\frac {1}{8}}\phi _{E}}$

${\displaystyle \phi _{e}={\frac {6}{8}}\phi _{E}+{\frac {3}{8}}\phi _{P}-{\frac {1}{8}}\phi _{EE}}$

離散化された対流拡散方程式の対流項にこれら 2 つの式を代入し、拡散項の中心差分をとると、上記と同様に正の方向に並べ替えた後、次の係数が得られます。

a _P Φ _P = a _W Φ _W + a _E Φ _E + a _WW Φ _WW + a _EE Φ _EE

ここで、a _P = a _W + a _E + a _WW + a _EE + (F _e - F _w )

その他の係数

どこ

_{F w} > 0 の場合α _w =1 、F _e > 0の場合 α _{e =1}

F _w < 0 の場合α _w =0 、 F _{e < 0 の場合 α e} =0 です。

下のグラフから、QUICK 方式はアップウィンド方式よりも正確であることがわかります。QUICK 方式では、アンダーシュートとオーバーシュートの問題に直面し、いくつかのエラーが発生します。ソリューションを解釈する際には、これらのオーバーシュートとアンダーシュートを考慮する必要があります。他の方式と比較すると、QUICK 方式では 誤った拡散エラーが最小限に抑えられます。

• アップウィンド方式
• べき乗法則
• 有限体積法
• 差分法

• パタンカール、スハス V. (1980)、数値熱伝達と流体の流れ、テイラー＆フランシスグループ、ISBN 978-0-89116-522-4
• ヴェッセリング、ピーター（2001）、計算流体力学の原理、シュプリンガー、ISBN 978-3-540-67853-3
• デイト、アニル W. (2005)、計算流体力学入門、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-85326-2