エヴァルト・オゼーンの消滅定理

光学において、エワルド・オーゼーンの消衰定理は、単に消衰定理と呼ばれることもあり、散乱（屈折、反射、回折も同様）の共通理解の基礎となる定理である。この定理は、1916年に結晶媒体で、1915年に等方性媒体でそれぞれ証明したポール・ペーター・エワルドとカール・ヴィルヘルム・オーゼーンにちなんで名付けられた。 ^[1]もともと、この定理は自由空間における等方性誘電体による散乱に適用された。定理の範囲は、さまざまな双異方性媒体を包含するように大幅に拡張された。^[2]

光学物理学の理論の重要な部分は、微視的物理学（原子と電子の挙動）から始めて、それを使ってよく知られている巨視的光学法則を導き出すことです。特に、屈折率がどのように機能し、どこから来るのかを微視的物理学から導き出します。エワルド・オーゼーンの消衰定理はその導き出しの一部です（ローレンツ・ローレンツ方程式なども同様です）。

真空中を進む光がガラスのような透明な媒体に入ると、屈折率で説明されるように光は減速します。この事実はよく知られていますが、微視的に考えると実際には非常に奇妙で驚くべきことです。結局のところ、重ね合わせの原理によれば、ガラス内の光は次の重ね合わせになります。

• 元の光波と
• ガラス内の振動する電子によって放出される光波。

（光は電子を前後に押し、双極子放射を放出する振動電磁場です。）

これらの波はそれぞれ真空中を光速で進みますが、ガラス中よりも遅い光速では進みません。しかし、驚くべきことに、これらの波を足し合わせると、より遅い速度で進む波だけが作られます。

エワルド・オーゼーンの消滅定理によれば、原子から放射される光には真空中を光速で移動する成分があり、それが元の光波を正確に打ち消す（「消滅」する）とされています。さらに、原子から放射される光には、ガラス中を光より遅い速度で移動する波のように見える成分があります。全体として、ガラス内の唯一の波は遅い波であり、これは基本的な光学から予想されるものと一致しています。

より詳しい説明は、Masud Mansuripur著のClassical Optics and its Applicationsに記載されています。^[3] 古典定理の証明は、BornとWolf著のPrinciples of Opticsに記載されています。^{[1]また、その拡張の証明は}Akhlesh Lakhtakiaによって発表されています。^[2]

電磁波が誘電体媒体に入ると、物質の電子が自由電子か束縛電子かに関わらず励起（共鳴）され、波と同じ周波数の振動状態になります。これらの電子は、振動の結果として、今度は独自の電磁場（振動する電荷の電磁場）を放射します。マクスウェル方程式の線形性により、空間内の任意の点における全場は、元の場と振動する電子によって生成される場の合計になると予想されます。ただし、この結果は、c/n の速度で移動する誘電体内で観測される実際の波とは直観に反します。ここで、n は媒体の屈折率です。エワルド-オーゼーンの消滅定理は、この不一致に対処するために、これら 2 つの波の重ね合わせが c/n の速度で移動する波のよく知られた結果を再現する方法を実証します。

以下は、バレンエッガーとウェーバーの研究に基づく導出です。^[4]図1に示すように、単色電磁波がz>0の領域で空間の半分を満たす媒体に垂直に入射する単純化された状況を考えてみましょう。

空間内の一点における電界は、さまざまな発生源による電界の合計です。ここでは、発生源に基づいて電界を2つのカテゴリに分けます。入射電界 と、媒体内の振動電子によって生成される電界の合計を次のよう に表します。$${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {vac} }}$$$${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }(z,t).}$$

空間内の任意の点zにおける全磁場は、2つの寄与の重ね合わせによって与えられる。 $${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z,t)+\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }(z,t )。}$$

すでに観測されているものと一致させるために、この形式をとります。ただし、媒体内部、z>0 では、速度 c/n で物質を通過する、いわゆる透過 E フィールドのみが観測されることがすでにわかっています。 ${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {vac} }}$${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {T} }}$

したがって、この形式主義では、 $${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }(z,t)=-\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z,t)+\mathbf {E} _{T }(z,t)}$$

これは、放射場が入射場を打ち消し、媒体内を速度 c/n で移動する透過場を生成することを意味します。同じ論理を使用すると、媒体の外側では、放射場は入射場と反対方向に速度 c で移動する反射場の効果を生み出します。 波長は原子の平均間隔よりもはるかに大きいため、媒体は連続していると見なすことができます。通常のマクロ E フィールドと B フィールドを使用し、媒体は非磁性で中性であると仮定して、マクスウェル方程式が 全電界と全磁界の両方を 読み取るようにします。 誘電体内のマクスウェル方程式のセット には、外部電界によって材料に誘導される真の電流と分極電流が含まれます。電流と電界の間には線形関係があると仮定するため、 ${\displaystyle \mathbf {E} _{R}}$$${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }(z,t)=-\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z,t)-\mathbf {E} _{R}(z,t)}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \times \mathbf {B} &={\boldsymbol {\mu }}_{0}\mathbf {J} +\epsilon _{0}{\boldsymbol {\mu }}_{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }+\mathbf {E} _{\mathrm {rad} },\quad \mathbf {B} =\mathbf {B} _{\mathrm {vac} }+\mathbf {B} _{\mathrm {rad} }}$$$${\displaystyle {\begin{array}{l}{\nabla \cdot \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }=0}\\{\nabla \cdot \mathbf {B} _{\mathrm {rad} }=0}\\{\nabla \times \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }=-\partial \mathbf {B} _{\mathrm {rad} }/\partial t}\\{\nabla \times \mathbf {B} _{\mathrm {rad} }=\mu _{0}\mathbf {J} +\epsilon _{0}\mu _{0}\partial \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }/\partial t}\end{array}}}$$${\displaystyle \mathbf {J} }$$${\displaystyle \mathbf {J} ={\sigma }\left(\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }+\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }\right)}$$

誘電体の外側のマクスウェル方程式には電流​​密度項がない $${\displaystyle {\begin{array}{l}{\nabla \cdot \mathbf {E} _{\mathrm {vac} }=0}\\{\nabla \cdot \mathbf {B} _{\mathrm {vac} }=0}\\{\nabla \times \mathbf {E} _{\mathrm {vac} }=-\partial \mathbf {B} _{\mathrm {vac} }/\partial t}\\{\nabla \times \mathbf {B} _{\mathrm {vac} }=\epsilon _{0}\mu _{0}\partial \mathbf {E} _{\mathrm {vac} }/\partial t}\end{array}}}$$

真空電場が電流密度項に現れるため、2 つのマクスウェル方程式は結合しています。

垂直入射の単色波の場合、真空電場は の形になります。 $${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z,t)=\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }\exp[i(kz-\omega t)],}$$${\displaystyle k=\omega /{c}}$

ここで を解くには、マクスウェル方程式の最初のセットの 3 番目の方程式の回転を取り、それを 4 番目の方程式と組み合わせます。 ${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }&=-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {B} _{\mathrm {rad} })\\[1ex]\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }&=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mu _{0}\mathbf {J} +\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }}{\partial t}}\right)\end{aligned}}}$$

アインシュタイン和を使って、いくつかのステップで二重回転を簡略化します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} )_{i}&=\epsilon _{ijk}\epsilon _{klm}\partial _{j}\partial _{l}E_{m}\\&=(\delta _{il}\delta _{j\mathrm {m} }-\delta _{i\mathrm {m} }\delta _{jl})\partial _{j}\partial _{l}E_{m}\\&=\partial _{i}(\partial _{j}E_{j})-\partial _{j}\partial _{j}E_{i}\end{aligned}}}$$

したがって、 $${\displaystyle \nabla \times \nabla \times \mathbf {E} _{rad}=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {E} _{rad})-\nabla ^{2}\mathbf {E} _{rad}}$$

次に を に代入すると、 という式から次の式が得られます。 ${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle {\sigma }\left(\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }+\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }\right)}$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }=0}$$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }={\frac {\partial }{\partial t}}(\mu _{0}{\sigma }\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }+\mu _{0}{\sigma }\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }+\epsilon _{0}\mu _{0}\partial \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }/\partial t)}$$

すべての場は同じ時間依存性を持つことに気づくと、時間微分は単純になり、 特定の解を持つ 次の不同次波動方程式が得られます。${\displaystyle \exp(-i\omega t)}$$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }+\mu _{0}\omega ^{2}\left(\epsilon _{0}+i\sigma /\omega \right)\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }=-i\mu _{0}\omega \sigma \mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z)}$$$${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }^{P}=-\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z)}$$

完全な解を得るためには、特定の解に、任意の方向に伝わる平面波の重ね合わせである同次方程式の一般解を加える 。同次方程式から、 $${\displaystyle \left(\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }^{c}\right)_{i}=\int g_{i}({\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {\phi }})\exp \left(i\mathbf {k} '\cdot \mathbf {r} \right)d\Omega }$$${\displaystyle k'}$$${\displaystyle k^{\prime 2}=\mu _{0}\epsilon _{0}\omega ^{2}\left(1+i{\frac {\sigma }{\epsilon _{0}\omega }}\right)}$$

平面波のコヒーレントな重ね合わせとして解をとったことに注意してください。対称性のため、軸に垂直な平面では場は同じになると予想されます。したがって、 はに垂直な変位です。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathbf {k} '\cdot \mathbf {a} =0,}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle z}$

領域には境界がないので、波は右方向に移動すると予想されます。同次方程式の解は、 ${\displaystyle z>0}$$${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }^{c}=\mathbf {E} _{T}\exp \left(ik'z\right)}$$

これを特定の解に加えると、媒質内の放射波（） が得られる。${\displaystyle z>0}$$${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }=-\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z)+\mathbf {E} _{T}\exp \left(ik'z\right)}$$

任意の位置における全電界は、その位置における入射電界と放射電界の合計である。媒質内の2つの成分を加えると、全電界が得られる。 ${\displaystyle z}$$${\displaystyle \mathrm {E} (z)=\mathrm {E} _{T}\exp \left(ik'z\right),\qquad z>0}$$

この波は誘電体内を高速で伝わります${\displaystyle c/n,}$ $${\displaystyle n=ck'/\omega ={\sqrt {1+i{\frac {\sigma }{\epsilon _{0}\omega }}}}}$$

上記を、線形等方性誘電体の屈折率の一般的な形に簡略化することができます 。そのためには、線形誘電体では、印加電界が電界に比例する分極を誘導することを思い出してください。電界が変化すると、誘導された電荷が移動し、 で示される電流密度を生成します。電界の時間依存性は であるため、 となり、 導電率は ${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \mathbf {P} =\epsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} }$${\displaystyle \partial \mathbf {P} /\partial t}$${\displaystyle \exp(-i\omega t)}$$${\displaystyle \mathbf {J} =-i\epsilon _{0}\omega \chi _{e}\mathbf {E} ,}$$$${\displaystyle \sigma =-i\epsilon _{0}\omega \chi _{e}.}$$

次に、 の方程式に導電率を代入すると、 より馴染みのある形式が得られます。 領域 では、波が左に進むという条件が課せられます。 この領域 で導電率を設定すると 、 光速で進む 反射波が得られます 。${\displaystyle n}$$${\displaystyle n={\sqrt {1+\chi _{e}}}}$$${\displaystyle z<0}$${\displaystyle \sigma =0}$$${\displaystyle \mathrm {E} (z)=\mathrm {E} _{R}\exp \left(-ikz\right),}$$

係数の命名法、およびは、すでに予想されているものと一致するようにのみ採用されていることに注意してください。 ${\displaystyle \mathbf {E} _{T}}$${\displaystyle \mathbf {E} _{R}}$

^{以下は、ワングスネス[5]}の研究と、ザングウィルのテキスト「現代電気力学」の第20章にある同様の導出に基づく導出である^[6] 。設定は以下のとおりである。無限半空間を真空とし、無限半空間を均一で等方性の誘電材料とし、電気感受性は${\displaystyle z<0}$${\displaystyle z>0}$${\displaystyle \chi .}$

電場に対する非同次電磁波方程式は、ローレンツゲージの 電気ヘルツポテンシャル、を用いて次のように表される。${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }}$$${\displaystyle \nabla ^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon _{0}}}.}$$

ヘルツベクトルによる電場は 次のように表されるが、物質は非磁性であり外部磁場は存在しないと仮定されるため、磁気ヘルツベクトルは0となる。したがって、電場は次のように簡略化される。 $${\displaystyle \mathbf {E} =\nabla \times \nabla \times {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon _{0}}}-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {m} }\right),}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {m} }}$$${\displaystyle \mathbf {E} =\nabla \times \nabla \times {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon _{0}}}.}$$

電場を計算するには、まず の非同次波動方程式を解かなければなりません。そのためには、同次解と特殊解に 分割します。${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }}$${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }(\mathbf {r} ,t)={\boldsymbol {\pi }}_{e,h}(\mathbf {r} ,t)+{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(\mathbf {r} ,t).}$$

線形性により、次のように書くことができる。 $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} _{h}(\mathbf {r} ,t)+\mathbf {E} _{\mathrm {p} }(\mathbf {r} ,t).}$$

同次解は、波数ベクトルが正の方向 に移動する初期の平面波である。${\displaystyle \mathbf {E} _{h}(\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle k_{0}=\omega /c}$${\displaystyle z}$$${\displaystyle \mathbf {E} _{h}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} _{0}e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}.}$$

フィールドを見つけることだけに興味があるので、 明示的に見つける必要はありません。${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{e,h}(\mathbf {r} ,t)}$

特定の解、したがって は、遅延積分 を生成する不斉波動方程式に対する時間依存グリーン関数法を使用して見つけられます。${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {p} }(\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int d^{3}r'{\frac {\mathbf {P} \left(\mathbf {r} ',t-\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|/c\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}.}$$

初期電場は物質を分極させるので、分極ベクトルは同じ空間と時間依存性を持つ必要がある。この仮定の詳細についてはWangsnessが議論している。これを積分に代入し、直交座標で表すと、次のようになる。 ${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {P} _{0}e^{i(kz-\omega t)}.}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {\mathbf {P} _{0}e^{i(kz-\omega t)}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{0}^{\infty }dz'e^{ik\left(z'-z\right)}\int _{-\infty }^{\infty }dx'\int _{-\infty }^{\infty }dy'{\frac {e^{ik_{0}\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}.}$$

まず、と上の積分のみを考え、これを円筒座標に変換して、${\displaystyle x'}$${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle (x,y,z)\rightarrow (\rho ,\varphi ,z)}$${\displaystyle \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|=R}$ $${\displaystyle I:=\int _{-\infty }^{\infty }dx^{\prime }\int _{-\infty }^{\infty }dy^{\prime }{\frac {e^{ik_{0}\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}=\int _{0}^{2\pi }d\varphi '\int _{0}^{\infty }d\rho '{\frac {e^{ik_{0}R}}{R}}=2\pi \int _{0}^{\infty }d\rho '{\frac {e^{ik_{0}R}}{R}}.}$$

そして置換を使うと 、 極限は次のようになり 、 $${\displaystyle R^{2}=\rho ^{2}+\left|z'-z\right|^{2}\Rightarrow \rho ^{2}=R^{2}-\left|z'-z\right|^{2}\Rightarrow \rho \,d\rho =R\,dR}$$$${\displaystyle \rho ={\sqrt {R^{2}-\left|z'-z\right|^{2}}}}$$$${\displaystyle \rho =0={\sqrt {R^{2}-\left|z'-z\right|^{2}}}\Rightarrow R=\left|z'-z\right|}$$$${\displaystyle \rho =\infty ={\sqrt {R^{2}-\left|z'-z\right|^{2}}}\Rightarrow R=\infty .}$$

次に、積分値を変えないので、積分関数に 収束係数を導入する。${\displaystyle e^{-\epsilon R}}$${\displaystyle \epsilon \in \mathbb {R} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I&=2\pi \int _{\left|z'-z\right|}^{\infty }dRe^{ik_{0}R}\\&=2\pi \lim _{\epsilon \to 0}\int _{\left|z'-z\right|}^{\infty }dRe^{(ik_{0}-\epsilon )R}\\&=\left.2\pi \lim _{\epsilon \to 0}\left[{\frac {e^{(ik_{0}-\epsilon )R}}{ik_{0}-\epsilon }}\right]\right|_{\left|z'-z\right|}^{\infty }\\&=2\pi \lim _{\epsilon \to 0}\left[{\frac {e^{(ik_{0}-\epsilon )\infty }}{ik_{0}-\epsilon }}-{\frac {e^{(ik_{0}-\epsilon ){\left|z'-z\right|}}}{ik_{0}-\epsilon }}\right].\end{aligned}}}$$

するととなり、したがって となります。したがって、 ${\displaystyle \epsilon \in \mathbb {R} }$${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}e^{-\epsilon \infty }=0}$${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}e^{(ik_{0}-\epsilon )\infty }=\lim _{\epsilon \to 0}e^{ik_{0}\infty }e^{-\epsilon \infty }=0}$$${\displaystyle {\begin{aligned}I&=2\pi \lim _{\epsilon \to 0}\left[0-{\frac {e^{(ik_{0}-\epsilon ){\left|z^{\prime }-z\right|}}}{ik_{0}-\epsilon }}\right]\\&=-2\pi {\frac {e^{ik_{0}{\left|z'-z\right|}}}{ik_{0}}}\\&=2\pi i{\frac {e^{ik_{0}{\left|z'-z\right|}}}{k_{0}}}.\end{aligned}}}$$

この結果をZ積分に当てはめると次の式が得られます。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(z,t)={\frac {i\mathbf {P} _{0}e^{i(kz-\omega t)}}{2k_{0}\epsilon _{0}}}\int _{0}^{\infty }dz'e^{ik\left(z'-z\right)}e^{ik_{0}\left|z-z'\right|}}$$

は、与えられた対称性に対して期待されていたではなく、の関数のみになったことに注意してください。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathbf {r} }$

この積分は、被積分関数内の絶対値のため、2つに分割する必要があります。領域はとです。ここでも、両方の積分を評価するために収束係数を導入する必要があり、結果は次のようになります。 ${\displaystyle \left|z-z'\right|}$${\displaystyle z<0}$${\displaystyle z>0}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(z,t)=-{\frac {\mathbf {P} e^{-i\omega t}}{2\epsilon _{0}k_{0}}}{\begin{cases}{{\frac {1}{k+k_{0}}}e^{-ik_{0}z}}&{z<0}\\{{\frac {2k_{0}}{k_{0}^{2}-k^{2}}}e^{ikz}+{\frac {1}{k-k_{0}}}e^{ik_{0}z}}&{z>0.}\end{cases}}}$$

電界の式に直接代入する代わりに、いくつかの簡略化を行うことができます。回転ベクトル単位の回転から始める と 、 ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }}$$${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }} )-\nabla ^{2}\mathbf {{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }} ,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{\mathrm {p} }&=\nabla \times \nabla \times {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon _{0}}}\\&=\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} })-\nabla ^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon _{0}}}.\end{aligned}}}$$

は依存性がなく、常に に垂直であることに注目してください。また、2番目と3番目の項は非同次波動方程式と等しいため、 ${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }=0}$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle {\mathbf {z} }}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{\mathrm {p} }&=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }}{\partial t^{2}}}\\&=-{\frac {1}{c^{2}}}(-i\omega )^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }\\&=k_{0}^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }\end{aligned}}}$$

したがって、全体のフィールドは 、 $${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\mathbf {E} _{0}e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}+k_{0}^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(z,t)}$$$${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\left\{{\begin{array}{l}{\mathbf {E} _{0}e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}-{\frac {\mathbf {P} }{2\epsilon _{0}}}{\frac {k_{0}}{k+k_{0}}}e^{-i\left(k_{0}z+\omega t\right)}}&{z<0}\\{\mathbf {E} _{0}e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}-{\frac {\mathbf {P} }{2\epsilon _{0}}}{\frac {k_{0}}{k-k_{0}}}e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon _{0}}}{\frac {k_{0}^{2}}{k_{0}^{2}-k^{2}}}e^{i(kz-\omega t)}}&{z>0.}\end{array}}\right.}$$

ここで、誘電体内の電界に注目します。 が複素数であるという事実を利用して、 とすぐに書くことができます 。 また、誘電体内に があることも思い出してください。 ${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)}$$${\displaystyle \mathbf {E} (z>0,t)=\mathbf {E} e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}}$$${\displaystyle \mathbf {P} =\epsilon _{0}\chi \mathbf {E} }$

次に係数マッチングにより 、 $${\displaystyle e^{i\left(kz-\omega t\right)}\Rightarrow 1=-\chi {\frac {k_{0}^{2}}{k_{0}^{2}-k^{2}}}}$$$${\displaystyle e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}\Rightarrow 0=\mathbf {E} _{0}-{\frac {\chi }{2}}{\frac {k_{0}}{k-k_{0}}}\mathbf {E} .}$$

最初の関係は、入射波に関して誘電体内の 波動ベクトルを次のように簡単に表す。$${\displaystyle {\begin{aligned}k&={\sqrt {1+\chi }}k_{0}\\&=nk_{0}.\end{aligned}}}$$

この結果と2番目の式の の定義を使用すると、入射電場に関する分極ベクトルは次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {P} }$$${\displaystyle \mathbf {P} =2\epsilon _{0}(n-1)\mathbf {E} _{0}.}$$

これらの結果を両方とも電界の式に代入すると、最終的な式が得られます。 $${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\left\{{\begin{array}{l}{\mathbf {E} _{0}e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}-\left({\frac {n-1}{n+1}}\right)\mathbf {E} _{0}e^{-i\left(k_{0}z+\omega t\right)}}&{z<0}\\{\left({\frac {2}{n+1}}\right)\mathbf {E} _{0}e^{i\left(nk_{0}z-\omega t\right)}}&{z>0.}\end{array}}\right.}$$

これはまさに予想通りの結果です。媒体内には波​​が 1 つだけ存在し、その波の速度は n だけ減少しています。予想された反射係数と透過係数も回復されています。

媒体の特性「消滅長」とは、元の波が完全に置き換えられたと言える距離のことです。海面レベルの空気中を移動する可視光の場合、この距離は約 1 mm です。^[7]星間空間では、光の消滅長は 2 光年です。^[8] 非常に高い周波数では、媒体内の電子は元の波を「追従」して振動することができないため、その波ははるかに遠くまで移動します。0.5 MeV ガンマ線の場合、長さは空気で 19 cm、ルーサイト 0.3 mm で、4.4 GeV の場合は、空気で 1.7 m、炭素で 1.4 mm です。^[9]

特殊相対性理論によれば、真空中の光速は、それを放射する光源の速度とは無関係である。この広く信じられている予測は、天文観測によって時折検証されてきた。^{[7] [8]}たとえば、連星系では、2 つの星は反対方向に動いており、その光を分析することで予測を検証できるかもしれない。(たとえば、ド・ジッター二重星実験を参照。) 残念ながら、宇宙における光の消光長は、特にそのような星の周囲にある厚い静止ガス雲を考慮すると、可視光を使用したそのような実験の結果を無効にしてしまう。^[7] しかし、消光長がはるかに長い連星パルサーから放射される X 線を使用した実験は成功している。^[8]