ヘルツベクトル

ヘルツベクトル、またはヘルツベクトルポテンシャルは、電磁ポテンシャルの別の定式化です。これらは、学生が解く練習問題として電磁気学理論の教科書で最もよく紹介されています。^{[1]アンテナ[2]や導波管[3]}など、これらが実際に使用されるケースは複数あります。これらは練習問題で使用されることもありますが、ほとんどの電磁気学理論のコースではほとんど言及されておらず、言及されたとしても、それらがいつ役立つかを示したり、より一般的に実践されている方法よりも問題を解くためのより簡単な方法を提供したりする方法を示したりすることはあまりありません。^[要出典]

ヘルツ ベクトルは、特定のシナリオで電界と磁界を解くときに有利です。これは、ヘルツ ベクトルが、一般的に行われているように電界を見つけるために使用されるスカラー ポテンシャルとベクトル ポテンシャルを定義する別の方法を提供するためです。 ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \mathbf {A} }$

簡単にするために電気分極と磁気分極のケースを別々に考えると、それぞれをスカラー ポテンシャルとベクトル ポテンシャルで定義することができ、それによって電場と磁場を見つけることができます。電気分極のみのケースでは、次の関係が使用されます。

磁気分極のみの場合、それらは次のように定義されます。

これらを適用するには、ヘルツ ベクトルの形式が得られるように分極を定義する必要があります。単純な電気分極の場合を考えると、波動方程式を介してこの形式を見つける方法がわかります。空間が均一で非伝導であり、電荷と電流の分布が で与えられると仮定して、およびとなるベクトルを定義します。これらを使用してベクトルを解く方法は、補助場とを見つける方法と似ていますが、ここではヘルツ ベクトルは電気分極と磁気分極をソースとして扱います。これらのソースからのヘルツ ベクトル ポテンシャル、電気ヘルツ ポテンシャル、および磁気ヘルツ ポテンシャルは、それぞれに対する波動方程式を使用して導出できます。 ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t),\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle \rho =-\nabla \cdot \mathbf {P} }$${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$${\displaystyle \mathbf {\Pi } }$${\displaystyle \mathbf {D} }$${\displaystyle \mathbf {H} }$${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{e}}$${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{m}}$

これは、両方のベクトルにダランベール演算子を適用するだけで簡単に実行できます。ただし、存在する分極により結果はゼロではないことに注意してください。これにより、ヘルツ ベクトルを介した場への電流密度などの簡単に決定できる特性と、それらのスカラーおよびベクトル ポテンシャルとの関係との間の直接的な経路が提供されます。これらの波動方程式は、ヘルツ ベクトルに対して次の解を生成します。 ${\displaystyle \Box =\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)}$${\displaystyle c^{2}=\left(\mu \epsilon \right)^{-1}}$${\displaystyle \mathbf {J} }$

ここで、およびは遅延時間 で評価する必要があります。^[1]電場と磁場はヘルツベクトルを使用して見つけることができます。分極、ヘルツベクトル、および磁場の関係を簡単にするために、一度に1つの分極源（電気または磁気）のみを考慮します。磁気分極がない場合、ベクトルを使用して次のように磁場を見つけます。 ${\displaystyle \left[\mathbf {P} \left(\mathbf {r} '\right)\right]}$${\displaystyle \left[\mathbf {M} \left(\mathbf {r} '\right)\right]}$${\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |/v}$${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{e}}$

同様に、磁気分極のみが存在する場合、磁場は前述のスカラーおよびベクトルポテンシャルとの関係によって決定されます。

電気分極と磁気分極の両方が存在する場合、場は

1次元で均一に振動する電流を考えてみましょう。電流は、振動周波数で導体材料ℓの長さに沿ってz軸に沿って流れます。分極ベクトルを定義します。 ${\displaystyle \omega }$

ここで、tは遅れた時間で評価されます。長さℓが小さく、分極が1次元であることを知っている電気ヘルツベクトル方程式にこれを代入すると、球座標で次のように近似できます。 ${\displaystyle t'=t-|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|/v}$

発散を直接続けると、分母のせいですぐに面倒になります。これは、ルジャンドル多項式を使用してポテンシャルを展開することで簡単に解決できます。 ${\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}$${\displaystyle 1/r}$

上記の式では、とはベクトルであり、 と はそれらのベクトルの長さであることに注意することが重要です。 はベクトルと の間の角度です。 ヘルツ ベクトルは次のように表されます。 ${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} '}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r'}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} '}$

乖離を取る

結果の勾配

最後に、時間に関する2番目の部分を見つける

電界を見つけることができる

直交座標への適切な変換を使用して、このフィールドを 3D グリッドでシミュレートできます。原点で XY 平面を見ると、双極子から予想される 1 つの平面内の 2 つのローブを持つフィールドが表示され、時間とともに振動します。下の図は、このフィールドの形状と、余弦項により極性が時間とともに反転する方法を示していますが、現時点では、電流の強度が時間とともに変化するため、振幅の変化は示されていません。いずれにしても、その形状だけでも、このシナリオで電気ヘルツ ベクトルを使用することの有効性がわかります。このアプローチは、特に時間とともに変化する、無限に細いワイヤ内の電荷の観点から電界を見つけるよりもはるかに簡単です。これは、ヘルツ ベクトルの使用が一般的な方法と比較して有利ないくつかの例の 1 つにすぎません。

時間とともに変化する電流 が流れる小さなループ領域を考えてみましょう。電流が流れると、右手の法則により、電流の方向と垂直な磁場が発生します。この磁場はループ内で生成されるため、電気双極子の磁場と似たものになることが予想されます。これは、ヘルツ ベクトルを使用して簡単に証明できます。まず、磁気分極は磁気モーメント との関係で決まります。電流ループの磁気モーメントは と定義されるため、ループが xy 平面にあり、前に定義した時間とともに変化する電流が流れる場合、磁気モーメントは です。これを に代入し、次に式 ( 10 ) に代入すると、磁気ヘルツ ベクトルが簡単な形で求められます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle I\sin \left(\omega t\right)}$${\displaystyle \mathbf {M} ={\frac {d\mathbf {m} }{dV}}}$${\displaystyle \mathbf {m} =IA\mathbf {\hat {n}} }$${\displaystyle \mathbf {m} =IA\sin \left(\omega t\right)\mathbf {\hat {z}} }$${\displaystyle \mathbf {M} }$

電気双極子の例と同様に、ルジャンドル多項式を使用して、およびを得るのに必要な導関数を簡略化することができます。すると、電場は次のように求められます。 ${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$

への依存性により、唯一の成分ベクトルから および 成分に変換することによって、ヘルツベクトルを球座標で表現することが非常に簡単になります。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {\theta }} }$

このフィールドは、球状コンポーネントを x および y コンポーネントに変換することで、Python を使用してシミュレートされました。結果は予想どおりです。電流の変化により、時間に依存する磁場が発生し、電場が誘導されます。形状により、フィールドは双極子のように見えます。

• ダイポールアンテナ