因子システム

数学において、因子システム（因子集合と呼ばれることもある）は、オットー・シュライアーの群拡大問題に対する古典理論の基本的なツールである。^{[1] [2]}これは、特定の条件（いわゆるコサイクル条件）を満たす群上の自己同型の集合と2項関数から構成される。実際、因子システムは、群コホモロジーにおける第2コホモロジー群のコサイクルの実現を構成する。^[3]

Gが群でAがアーベル群であるとする。群の拡大について

${\displaystyle 1\to A\to X\to G\to 1,}$

関数f  : G × G → Aと準同型 σ : G → Aut( A )からなる因子システムが存在し、直積 G × Aを次の ように群Xにする。

${\displaystyle (g,a)*(h,b):=(gh,f(g,h)a^{\sigma (h)}b).}$

したがって、f は「グループ 2 コサイクル」でなければなりません（したがって、グループコホモロジーで研究されているように、H ² ( G , A )の要素を定義します）。実際、A はアーベルである必要はありませんが、非アーベル群の場合は状況はより複雑になります^[4]

fが自明であれば、X はA上で分割されるため、X はGとAの半直積になります。

群代数が与えられた場合、因子システムfは群演算xyをf  ( x , y )  xyに変更することで、その代数を歪群代数に変更します。

Gを群とし、LをGが自己同型として作用する体とする。コサイクルまたは（ノイザー）因子系^{[5] ：31}は、 c：G × G → L ^*を満たす 写像である。

${\displaystyle c(h,k)^{g}c(hk,g)=c(h,kg)c(k,g).}$

コサイクルは、a  : G → L ^*の元系が存在し、

${\displaystyle c'(g,h)=c(g,h)(a_{g}^{h}a_{h}a_{gh}^{-1}).}$

形式の共循環

${\displaystyle c(g,h)=a_{g}^{h}a_{h}a_{gh}^{-1}}$

は分割コサイクルと呼ばれます。分割コサイクルを法とする乗算の​​下で、コサイクルはグループを形成します。これは、2番目のコホモロジーグループ H ² ( G , L ^* ) です。

G が体拡大L / Kのガロア群である場合を考えてみましょう。H ² ( G , L ^* )の因子システムc は交差積代数[ ^{5] : 31} Aを生じます。これはL を部分体として含むK代数であり、 Lの元 λとu _gの乗法によって 生成されます。

${\displaystyle \lambda u_{g}=u_{g}\lambda ^{g},}$

${\displaystyle u_{g}u_{h}=u_{gh}c(g,h).}$

等価因数体系は、 AのKに対する基底の変化に対応する。次のように書くことができる。

${\displaystyle A=(L,G,c).}$

交差積代数A は、次数が [ L  : K ]に等しい中心単純代数(CSA)です。^[6]逆も成り立ちます。つまり、 L上で分割され、 deg A = [ L  : K ]となるK上の中心単純代数はすべて、このようにして生じます。^[6] 代数のテンソル積は、 H ^{2の対応する元の乗算に対応します。したがって、} K上の CSA のクラスである要素を持つBrauer 群と H ²の同一視が得られます。^{[7] [8]}

さらに、 L / Kが巡回的であり、 n位のガロア群Gがtによって生成される場合に限定する。A を因子集合cとの交差積 ( L , G , c ) とする。u = ut_をtに対応するA内の生成元とする。他の生成元は次のように定義できる。

${\displaystyle u_{t^{i}}=u^{i}\,}$

すると、Kにおいてu ⁿ = aが成り立つ。この元aは^[5]によってコサイクルcを指定する^{: 33}

${\displaystyle c(t^{i},t^{j})={\begin{cases}1&{\text{if }}i+j<n,\\a&{\text{if }}i+j\geq n.\end{cases}}}$

したがって、 Aを単に( L , t , a )と表記するのは理にかなっています。しかし、 uをL ^*の任意の元λに掛け合わせ、その後aにλの共役の積を掛け合わせることができるため、 aはAによって一意に特定されるわけではありません。したがって、 Aはノルム留数群K ^* /N _{L / K} L ^{*の元に対応します。}同型性は次のようになります。

${\displaystyle \operatorname {Br} (L/K)\equiv K^{*}/N_{L/K}L^{*}\equiv H^{2}(G,L^{*}).}$

• Lorenz, Falko (2008)。代数学。第2巻：構造を持つ体、代数、および高度なトピック。Universitext。ドイツ語からSilvio Levyによって翻訳。翻訳者の協力を得て。Springer - Verlag。ISBN 978-0-387-72487-4.ZBL1130.12001  。​
• ジェイコブソン、ネイサン(1996)。体上の有限次元除算代数。ベルリン: Springer - Verlag。ISBN 3-540-57029-2.ZBL0874.16002  .​
• ライナー、I. (2003)。最大順序。ロンドン数学協会モノグラフ。新シリーズ。第28巻。オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-852673-3.ZBL1024.16008  。​
• Saltman, David J. (1999)。除算代数の講義。数学地域会議シリーズ。第 94 巻。プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会。ISBN 0-8218-0979-2.ZBL0934.16013  .​